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1、例析函数最值题的几种解法南陵二中 汪后胜函数的最值求解是函数中的重要内容之一，它在解决实际问题中有着广泛的应用.其涉 及的知识面广，解题技巧性强，方法也因题而异.本文就常用的几种方法例析如下：一、观察法：对于简单的函数，可由已知解析式将其适当变形后，直接求出它的最值.例 1 求函数（）的最值3422xxyx30,解：，当时， 时，=.1) 1(22xy3x =maxy1x9=,miny1例 2 求函数=()的最值y 21logxsinx12sin+解：由解析式及正弦函数的有界性得：当=时，=（） ；当xsin1maxy 21log21=时，=（）. xsin1miny 21log21二、判别式
2、法：有些函数经过适当变形后，可整理为关于的二次型：x=.由于为实数，所以，此类函数可以用判别式求最值.但要注意把)()()(ycxybxya2+0x变形过程中函数值域扩大（或缩小）的部分去掉（或找回）.例 3 求函数=的最值 y22122xxxx解：分母 ,定义域为.原式化为= .当1) 1(2x0R) 12() 12() 1(2yxyxy0时，此二次方程有实根.=0，即y1) 12)(1(4) 12(2yyy)32)(12(yy；当=时，=，即 =时，=,.= ，=.21y23y1x1x1y121 23 maxy23 miny21例 4 求函数 =的最值 y4x4132+ 2x解：由=平方整
3、理得：.由于为实数，y2x4x4132+2x83yx16+0y162=x= ，故或.当函数在 时，=2)16(y)163(842y0y42y42x0y=x ；在 时，显然有 ，不属于4x4132+ 2x4x23 2x 213 0x0y0y42所给函数的值域，这是由于在变形过程中采用了两边平方后而引起值域扩大的部分，应舍去.=.miny42三、单调性法： 如果函数在定义域范围内的各单调区间上是有界的（可能只有上界 无下界或只有下界无上界） ，可先求出各区间上的值域，再由它们的并集确定原函数的值域， 从而求得函数的最值.例 5 求函数=2的最值 )(xfx1x1解：去掉绝对值符号得：=( x)或=
4、()或=)(xfx021)(xfx3221x1)(xf( ),由此可知：在 时，为减函数且 ；在x1x20x21)(xf21y021x时，为增函数且；在 时，为增函数且.1)(xf21y11x2)(xf1y2= ，= .ymax2miny21例 6 求函数=5的最值 )(xfx3x4x解：由已知不等式得：=( 或=()或)(xf12x3 +x3)(xfx63x4=(5)或=(5 )，由此可知：在时，为减函)(xfx24x)(xf3x12xx3)(xf数且；在 时，为减函数且；在5 时，为增函y33x4)(xf2y34x)(xf数且；在5 时，为减函数且；综上可得：=()= .2y3x)(xfy
5、3minyf42四、均值不等式法：若、，=，=.当是定值，则当且仅当xyR+xysx ypp=时，有最小值；当是定值，则当且仅当=时，有最大值.xyssxyp例 7 求函数=的最值 )(xf1122 xxx解：定义域为，=x1)(xf11) 1(2 xx1111 1112212 xxx=，当，即2332 11 11) 1(2xxx12332111) 1(22 xx=x3211时，有=. 注：若无使等号成立，则此法无效，应改用其它方法.1miny32231x例 8 求函数=的最值 y 4x5x22+解：定义域为 R，虽然 = ，但无解，等号不y 4x14x22 +2 4x14x22 +=+成立，
6、这说明.可将原函数式配方得 =（），视为未知元，y2y424x+424x1+22x对于、递增，递减，递增.递增，由于2x424x+424x1+424x1+424x+424x1+，（）也递增.而，时有最小值424x+424x1+0424x+424x1+2x02x0且无最大值.故当 = 时，= .x0miny25五、三角代换法：对于某些函数的最值，可利用三角代换巧妙地求解.在作代换时，可根据不同的函数解析式作相应的代换.如： =（） ，可令2x2y2aa0；（） ，可令 （） ； cos,sin=yx2x2y2aa0,cos,sin=yxa0=，可令等.2x2y1tgyx,sec例 9 求函数=的
7、最值 yxx1解：设，则，2xsin=cos1 x)sin(cossin42y+=+=22,，取最小值时，.故，.x0x01y =1y=min2y=max例 10 设 、都是正数，且，求的最值xyx6y2x322=+22yx +解：将方程变形为.设（）是此椭圆上的点，令，2)1( x 23y21=yx, sin1cos23yx则.当时， 29 2312yx2222=+=+sincoscos2)2(cos21=cos1；当时，.即函数的最小值为,最大值为. 0yx22=+min)(1=cos4yx22=+max)(04六、数形结合法：将一些抽象的解析式赋予几何意义，然后通过图形的属性及数量关 系
8、进行“数”与“形”的信息转换，也是解决最值问题的一种常用方法. 例 11 已知实数、满足等式，求的最值 xy22yx+x6012y6=+xy解：如图，点（）在圆上，表示该点与原点连线yx,6)3()3(22yxxy的斜率.由于圆位于第一象限，若过原点作圆的两切线、OA（为切点），则的最值分别是直线、的斜率. OBBA,xyOAOB=，即，=.整理为 ： xy设kkxy = 2133kk6162 kk= 0,解得,=,=.223k=min)(xy223max)(xy223 +例 12 求函数的最小值 12122222xyxxyxz解：等价于“求动点到2222) 1() 1(yxyxz),(yxP
9、距离之和的最小值” ，即的最小值.，, )0, 1(A),( 01BPBPA +PBPA +AB当且仅当在线段上时，等号成立.故的最小值为.即原函数的最PABPBPA +2AB =小值为. 2七、巧设坐标法：对于无理函数最值的求解，可利用直角坐标系中的某些特殊点的位 置加以解决. 例 13 求函数的最小值 8418622xxxxy解：将函数变为，在直角坐标系中，设2222)20()2()30()3(xxy，问题可化为在轴上找一点，使的值最小.、在)2 , 2(),3 , 3(BA XPPBPA +AB轴同侧，取点关于轴的对称点，连，交轴于，则直线XAX)3, 3(ABAX),( 0xP的方程为
10、，即.令得，点坐标为，BA323x 323y +=+xy =0y =0x =P),( 00. 25818y=+=min例 14 求函数的最大值 10x2xy2+=222 xx解：，在直角坐标系中，22)30() 1(xyQ22) 10() 1(xXOY、，问题化为在轴上求一点，使的值最大.、在轴)3 , 1(A),( 11BXPPAPBABX同侧，直线与轴的交点即为点.直线的方程为，即.得 ABXPAB111 131 xy0yx=+0y =，点坐标为.2x =),( 0222 max)30() 12(y22) 10() 12(22八、利用复数的模：将无理数看成复数的模，然后利用复数模的概念及复
11、数模的不等 式，也是解决某些无理函数最值的有效方法.但要注意的是必须满足所有复数和的模为常数. 例 15 求函数的最小值 261013422xxxxy解：，设，则有：22221)5(3)2(xxyixzixz)5(,3)2(21（常数）.当、21zzy+=543)5(3)2(21iixixzz1Z共线且同向时，等号成立.即，得，当时. 2Zxx51 23 417x =417x =5y=min例 16 求函数最小22222222)1 ()1 ()1 ()1 (yxyxyxyxz值解：设，则有： yixz1+=yixz)1 (2iyxz)1 ()1 (3iyxz)1 (4=（常数）.当与、z4321zzzz+22i 22zzzz4321=+=+1Z2Z3Z共线且同向时，等号成立.即，得，当时.4Z yx xyxy yx111121yx=21yx=22z=min
