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1、线性规划问题的新思路线性规划问题的新思路广东省惠州市黄冈中学惠州学校 （516003） 朱传兵陕西师范大学数学与信息科学学院 （710062） 罗增儒本文以 2014 年高考数学广东卷一道线性规划试题为反思载体，呈现这类问题的多种 求解途径：截距解法、不等式解法、向量解法、参数解法从中可以体现数形结合的整体 性与逆向思维的重要性 1常规解法的呈现常规解法的呈现 作为不等式的应用，中学教材数学必修 5 介绍了线性规划问题，这不仅体现了数 学建模与优化思想，而且还渗透了数形结合的思想、函数与方程的思想、化归与转化的思 想又由于线性规划与不等式、方程、函数等知识直接联系，并自然延伸到解析几何、向 量
2、、数列、概率等众多知识模块中去，所以，线性规划已经成为新课程高考命题“在知识 网络交汇处设计试题，促进学科知识的交融和渗透”的一个切入口、求新点或必考热 门下面是今年广东卷的一道线性规划试题 题目题目 （2014 年高考数学广东卷（理科）第 3 题）若变量满足约束条件, x y且的最大值和最小值分别为和，则, 1, 1,yx xy y 2zxyMmMm（A）8 （B）7 （C）6 （D）5讲解讲解 本题源于课本的练习（见文1 第 91 页）：求的最大值，使满2zxy, x y足约束条件 新的高考题在保留练习原型的同时，增加了两步运算：求最小值，, 1, 1.yx xy y 求最大值与最小值的差
3、这可以在“回归教材”的导向中，防止“死记硬背” ，思维强度与 教材要求大体持平，解法是现成的解法解法 1 根据约束条件作出“可行域”, 1, 1,yx xy y 如图 1 中的阴影，然后平移直线，ABCV: l2xyz并观察 在轴上的截距：当 通过点时取lyl1, 1A z到最小值，；当 通过点 2113m l时取到最大值，所2, 1Bz 2 213M 以选（C） 图 1 336Mm 这个截距解法的基本步骤是：步骤 1 （由数到形的沟通）将“线性约束条件” （代数不等式组）转化为“可行域” （图形） ；还用到了联立方程求边界角顶点的坐标 步骤 2 （由数到形的沟通）将“目标函数” （代数等式）
4、转化为通过可行域的“直线” 步骤 3 （数形结合的寻找）在“可行域”内平移“直线” （目标函数） ，通过直线的 “截距”找出“最优解” （通常在边界角顶点达到） 可见，这主要是“数形结合”中一个“由数到形”的过程，也是一个“由条件到结论” 的综合法过程，许多教师的解题教学大多满足于这样一种常规现状然而，对这两个基本 过程作反思可以导致更多思路的解放 2反思导致多思路反思导致多思路 （1）反思由数式到图形的单向性 如所周知，数形结合是“由数到形”与“由形想数”的双流向沟通，当线性规划的截 距解法把数式转化为图形的同时，图形也必定会同步反馈出相应的代数信息，因而，线性 规划问题的图形解法，通常都会
5、有相对应的代数解法表现为不等式的放大缩小事实上， “当直线 通过点时取到最小值”就等于告诉我们，取到最小值在不等lAzz式的公共端点处取到，把表示为不等式中相应代数式，0,1xyy 1, 1 2xyxy的线性组合，则的最小值就可以通过不等式的缩小而求得 y23xyyz同样， “当直线 通过点时取到最大值”就等于告诉我们，取到最大值在不等式lBzz的公共端点处取到，把表示为不等式中相应代数式，的1, 1xy y 2, 12xyxyy线性组合，则的最大值就可以通过不等式的放大而求得 2 xyy z把几何信息还原回代数信息，有代数解法：解法解法 2 将表示为“约束条件”中的相应代数式的线性组合（待定
6、系数法） ，设2xy，2xyp xyq xytypq xpqt y 比较的系数，有, x y1,2,2 13,2tppqpqttq 得 13222ttzxyxyxyty在中取，由约束条件及，有3t 0xy1y ， 232 0313zxyy 当时取到最小值，；0,1,11xyxyy z3m 在中取，由约束条件及，有1t 1xy1y， 22 1 13zxyy 当时取到最大值，；1,2,11xyxyy z3M 所以选（C） 336Mm 这个不等式解法的基本步骤是： 步骤 1 将“目标函数”表示为“约束条件”中的相应代数式的线性组合（通常用待 定系数法） 步骤 2 将相应不等式放缩为常数； 步骤 3
7、验证常数可以取到，找出“最优解” 可见，这个解法无非是在定义域内（代数不等式组）求二元函数的,f x yaxby值域（当然，中学教材不出现二元函数） ，这只不过是代数题的本义我们认为，对“数形 结合”只说“由数到形”会给学生造成单流向的误解，选择时机补上对应的“代数解法” 有助于学生获得“数形结合”的完整认识、形成优化的认知结构 值得注意的是，学生常常会由约束条件像解方程一样“解出”的范围（结果不惟, x y一，如，） ，然后计算的范围（误得） 这时，12x 10.5y 2xy34.5z 由于不等式的“加减消元”只是一个必要条件过程，不能保证同时取到端点值（, x y不能取到） ，所以，得到的
8、常常只是“估值范围”而非“取值范围” （是“必要条件”4.5z 而非“充要条件” ） 同时呈现解法 1、解法 2，可以帮助学生认清出错的原因、又找到纠错 的办法 （2）反思由条件到结论的单一性 如所周知，解题方法既有综合法（由因索果）又有分析法（执果索因） ，只要有可能， 我们都应该提供综合与分析的双向沟通在线性规划问题上，如果我们着眼于“执果索因” ，那么目标函数就会向我们呈现两个前景：其一是“数形结合”的，即把zaxby转化为向量的数量积，然后在“可行域”上找数量积的zaxby,a baxbxyyg最值（参见解法 3） ；其二是纯代数的，即把改写为参数式（其zaxby00,xxbtyyat
9、 中满足） ，代入的约束条件得关于的不等式（组） ，由此可以确0,0x y00zaxby, x y, z t定 的范围，进而求出的最值（参见解法 4） tz解法解法 3 作向量，记向量的夹角为（） ，则向2,1u r, x yu r, u r u r0量在向量上的投影为由于, x yu r2,1u r22cosxy，2222,1,5coszxyx yxygg所以，求的最值只需计算动向量在定向量上投影的最值z, x yu r2,1u r根据约束条件作出可行域如图 2 中的阴影，在可行域上旋转动向量, 1, 1,yx xy y ABCV，可见：当位于处时投影取到最小值，, x yu ru r1,
10、1OA uu u r； 2,11, 121113m g当位于处时投影取到最大值， u r2, 1OBuuu r 2,12, 12 2 113M g所以选（C） 图 2 336Mm 这个向量解法的基本步骤是： 步骤 1 （由数到形的沟通）将“线性约束条件” （代数不等式组）转化为“可行域” （图形） ；还用到了联立方程求边界角顶点的坐标 步骤 2 （由数到形的沟通）将“目标函数” （代数等式）改写成“两向量的数量积” ， 再转化为一向量在另一向量上的投影,zaxbya bx yg2222cosabxy步骤 3 （数形结合的寻找）在“可行域”内找动向量在定向量, x yu r上投影的最值（有正负）
11、 ，乘以的模得出的最值, a bu ru r22abz可见，这个解法与解法 1 中“数形结合”的基本过程是一样的，不同在于第 2 步把直线变为zaxby数量积，相当于作出了直线,axbya bx yg的垂直向量，相应的，第 3 步把zaxby, a bu r直线的平移变为动向量的垂直zaxby, x yu r投影把图 1 与图 2 合并得图 3，可见，直线平移到，与位于是2xyz2, 1Bu r2, 1OBuuu r同一个位置 图 3解法解法 4 把化为代入约束条件（消去） ，有2zxy,32 ,3zxtzyt , x y2,3321,3321,3zzttzzttzt 得 0, 33, 22
12、63, ttzzt 由、有， 336322ttz可解得，计及得1t 01t 把代入（或、）分别有，当时，；63033zt 0,3,1,1tzxy 3m ，当时，333332222tz 1, 3, 2, 1t z x y 3M 所以选（C） 336Mm 这个参数解法的基本步骤是：步骤 1 将“目标函数”改写为参数式（不惟一） ，当时，可取zaxby0ab当时，可取,zxbtab zyatab 0ab,.zxbtab zyatab步骤 2 代入“约束条件” （消去）得关于的不等式, x y, z t步骤 3 确定 的范围，进而求出的最值 tz可见，这个解法与解法 2 一样，都是用代数方法求二元函数
13、的值域，,f x yaxby不同在于解法 2 用定义域的数式来整体表示函数，直接对二元变量进行放缩，而解法 4 却 把函数式代入定义域的数式中去，消元后对一元变量进行放缩（仿佛回到初中求一元一次 不等式的范围） ，与此相适应，解法 2 用了待定系数法，解法 4 用了参数方程与消元法 以上，呈现了线性规划问题的四个思路，它们各有自己的优势与局限，其中截距解法 是最基本的，不等式解法是一点就通的，它与向量解法都可以看成截距解法的“变式练习” ， 而参数解法则更适于放进选修层次读者在解题教学中可以根据自己的教学风格，既提供 知识的横向沟通，又根据学生的具体实际而灵活渗透 参考文献 1 人民教育出版社：普通高中课程标准试验教科书数学 （必修 5） 2
