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1、 初中数学竞赛辅导资料（45）一元二次方程的根甲内容提要甲内容提要 1. 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的实数根，是由它的系数 a, b, c 的值确定的. 根公式是：x=. (b24ac0)aacbb 2422. 根的判别式 实系数方程 ax2+bx+c=0(a0)有实数根的充分必要条件是： b24ac0. 有理系数方程 ax2+bx+c=0(a0)有有理数根的判定是： b24ac 是完全平方式方程有有理数根.整系数方程 x2+px+q=0 有两个整数根p24q 是整数的平方数. 3. 设 x1, x2 是 ax2+bx+c=0 的两个实数根，那么 ax12+bx1+c=0 (a
2、0，b24ac0)， ax22+bx2+c=0 (a0， b24ac0)； x1=， x2= (a0, b24ac0)；aacbb 242 aacbb 242 韦达定理：x1+x2= , x1x2=(a0, b24ac0). abac4. 方程整数根的其他条件 整系数方程 ax2+bx+c=0 (a0)有一个整数根 x1的必要条件是：x1是 c 的因数. 特殊的例子有： C=0x1=0 ， a+b+c=0x1=1 ， ab+c=0x1=1. 乙例题 例 1.已知：a, b, c 是实数，且 a=b+c+1. 求证：两个方程 x2+x+b=0 与 x2+ax+c=0 中，至少有一个方程有两个不相
3、等的实数 根.（19901990 年泉州市初二数学双基赛题）年泉州市初二数学双基赛题） 证明 （用反证法） 设 两个方程都没有两个不相等的实数根， 那么10 和20.即 1040412cbacab由得 b ，b+1 代入，得41 45ac=b+1， 4c4a5 45：a24a+50， 即（a2）2+10，这是不能成立的. 既然10 和20 不能成立的，那么必有一个是大于 0.方程 x2+x+b=0 与 x2+ax+c=0 中，至少有一个方程有两个不相等的实数根. 本题也可用直接证法：当120 时，则1和2中至少有一个是正数. 例 2.已知首项系数不相等的两个方程： （a1）x2(a2+2)x+
4、(a2+2a)=0 和 (b1)x2(b2+2)x+(b2+2b)=0 (其中 a,b 为正整数) 有一个公共根. 求 a, b 的值. （19891989 年全国初中数学联赛题）年全国初中数学联赛题） 解：用因式分解法求得：方程的两个根是 a 和； 方程两根是 b 和.12 aa 12 bb由已知 a1, b1 且 ab.公共根是 a= 或 b=.12 bb 12 aa两个等式去分母后的结果是一样的. 即 aba=b+2, abab+1=3, (a1)(b1)=3.a,b 都是正整数， ； 或. 3111ba 1131 ba解得； 或. 42 ba 24 ba又解： 设公共根为 x0那么先消
5、去二次项： （0)2()2() 10)2()2() 1(222 0222 0 bbxbxbaaxaxa（b1）（a1） 得 （a2+2）(b1)+(b2+2)(a1)x0+(a2+2a)(b1)(b2+2b)(a1)=0.整理得 （ab）(abab2)(x01)=0.ab x01； 或 (abab2)0. 当 x01 时，由方程得 a=1, a1=0， 方程不是二次方程. x0不是公共根.当(abab2)0 时， 得(a1)(b1)=3 解法同上. 例 3. 已知：m, n 是不相等的实数，方程 x2+mx+n=0 的两根差与方程 y2+ny+m=0 的两根 差相等. 求：m+n 的值. （1
6、9861986 年泉州市初二数学双基赛题年泉州市初二数学双基赛题） 解：方程两根差是21xx 2 21)xx （212 214)(xxxxnm42同理方程两根差是 21yy mn42依题意，得.nm42mn42两边平方得：m24n=n24m. （mn）(m+n+4)=0mn， m+n+40， m+n4. 例 4. 若 a, b, c 都是奇数，则二次方程 ax2+bx+c=0(a0)没有有理数根.证明：设方程有一个有理数根（m, n 是互质的整数）.nm那么 a()2+b()+c=0, 即 an2+bmn+cm2=0.nm nm把 m, n 按奇数、偶数分类讨论， m, n 互质，不可能同为偶
7、数. 当 m, n 同为奇数时，则 an2+bmn+cm2是奇数奇数奇数奇数0； 当 m 为奇数, n 为偶数时，an2+bmn+cm2是偶数偶数奇数奇数0； 当 m 为偶数, n 为奇数时，an2+bmn+cm2是奇数偶数偶数奇数0. 综上所述 不论 m, n 取什么整数，方程 a()2+b()+c=0 都不成立.nm nm即 假设方程有一个有理数根是不成立的. 当 a, b, c 都是奇数时，方程 ax2+bx+c=0(a0)没有有理数根. 例 5. 求证：对于任意一个矩形 A，总存在一个矩形 B，使得矩形 B 与矩形 A 的周长比和 面积比都等于 k (k1). （19831983 年福
8、建省初中数学竞赛题）年福建省初中数学竞赛题） 证明：设矩形 A 的长为 a, 宽为 b，矩形 B 的长为 c, 宽为 d.根据题意，得 .kabcd badcc+d=(a+b)k, cd=abk.由韦达定理的逆定理，得 c, d 是方程 z2(a+b)kz+abk=0 的两个根. （a+b）k24abk （a2+2ab+b2）k24abk =k(a2+2ab+b2)k4ab k1，a2+b22ab, a2+2ab+b24ab，(a2+2ab+b2)k4ab.0. 一定有 c, d 值满足题设的条件. 即总存在一个矩形 B，使得矩形 B 与矩形 A 的周长比和面积比都等于 k (k1). 例 6
9、. k 取什么整数值时，下列方程有两个整数解？（k21）x26(3k1)x+72=0 ； kx2+(k22)x(k+2)=0. 解：用因式分解法求得两个根是：x1=， x2=.112 k16 k由 x1是整数，得 k+1=1, 2, 3, 4, 6, 12.由 x2是整数，得 k1=1, 2, 3, 6. 它们的公共解是：得 k=0, 2, 2, 3, 5.答：当 k=0, 2, 2, 3, 5 时，方程有两个整数解. 根据韦达定理 kkkkxxkkkkxx222221221x1, x2, k 都是整数， k=1，2. （这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要进行检验.） 把 k=1,1
10、, 2, 2， 分别代入原方程检验，只有当 k=2 和 k=2 时适合.答：当 k 取 2 和2 时，方程有两个整数解. 丙练习丙练习 4545 1. 写出下列方程的整数解： 5x2x=0 的一个整数根是.3 3x2+(3)x =0 的一个整数根是.22 x2+(+1)x+=0 的一个整数根是.552. 方程（1m）x2x1=0 有两个不相等的实数根，那么整数 m 的最大值是. 3. 已知方程 x2(2m1)x4m+2=0 的两个实数根的平方和等于 5，则 m=. 4. 若 x y ，且满足等式 x2+2x5=0 和 y2+2y5=0.那么.（提示：x, y 是方程 z2+5z5=0 的两个根.）yx115. 如果方程 x2+px+q=0 的一个实数根是另一个实数根的 2 倍，那么 p, q 应满足的关系 是：. （19861986 年全国初中数学联赛题）年全国初中数学联赛题） 6. 若方程 ax2+bx+c=0 中 a0, b0, c1） 15. 由韦达定理,把左边化为 p, q16. x23x+2=0 17. C 18. C
