《例谈三角函数值域(最值)的几种求法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《例谈三角函数值域(最值)的几种求法（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1例谈三角函数值域例谈三角函数值域( (最值最值) )的几种求法的几种求法南县一中南县一中 肖胜军肖胜军 有关三角函数的值域（最值）的问题是各级各类考试考察的热点之一，这类问题的解决涉及到化归、转换、类比等重 要的数学思想，采取的数学方法包括易元变换、问题转换、等价化归等重常用方法。掌握这类问题的解法，不仅能加强知 识的纵横联系，巩固基础知识和基本技能，还能提高数学思维能力和运算能力。 一、合理转化，利用有界性求值域一、合理转化，利用有界性求值域 例 1、求下列函数的值域：（1） （2）1 sin cosyxx cos3 cos3xyx（3） （4）解析：（1）根据22sin2sin cos3
2、cosyxxxx3sin()4cos()44yxx可知：11sin cossin222xxx13 22y（2）将原函数的解析式化为：，由可得：3(1)cos1yxycos1x 122y (3) 原函数解析式可化为：可得：21 sin22cos2sin2cos222sin(2)4yxxxxx 2222y（4）根据可得：222222sincossin(),axbxabxabab 55y 二、单调性开路，定义回归二、单调性开路，定义回归 例 2、求下列函数的值域：（1） （2） 1sin2yxcos(sin )yx（3） （4）2cos3sin,63yxx x22cos5sin1yx116sin0s
3、in222xx解析：（1）由-1知：1sin1,cos1cos sincos1cos(sin )122xxx （2）由-有（）125sin()663366xxx（3）y=2由知：由正弦函数的单调性：1y222533(4)2(1 sin)5sin12(sin)0,248yxxx 三、抓住结构特征，巧用均值不等式三、抓住结构特征，巧用均值不等式22222 min9sin430,( )sin 0sin0,44( )9 sin2 9 sin12sinsin 449 sinsin( )12sin9xxxf xxx xxxf xxxxxxxxxxxxxf xxx例、若求的最小值解析：由得：根据均值不等式：
4、当即时，例 4、sincos(),sin已知其中、为锐角，求t an 的最大值22sinsin ()sin()coscos()sinsincos()sin()cos2sincos(),tan()2tantan()tantan12tantan ()11 tantan()1 2tan42tantan112tantantan2解析：由即有于是：当即时，有max2tan4（）四、易元变换，整体思想求解四、易元变换，整体思想求解 5sincossin cosyxxxx例、求函数的值域222112sin()sin22sin()1 2sin ()42424 1sin ()2sin()4422sin()142
5、yxxxxxxx 解法一：max1sin()1242xy当时，22 2max1sincos2sin()2,2 ,sin cos42 11(1)12,222 12,22txxttxxxtyttty 解法二：设，则，t故当时有3222222222maxsin,cos,sincos2 ,sin cos122sincos1,222122sincossin cos222,22221222xmnxmnxxmxxmnxmnmyxxxxmmnmmmmy 解法三、构造对偶式转化为某一变量的二次函数在闭区间内求最大值设则由，得故当时，有五、方程架桥，问题转化五、方程架桥，问题转化221 sin3sin62sins
6、in(4)sin320sin ,132011xxyxxyxytxtty 例：求函数的最大值、最小值。解析：将问题转化为求一元二次方程在闭区间上有解的充要条件：原函数解析式转化为：令则t在，上有解, 故有：或2(4)44112 ( 1)0(1)0yyff （3-2y）0( 1) (1)0ff803y解得：六、运用模型、数形结合六、运用模型、数形结合222sin82cos471 38303147 47 33xyxkk k 例：求函数的值域。解析：函数的值域可看作求过点P(2, 2)的单位圆切线的斜率k的最大、最小值设切线PA的方程为：y-2=k(x-2)即：kx-y-2k+2=0设原点到切线的距离d, 则d=12k-2即：d=即解得：k=故所求函数的值域为：，
