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1、傅里叶变换对评价正弦信号源波形失真的应用摘要：介绍了一种直接利用经典傅里叶变换技术评价正弦信号源波形总失真度的 过程和方法。借助于周期的精确测量技术,实现基波参数的精确测量。用时域能量方式计算失真,其内涵全 面,包括了谐波、杂波、噪声等全 部影响,并对测量系统本身的影响进行了补偿同时,对不同条件下的失真度测量误差进行了分析, 用一组仿真数据的实验结果, 验证了正确性及可行性。所述方法可用于正弦信号波形失真度的精确 测量和计量校准,尤其适用于大失真度的测量。关键词: 计量学; 失真度; 傅里叶变换;正弦波;评价1.引言对于正弦信号源产生的波形来说,以 H1 表示其基波有效值幅度, H i 表示其
2、含有的谐波有效值幅度( i = 2,., M ) , 表示其nH含有的噪声及非谐波分量(不包括直流分量) 的有效值幅度。此时,该信号波形含有失真和噪声(其实噪声也是一种失真)。则该信号波形的总失真度 TD 定义为）（ 112i2 i2 nHHH TDM 在超低频、高频及射频范围内, FFT 法是较普遍采用的正弦波形失真度的数字化测量方法。通过使用 FFT 获得的基波和各次谐波分量, 代入式(1)中,获得正弦波形的总谐波失真度。该方法的优点是简单快捷,尤其适合大失真下的测量;弱点和局限性也非常明显:要求测量序列的长度为 2 的整数次幂;要求序列含有整数个信号周期, 即满足同步采样条件;当同步采样
3、条件不满足时, FFT 法本身的”栅栏效应” 、 “泄漏”等将给测量结果带来误差;尽管有准同步采样和补偿性方在使用,其高次谐波的测量准确度仍无法完全令人满意;使用 FFT 法只能对有限次谐波( 如 19 次以下,57 次以下等) 进行计算,无法包括所有谐波分量和非谐波分量,也未包含噪声分量;测量设备本身的量化误差对测量结果的影响未予以考虑。所有这些因素, 均限制了失真度的测量准确度。本文所述内容, 将主要讨论一种基于傅里叶变换的失真度测量方法, 其特点是可实现精确测量, 并能避免上述弱点。2.周期信号的傅里叶分解一个周期函数 y(t) = y(t+T) , 只要满足狄利克雷条件( 在一个周期中
4、有有限个极值,并且或者处处连续, 或者有有限个第 1 类间断点) , 则可用傅里叶级数来表示该函数1。)5(22)4(arg)3()2)(cos(sincos)(y02210110tNTABtgBACmCAmBmAAtmm mmmmmmtmmtm mtm其中,t 为信号采样间隔; 为每个信号周期内含有的采样点0N数。dtsinmty27dtcosmty26dtty1t22t22220TTmTTmTTTBTATA）（）（）（）（）（求取( m = 1, 2,.)并用它们来描述 y(t)的过程,mm0BAA、就是周期信号 y(t)的傅里叶分解过程,也是其谐波分析过程或频谱分析过程。通过信号 y(t
5、)的离散采样值, ( i = 0,1,., N - 1) , 准确获得参数 , 一直是人们所关心的问题，业已证明2 ,只mm0BAA、要满足对第 m 次谐波在一个信号周期内能采样两个以上信号点, 且 N 个采样点中恰好采集了整数个信号周期, 则:)11(2sin)(2)10(2cos)(2)9( )(110i10i10i0NmiityNBNmiityNAityNANmNmN这个过程及其条件和方法被称为同步采样。在多数情况下,同步采样也特指信号周期是采样间隔的整数倍的采样状态。实际上, N个采样点恰好含有整数个信号周期的情况是很难严格实现的,因而式(9)(11)式直接用于谐波测量分析会产生测量误
6、差。由此引出了一系列以迭代收敛运算为特征的准同步采样方法35和已知信号周期为条件的补偿性方法6,7均被用于谐波分析。这些方法共同的特点是运算比较复杂。本文将试图从傅里叶分解的最基本关系出发,寻找出一种简单、精确的周期信号谐波测量分析方法, 并用于正弦波形的失真度测量。3 测量原理及方法设正弦信号源产生的波形 函数是周期函数 y(t)。由式(5)可见,当N 个采样点中不是恰好含有整数个信号周期时,同步采样条件不被满足。式(10) 和式( 11) 实际上是在对周期为的信号进行谐NTt波分析, 而不是对周期为 T 的信号进行谐波分析!以前者代替后者,将产生测量误差;另一方面,它也不满足式( 6)(8
7、)式的条件约定,直接使用式(10)和式(11)仍将带来测量误差。鉴于上述原因,人们实际上可以在进行谐波分析之前, 首先对被分析信号 y(t)的周期 T 进行精确测量, 并获得精确的(通常不是整数) 。然后,通过判定过均0N值点截取首尾皆处于均值点附近、含有整数个信号周期的 N 个信号采集点,(i=0,1.,N-1), 并进行谐波分析,获得信号 y(t)）（ity的各次谐波参数。其过程如下:(1) 以采样间隔对周期信号 y(t)进行波形采样, 获得采样序列 t,(i=0,1.,N-1);）（ity(2) 在上述样本中, 截取含有整数个信号周期的 N 个样本(误差极限为) 点 ,(i=0,1.,N
8、-1); 用式(9)计算波形均值:1）（ity;10i0)(1N ityNA同时获得零均值序列,(i=0,1.,n-1);00)(y)(yAitit(3) 使用周期精确测量方法8获得信号周期 T,计算;t0TN(4) 通过判定过零点,从序列中截取首尾值皆处于零附近, 并含有整数个信号周期的信号样本点,(i=0,1.,N-1), 以代替 N , ）（ity0N按式(12) 式(13) 计算获得周期信号 y(t)的谐波分量参数 ,(m=1,2.)mmBA 、( 5) 进而通过式(4) 、式(5) 获得相应的幅度和相位 ;mCm( 6) 通过下式计算获得残差序列:) 1.,1 , 0( ;tmax2
9、sin2cos)t(tmax01 010NiiNiBNiAiyi）（）（残差有效值为)14( )(11i2 N itN波形数据的总失真度 TDZ 为)15(21CTDZ若信号峰峰值与波形测量系统量程之比为 G,测量系统有效位数为 BD , 则测量系统量化 误差带来的失真度 为:)16(432222 12BDCTD4 误差分析由于使用了周期精确测量技术, 由周期带来的谐波分析误差可以忽略不计; 由式( 16) 的全微分, 得失真度 TD 的误差为)17)(432l(2213 122 1BDnCCCTDTDBD其中，有效位数 BD 作为修正因子，其误差约为 0.1Bits，BD可参见有关文献从校准
10、中获得10。设信号 y(t) 在过均值点附近连续并导数存在且接近于常)(y t值, 约为或可以估算为)0(y) 1(ytN)1()0( 5 . 02) 1( ) 1( 2) 1() 1() 1( (y2) 1( ) 1 ( 2) 1() 1 ()0(yNyyytNyNy tNyNytNtyy tyy设,当不采取从均值点处开始截取整数个信号周0)(maxyAtyp期时, 执行式 (9) 进行均值 的估算, 给带来的最大误差约为0A0A)18(y0 0NAAp当采取从均值点 处开始截取整数个信号周期时, 执行式(9) 进行均值的估算, 给带来的最大误差约为0A0A)19(y00 0NANtAA在上
11、述方法中, 由于采样序列 N 个点中不恰好含有整数个信号周期(周期长度为),在式(12)式(13)中给累加和所造成的最大误0N差约为,给和造成的最大误差约为t ymAmB)21(22sin2)20(22cos20m0mtyNNmtyNBtyNNmtyNA给造成的最大误差为)22(22 max2 max2 maxNN由于和具有正交性，和可以认为不相关，该因素mAmBmAmB给带来的最大误差约为mCmC)29(222 mmtyNBACm式（4）可以导出相应的相位误差：)24)(cossin(1)coscossin(12 mmmmm mmmmmm mBACBAA由式（17）可得：)25)(432ln
12、y2 2(223 122 12 max BDBD NCt NCTDTD 一般说来, 对于具体的周期信号 y(t）,是确定不变的, 从式y(25) 可见, 增大序列样本数 N 可以降低失真度分析的误差, TD降低采样间隔( 增高采样速率) 也可以降低失真度分析的误差, t采取从过均值点截取序列周期并经过剔除直流分量后进行分析, 同样将减小失真度分析误差。当信号 y(t）在过均值点附近不连续且出现巨大跳变时，如方波和锯齿波时，设跳变增量为（方波或锯齿波峰值） ，则上述方py法中由于采样序列 N 个点中不恰好含有整个信号周期（长度为） ，0N在式（12） 、式（13）中给累加和造成的最大误差约为，给
13、和pymA造成的最大误差约为mB)28(2)27(22sin2)26(22cos20m0mpmppppyNCyNNmyNByNNmyNA此时,从式(25)可见, 增大序列样本数 N 可以降低失真度分析误差, 降低采样间隔对降低失真度分析误差没有明显作用。t通常,每个信号周期至少有 2 个“过均值点”, 多数时候这两个点处的导数有明显差异, 由式(18) 式(25)可见, 选取导数存在且导数绝对值最小的“过均值点”进行样本截取, 然后执行谐波分析, 将有利于获得良好的失真度测量结果。5.仿真实验验证用上述公式和结论在计算机上进行仿真, 获得结果如表 1 所示。通常, 未考虑对量化误差等带来的影响
14、进行修正时, 均以测量数据失真度 TDZ 代替输入信号失真度 TD , 实际上的输入信号失真度应该是 TD。在已知测量系统动态有效位数 BD 的情况下, 可对测量数据失真度 TDZ 进行修正, 获得输入信号失真度的较准确评价值 TD。表 1 验证了这一结论。从表 1 可见, APD 位数对于失真度的评 价具有较大影响, 当其过低时, 即使使用修正结果, 也无法完全消除其影响, 这表明实际应用中, 在测量较小失真度和进行较精确的失真度测量时, 需要选择动态有效位数足够大的测量系统。6 结束语综上所述可见, 本文所述失真度测量方法具有如下特点: (1) 直接从经典傅里叶变换定义出发执行运算, 不使
15、用 FFT 方法, 因而不要求测量序列长度为 2 的整数次幂; (2) 不要求测量序列恰好含有整数个信号周期; 即不要求满足同步采样条件。(3) 只对基波分量参数进行分解变换, 不涉及高次谐波, 有利于提高测量准确度; (4) 直接在时域使用信号与基波的残差来计算失真, 属于软件陷波方法, 其内涵包括了所有谐波、杂波及噪声失真, 不存在方法原理上的缺陷; (5) 通过已知的测量系统动态有效位数, 可以对测量仪器本底噪声带来的影响进行修正, 从而进一步提高测量准确度; (6) 测量误差因素可以明确估计与控制。目前其它 FFT 分析方法尚未提供如此具体的结论。从上述仿真实验验证可见, 本文所述方法用于正弦波形的失真度测量, 具有足够高的测量准确度,尤其对于大失真度情况。这主要是由于上述方法采取了如下关键性措施减小谐波分析误差: (1) 使用了信号周期的精确测量技术, 以代替 N 进行分解运算, 减小0N了谐波频率定值误差以及所带来的运算误差; (2) 在函数序列的
