《2010-2012年华约数学试题及解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2010-2012年华约数学试题及解析（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2012 年“华约”高水平大学自主选拔学业能力测试数学部分注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 （1）在锐角中，已知,则的取值范围为（ ）ABCABCcosB(A) (B) (C) (D) 20,2 12,22 0,12,12 （2）红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这 6 枚棋子排成一列，其中每对同字的棋子 中，均为红棋子在前，蓝棋子在后，满足这种条件的不同的排列
2、方式共有（ ） (A) 36 种 (B) 60 种 (C) 90 种 (D)120 种（3）正四棱锥中，侧棱与底面所成角为，侧面与底面所成二面角为，SABCD侧棱与底面正方形的对角线所成角为，相邻两侧面所成二面角SBABCDAC为， 则之间的大小关系是（ ）, , , (A) (B) (C) (D) （4）向量，。若，则（ ）ae1e tR ateae(A) (B) (C) (D) ae()aae()eae()()aeae（5）若复数的实部为 0，是复平面上对应的点，则点的轨迹是1 1w w Z1 1w,Z x y( ) (A) 一条直线 (B) 一条线段 (C) 一个圆 (D)一段圆弧（6）
3、椭圆长轴长为 4，左顶点在圆上，左准线为轴，则此椭22(4)14xyy圆离心率的取值范围是（ ）(A) (B) (C) (D) 1 1,8 4 1 1,4 2 1 1,8 2 1 3,2 4 解：令yixyixyixyixyixyixRyxyix212122)12(1-1,1-2-1 ,11),(11）（所以则其实部为 0，所以 2x-1=0(yR),这就是所求轨迹的实方程，是一条平行纵轴的直线。（7）已知三棱锥的底面为正三角形，点在侧面上的射影是SABCABCASBCH 的垂心，二面角为 30，且，则此三棱锥的体积为SBCHABC2SA （ ）(A) (B) (C) (D) 1 23 23
4、43 4（8）如图，在锐角中，边上的高与边上的高ABCABCEACBD交于点。以为直径作圆与的另一个交点为。已知HDEACG ，则的长为（ ）25BC 20BD 7BE AG(A) (B) (C)10 (D) 842 554 5解答:连接 DF，则有 DF 垂直 AC,由已知条件有 cosB=,cosC=,所以 sinB=,sinC=53 257 54，于是 sinA=sin(B-C)=sinBcosC+sinccosB=sinB.2524 54因此A=B,即ABC 为等腰三角形，于是由 CD 垂直可得 AC=25,AD=DB=15,AE=AC-CE=25-7=18.又因为CDB=CEB=，所
5、以 B,C,D，E 四点共圆，ABC=BAE,因此ADE 为等腰三角o90形，所以，DF 垂直 AC 知，AF=FE=92AE（9）已知数列的通项公式为，。是数列的前项 na22lg(1)3nann1,2,n nSn和。则（ ）limnnS (A) 0 (B) (C) (D) 3lg2lg2lg3（10）已知，当取得最大值时，在610ix (1,2,10),i 10150i ix10 21i ix这十个数中等于的数共有（ ）1210,x xx6(A) 1 个 (B) 2 个 (C)3 个 (D) 4 个 二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （11）(本小题满分 14 分)在中
6、，的对边分别为。已知ABC, ,A B C, ,a b c22sin1cos22ABC 求的大小C若，求的值22222cbacos2cos2AB（12）(本小题满分 14 分)已知两点，动点在轴上的射影是，且2,0 ,2,0ABPyH22PA PBPHuu u r uu u ruuu r求动点的轨迹的方程PC已知过点的直线交曲线于轴下方不同的两点，设的中点为，BCx,M NMNR过于点作直线，求直线斜率的取值范围。R0, 2QRQRQ解：（1）设 P(x,y),则 H(0，y),由4-,2xy)2,-(x, 222222xyyxPHBPAP即）得（2）令 CD:代入，整理得)0(2mmyx42
7、2 xy084)1 (22myym因为直线在 x 轴下方交 P 点轨迹于 C()，D()两点所以上式有两个负根，由11, yx22, yx018210140)1 (321601221221222myymmmyymmm根据韦达定理，得 CD 中点 M 的坐标为)12,12()2,2(222121 mm myyxxM代入直线 MQ 的方程 y+2=kx,(k 为其斜率)得2212212 mk mm 所以，k=,(1.) 1 , 12(45)21(122mmm)2m（13）(本小题满分 14 分)系统中每个元件正常工作的概率都是，各个元件正常工作的事件相互独(01)pp立，如果系统中有多于一半的元件
8、正常工作，系统就能正常工作。系统正常工作的 概率称为系统的可靠性。 （1） 某系统配置有个元件，为正整数，求该系统正常工作概率的表达式21k k （2） 现为改善（1）中系统的性能，拟增加两个元件。试讨论增加两个元件后，能 否提高系统的可靠性。解答：显然,注意到nknKnn kKppCP121012)1 (，2 121 1212122 n kn kn kn kCCCC所以=1KPnknknn kppC12012)1 (=nkknnn kn kn kppCCC 1202 121 1212)1)(2(=nkknnn kknnknn kknnknn kppCppCppC 1202 12 2121 1
9、2 112 12)1 ()1 (2)1 (=nkknnn kknnknn kknnknn kppCppCppC 12022 12 0211 12 012 12)1 ()1 (2)1 (=)1 ()1 (2()1 (210212 12ppppppCknnknn k kkk kkkk kppCppC11 121 12)1 ()1 ( =)1 ()1 ()1 (121012 12ppppCppCkkk kknnknn k =) 12()1 (12pppCPkKk kK因此，当 p时，递增，当 P时，21kp21递减。kp(14) (本小题满分 14 分)记函数证明：当是偶数时，方程2 ( )1,1,
10、22!nnxxfxxnn n没有实根；当是奇数时，方程有唯一的实根，且。( )0nfx n( )0nfx n2nn证明一：用数学归纳法证明有唯一解且严格单调递增，无实数解，显0)(12xfn12 nx0)(2xfn然 n=1 时，此时有唯一解，且严格单调递增，而无xxf1)(111x21)(22xxxf实数解，现在假设有唯一解且严格单调递增，无实数解，于0)(12xfn12 nx0)(2xfn是注意到时，对任意的 0kn 有 x+2k+10,于是1),()(2212nnnfxfxf，所以) 12()!12()!2()(20212kxkx kxxfknkkn, 0) 12(12nfn又因为所以由
11、严格递增知有唯一根 0，, 01)0(12nf)(12xfn0)(12xfn1212nxn对于有，所以（，）上，递减，在)(22xfn)()(122222xfxffnnn12 nx（，+）上，递增，所以12 nx, 0)!22()!22()()(min22 1222 12 122222 nx nxxfxfn nn n nnnRx因此，无实数解0)(22xfn综上所述，对任意正整数 n,当为偶数时无解，当为奇数有唯一解0)(xfn0)(xfn。nx再证，事实上，由)(12xfn的严格单调性，只需验证，注意到1212nnxx0)(1212nnxf)(12xfn)(12xfn，由上述归纳法证明过程中
12、，所以)!12()!2(122nx nxnn 1212nxn，f0) 12()!12()!12()!2()(122 1212 122 12 1212 nxnx nx nxxfnn nn nn n nn因此，综上所述，原命题得证。1212nnxx证明二记我们对使用数学归纳法证明加强命题，方程,! 3! 21)(32nxxxxxfnnK在为偶数的时候实数上恒大于零，在为奇数的时候，在实数上严格单调递增0)(xfn并且可以取遍所有实数。 （）当,的时候，直接验证，结论显然成立。 （）当=的时候结论成立，那么，=的时候：是偶数的时候，K! 3! 2132xxx ，那么由归纳假设，我们! k xk)()
13、(1xfxfk知道存在一个的根，使得在的时候，在的0)(010xfxk为0xx0)()(1xfxfkk0xx时候，)()(1xfxfkk，所以可以看出在实数上的最小值应该在处取到，)(xfk0x，也就是说在实数上每个取值都大于零，因0!)( !)()(22 000 010kx kx kxxfxfk kkkk)(xfk此结论成立。是奇数时，K! 3! 2132xxx ，)(xfk，那么由归纳假设，)(xfk! k xk)(1xfk我们知道)()(1xfxfkk恒成立，也就是说严格单调递增，而是一个奇数次)(xfk)(xfk最高项系数大于零的一个多项式，因此，可以知道当 X 趋近于的时候，也趋于)(xfk，当 X 趋于+的时候，也趋于+，而连续，因此我们证明了在)(xfk)(xfk)(xfk实数上严格单调递增并且可以取遍所有的实数（这点如果不用 极限的符号书写法也可以将分段说明，但写起来比较麻烦）)(xfk(15) (本小题满分 14 分) 某乒乓球培训班共有位学员，在班内双打训练赛期间，每两名学员都作为搭档恰n 好参加过一场双打比赛。试确定的所有可能值并分别给出对应的一种安排比赛的n 方案。解答：假设比赛了 K 场，那么由题目假设，一场比赛出现了 2 对队友，所以=2k，也就是2 nC
