242与圆有关的位置关系

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1、242 与圆有关的位置关系.txt12 思念是一首诗，让你在普通的日子里读出韵律来；思念是一 阵雨，让你在枯燥的日子里湿润起来；思念是一片阳光，让你的阴郁的日子里明朗起来。 与圆有关的位置关系 学法导引与圆有关的位置关系主要包括点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关 系这些位置关系都有一个共同的特点，即每一种位置关系都具有相应的数量特征，或者说， 每一种位置关系都对应着一种数量关系这种“位置”与“数量”的交织构成了本节学习的 主旋律同时，对每一种位置关系的深入研究，都会引申出一些重要的结论因此，学会归纳总结， 把零散的知识点“组装”成一个完整的知识系统，是我们学习本节又一个必须面

2、临的问题 思维整合解析重点1经过三点的圆“不在同一直线上的三个点确定一个圆” ，毫无疑问， “不在同一直线上”是结论成立的前 提另外，大家还须明确三角形外心的两个特征：(1)外心是三角形三边垂直平分线的交点； (2)外心到三角形三个顶点的距离相等【例 1】 如图 2421 是一块破残的轮片，试确定它的圆心解析 要确定圆心，只需在破残的轮片弧上取不同的三个点，此时轮片的圆心实际上就是 这三个点所组成的三角形的外心(这三个点注定不在同一直线上)，而外心就是三角形三边垂 直平分线的交点解 作法：1在已知的圆弧上取三点 A、B、C2连接 AB、BC3分别作线段 AB、BC 的垂直平分线 MN、PQ 相

3、交于点 O则 O 点就是所求的圆心点拨 应用“不在同一直线上的三点确定一个圆”这一结论，可以确定圆心未知的圆(弧) 的圆心2切线的判定和性质判定一条直线是圆的切线，大致有以下两种思路：(1)利用切线的定义判定到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线，这种方法多用 于直线与圆有无公共点情况不明的状态；(2)利用切线的判定定理判定需要注意这里的直线应“经过半径的外端”和“垂直于这 条半径” ，这两个条件缺一不可切线的性质定理也可以作如下改述：“如果一条直线满足以下三个条件中的两条，那么它 就必然满足第三条它们是：(1)垂直于切线；(2)过切点；(3)过圆心” 【例 2】 如图 2422，AB 是O

4、 的直径，D 在 AB 延长线上，BDOB，C 在圆上，且 CAB30，求证：DC 是O 的切线解析 点 C 是O 上的一点，故要证 CD 是O 的切线，只需连接 OC，证明 OCCD，这一 步可通过证OCBBCD90得到证明 连接 OC，BC AB 为O 的直径， ACB90 CAB30， ABC60又 OCOB， BOC 是等边三角形 BDOBBC， BCDD OCDOCBBCD60十 3090 DC 为O 的切线点拨 本例中的两条辅助线均为圆的问题中常见的辅助线【例 3】 (2004 年，四川眉山)已知：如图 2423，O 的半径为 6cm，ODAB 于 D，AODAB，AD12cm，B

5、D3cm求证：AB 是O 的切线解析 本题点 D 是否在O 上情况不明，因此是证 AB 是O 的切线，需证 O 到 AB 的距离 等于 6cm现在已知 ODAB 于 D，故只需证 OD6cm 就可以了证明 ODAB， BBOD90 AODB， AODBOD90，即AOB90在 RtAOB、RtAOD、RtBOD 中，由勾股定理，知即 O 点到 AB 的距离为 6cm(O 的半径) AB 是O 的切线点拨 本题给予我们的启示有二：一是当直线与圆有无公共点情况不确定时，证明直线是 圆的切线该如何思考；二是很多证明题往往通过计算达到证明的目的【例 4】 如图 2424，已知ABC 中，BAC90，O

6、 分别切 AB、AC 于点 D、E， 圆心 O 在斜边 BC 上，且 ABa，ACb求：O 的半径解析 连接 OD、OE，易知 ODAB，OEAC，故四边形 ADOE 是正方形而后由面积关系， 可求出O 的半径解 连接 OD、OE、OA AB、AC 是O 的切线，ODAB，OEAC BAC90，点拨 作过切点的半径，几乎是有关切线问题必然的辅助线3切线长定理理解切线长定理，就应该明确以下两点：(1)切线长和切线是两个本质上截然不同的概念：切线是与圆只有唯一公共点的直线，是 一个“图形” ；而切线长是经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，这个 “长”就是线段的长度，它本质上是一个“

7、数量” 例如，从圆外一点 P 引圆的切线 PA，A 为切点，这里的切线指直线 PA；而切线长指的是线段 PA 的长度(2)从O 外一点 P，引O 的两条切线 PA、PB(A、B 为切点)，就构成了以直线 PO 为轴的 一个对称图形，在这个轴对称图形中，PAPB，APOBPO因此可以说，切线长定理是 圆的轴对称性的进一步体现从这种对称的角度看，切线长定理把相等的线段、相等的角、 相等的弧、垂直等一系列的关系，有机地融成了一个整体所以，切线长定理是证明上述各 种关系的一个重要的依据【例 5】 如图 2425，已知 PA、PB、DE 分别切O 于 A、B、C 三点，若 PO13cm，PED 的周长为

8、 24cm，APB40求：(1)O 的半径；(2)EOD 的度数解析 连接 OA、OB，易得 OAPA，故只需设法求出 PA剩下的问题就是如何找出 PA 与 PDE 的周长的关系式解 (1) PA、PB 是O 的切线，A、B 是切点， PAPB同理 EAEC，DBDC PED 的周长PEECCDPDPEEADBPDPAPB2PA，即 2PA24(cm) PA12(cm)连接 AO，则 OAPA(2)连接 OB、OC、OE、OD，则 OBPB，OCED AOB180APB18040140 EAEC，EOEO， RtEOCRtEOA EOCEOA同理CODBOD点拨 本题综合了切线长定理、切线的性

9、质以及关于直线对称的相关定理，这也可以说是 圆的问题的一个显著特点4三角形的内切圆三角形的内心的两个特征：(1)到三角形三边的距离相等；(2)是三角形三个内角的平分线的交点【例 6】 如图 2426，点 I 是ABC 的内心，AI 的延长线交 BC 于点 D，交ABC 的外 接圆于点 E求证：IEBE解析 欲证 IEBE，考虑连接 IB，证EBIEIB，而后要充分利用内心所带来的等角 关系证明 连接 IB I 是ABC 的内心， 12，ABIIBC BIEABI1， BIEIBC2，而23， BIEIBC3，即BIEEBI IEBE点拨 三角形的内心所具有的特征，丰富了我们证明角相等的思考空间

10、5圆和圆的位置关系(1)与点与圆、直线与圆的位置关系类似，圆与圆之间的每一种位置关系都对应着两圆半 径 R、r，圆心距 d 之间的一种数量关系，这种位置和数量之间的关系，既可以作为两圆不 同位置的判定，又是它们的一条性质；(2)当只知 dRr 或 dRr 之一时，两圆并不一定相交，此中反例相信读者朋友不难 举出，因此，唯有 RrdRr 时，才能判定两圆相交【例 7】 如图 2427，以 O 为圆心的两个同心圆的半径分别为 11cm 和 9cm，若P 与 这两个圆都相切，则下列说法正确的是 ( )AP 的半径可以是 2cmBP 的半径可以是 10cmC符合条件的P 有无数个，而且这无数个圆的圆心

11、在同一条曲线上D符合条件的P 有无数个，而且这无数个圆的圆心在同一条直线上解析 乍看问题不难，细究则不尽然问题思考的核心落脚在“P 与两圆都相切”上， “都相切”是都内切？还是都外切？或者与一个内切，与另一个外切？因此应分类讨论 而且这样的圆有无数个，其圆心到 O 的距离为 1cm，故都在以 O 为圆心，以 1cm 为半径的圆 上；(2)P 与两个圆都外切不可能； 而且这样的圆也有无数个，其圆心到 O 的距离为 10cm，故都在以 O 为圆心，以 10cm 为半径 的圆上；(4)P 与小圆内切，与大圆外切不可能综上所述，应选 B解 B点拨 作为一种重要的数学思想，分类讨论在圆的问题中体现得尤为

12、突出剖析难点1与相切有关的几个重要结论的综合应用把切线的判定定理、切线的性质定理、切线长定理、三角形的内心的特征等重要结论结合 在一起解决问题，是圆中一类十分常见的题目类型这类问题往往因为头绪繁多，所涉及的 关系复杂而使大家感到无从着手，因此也就成为本节的一个“难点” 如果说解决这类问题有什么“灵丹妙药”的话，无非是立足于问题的特点，认真观察，大 胆探索，或“执因索果” ，或“由果求因” ，真正理清思路，将问题导向成功【例 8】 如图 2428，四边形 ABCD 是直角梯形，以垂直于底的腰 AB 为直径的O 与 腰 CD 相切于点 E，若此圆的半径为 6cm，梯形 ABCD 的周长为 38cm

13、，求梯形的上、下底 AD、BC 的长解析 易知 AD、BE 都是O 的切线，再由切线长定理可知 DADE，CBCE，可求得 DCADBC13cm，过 D 作 DFBE 于 F，而后可用方程求出 AD，进而可求得 BC解 过点 D 作 DFBC 于 F ABAD，ABBC， AD、BC 都是O 的切线 DC 是O 的切线， DADE，CBCE DEDACB 梯形 ABCD 的周长38cm，AB12cm，即 BCAD5(cm)又 BCAD13(cm)， BC9(cm)，AD4(cm)点拨 本题应用了切线的判定、切线的性质、切线长定理，最后通过构造地直角三角形， 又借助于方程，问题才可以解决2圆与圆

14、位置关系的对称性研究及应用由两个圆所组成的图形，无论它们形成怎样的位置关系，由于经过两圆圆心的直线为两圆 公共的对称轴，因此这条直线也是两圆所组成的图形的对称轴这种对称性经常应用在有关 两圆关系的计算或证明上点拨 这种计算总是要放到直角三角形中进行，只是需要把各种可能的情况都考虑进去点击易错点1直线与圆位置关系的准确理解【例 10】 如图 24210，在 RtABC 中，ACB90，AC3，BC4，若以 C 为圆 心，R 为半径的圆与斜边 AB 只有一个公共点，则 R 的取值范围是_解析 所作的圆与斜边 AB 只有一个公共点，意味着如下两种情况：(2)圆与斜边 AB 相交由于 BCAC，则以

15、C 为圆心、AC 为半径的圆与 AB 交于 A、E 两点，显然，当 3R4 时， 所作的圆与斜边 AB 只有一个公共点解 R2.4 或 3R4点拨 本题的易错之处在于把“圆与斜边 AB 只有一个公共点”单方面地理解为斜边 AB 与 圆相切错误的原因是曲解了直线与圆相切的含义，把“直线的一部分”与圆只有一个公共 点混淆为直线与圆有一个公共点：2三角形内、外心的正确区分【例 11】 如图 24211，ABC 的内心为 I，外心为 O，A，求：BOC 和BIC 的大小解析 BOC 易得BIC 需根据内心的含义及三角形内角和定理去计算解 由圆周角定理易得BOC2A2 I 是ABC 的内心，又 AACBABC180， ACBABC180A点拨 本题的易错之处在于不能正确区分内、外心的含