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1、- 1 -求数列通项公式的常用方法求数列通项公式的常用方法 一：一：观察法：观察法：由数列前几项求数列的通项公式由数列前几项求数列的通项公式 【例例 1】根据数列的前几项，写出它的一个通项公式： （1）1，3，5，7， ； （2）2，5，10，17，； LL（3），； （4）7，77，777，7777，；2 34 156 358 6310 99LL（5），； （6）0，1，0，1，； 1 21 45 813 1629 3261 64LL（7）1，3，3，5，5，7，7，9，9； （8）1，2，2，4，3，8，4，16，5，.L 练习：（5）K,17164,1093,542,211（6）K,52
2、,21,32, 1【例例 2】根据下列 5 个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第个图中有_个点n（1） （2） （3） （4） （5） 练习：（2006 年广东卷）在德国不来梅举行的第 48 届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第 1 堆只有 1 层，就一个球；第堆最底层（第一层）分别按图 4 所示方2,3,4,L式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示nn( )f n第堆的乒乓球总数，则； （答案用表示）. n(3)_f( )_f n n二：公式法：二：公式法： 、当已知数列为等差或等比数列时，可直接利
3、用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。【例例 1】设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，na nb111ab，求，的通项公式。3521ab5313abna nb等差数列是递增数列，前 n 项和为，且成等比数列，求数列的通项公式. nanS931,aaa2 55aS na已知数列an是公差为 d 的等差数列，数列bn是公比为 q 的(qR 且 q1)的等比数列，若函数 f (x) = (x1)2，且 a1 = f (d1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q1)，求数列 a n 和 b n 的通项公式；【例例 2】等差数列 na是递减数列，
4、且432aaa=48，432aaa=12，则数列的通项公式是（ ）(A) 122 nan (B) 42 nan (C) 122 nan (D) 102 nan31 31 3(4) 1,;23 45 6L3 1 5 37(2),.5 2 11 7 17L(1) 1,7, 13,19,;L。 。 。 。 。 。(3)5,0, 5,0,5,0, 5,0,;L- 2 -相关高考相关高考 1：等差数列的前项和为求数列的通项。nan131293 2nSaS ，nana相关高考相关高考 2：实数列等比数列,成等差数列，求数列的通项。是na74561,1,aa aa且nana、已知数列的前 n 项和求通项时，
5、通常用公式 )2() 1(11 nSSnSa nnn1、条件中的最高次为一次：此时往往消去，从所得的数列前一项与后一项的关系式中发现规律，或通过nSnS构造辅助数列，再求出。或已知直接用公式求（注意如果中不含时要分段写通项公式）nanSnana1a【例例 1】已知数列的前 n 项和求数列的通项公式： na na nnSn2212nnSn23 n nS)0()2(812nnnaaS【例例 2】已知数列前 n 项和满足 ，求 2log11nSnna【例例 3】设数列nc的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若 c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式 cn 注意：注意： 2 1
6、ABA=,.22nnnddaaAnBSAnBnBa成等差数列，其中，为常数，且 (1)(001)nk(k0)n nnnaSA qAqAqqS是等比数列，为常数，且，或【例例 4】各项全不为零的数列ak的前 k 项和为 Sk,且 SkN*),其中 a1=1.Z 求数列 ak 。kaakk(21 12、条件中的最高次为二次：此时往往利用（2）消去，寻找与的关系，或通过nS1nnnaSSnnanS1nS构造辅助数列，先求出，再求出。nSna【例例 3】数列中，（2） ，求数列的通项。na11a 22 21n n nSaSnnana3、一般类型：【例例 4】若和分别表示数列和的前项和，对任意正整数，.
7、求数列nSnTna nbn2(1)nan34nnTSn- 3 -的通项公式； nb已知前已知前 n 项和求通项的练习：项和求通项的练习：1.若数列对任意，满足，求数列的通项。na*nN23nnSanana2.数列an的前 n 项和 Sn=32n-3,求数列的通项公式.3.已知数列an的前 n 项和为 Sn，a12，且 nan+1=Sn+n(n+1)，求 an4. (2004 全国卷)已知数列的前项和满足求数列的通项公式。 nannS1,) 1(2naSn nn na5.已知数列中, 且,求数列的通项公式.na0na)(21nnnanaSna6.(2010 广东湛江一模）已知数列的前项和为，且，
8、.（1）求，的值； nannS11a 12nnaS2a3a4a（2）求数列的通项公式. nana7.已知数列的首项，前项和.求数列的通项公式. na11 2a n21nnSn an na8.已知数列前 n 项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式. na2214nnnaS1nanana9.已知正项数列an，其前 n 项和 Sn满足 10Sn=an2+5an+6 且 a1,a3,a15成等比数列，求数列an的通项 an 头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 10. 设数列的前项的和，求首项与通项； nan14122
9、333n nnSa1,2,3,.n 1ana11.(2012 广东中山二模）已知数列的前项和为，满足.证明：数列是等比数 nannS22nnSna2na - 4 -列，并求数列的通项公式；若数列满足，设是数列的前项和.求证： na nb2log2nnbanT 2nnb an.3 2nT 12. 2 n12S2,bb =sinsinsin,12nnnnnnannnaaa已知数列前项和数列满足 n1b2bT .nnn求证：是等比数列.求数列前项和相关高考相关高考 1：（2011 江西）已知数列的前项和为满足：，且，那么 （ nannSnmn mSSS11a 10a） A. 1 B. 9 C. 10
10、 D. 55相关高考相关高考 2：设数列满足，求数列的通项。 na21 1233333n nnaaaaa*N na相关高考相关高考 3：数列的前项和为，求数列的通项. nannS11a * 12()nnaSnN nana求数列nan的前 n 项和 T.相关高考相关高考 4：（2007 重庆理）已知各项均为正数的数列的前项和满足，且 nannS11S ，求 的通项公式。6(1)(2)nnnSaanN na相关高考相关高考 5：（2009 四川卷文）设数列 na的前n项和为nS，对任意的正整数n，都有51nnaS成立，记*4()1n n nabnNa。求数列 na与数列 nb的通项公式；相关高考相
11、关高考 6：(2008 全国卷理)设数列的前项和为已知， nannS1aa13nnnaS*nN设，求数列的通项公式；若，求的取值范围3nnnbS nb1nnaa*nNa相关高考相关高考 7：（2010 上海文数）已知数列的前项和为，且， nannS585nnSna*nN(1)证明：是等比数列；(2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.1na nS1nnSSn- 5 -相关高考相关高考 8：(2008 四川文) 设数列的前项和为，求 证明： 是 nan22nnnSa14,a a12n naa等比数列；三、由递推式求数列通项法：三、由递推式求数列通项法：对于递推公式确定的数列的求解，通常
12、可以通过递推公式的变换，转化为等差数 列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。类型类型 1 :递推公式为解法：转化为，利用累加法累加法求解。即)(1nfaann)(1nfaann=na nkkkaaa211)(简析简析：已知,，其中 f(n)可以是关于 n 的一次、二次函数、指数函数、分式函数，求aa 1)(1nfaann 通项.若 f(n)是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;若 f(n)是关于 n 的指数函数，累加na后可转化为等比数列求和;若 f(n)是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和; 若 f(n)是关于 n 的分式函数， 累加后可裂项求和各式相加
13、得 例例 1. 已知数列满足，求。 na211annaann211na练习练习 1、 已知数列满足，求数列的通项公式。na11211nnaana，na练习练习 2、若在数列中，求通项 na31an nnaa21na练习练习 3、已知数列满足，求数列的通项公式。na112 313n nnaaa ，na评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出=，即得通项公式。1( )nnaaf nna nkkkaaa211)(练习练习 4、在数列中， ，则（ ） na12a 11ln 1nnaanna A. B. C. D. 2ln21 lnnn2lnnn1lnnn- 6 -练习练习 5、 （2010 课标全国）设数列满足，. na12a 21 13 2n nnaa （1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和. nannbna nbnnS练习练习 6、已知数列，且,其中 k=1,2,3,求、求通项.11aan中 2211k kkaa 2123kkkaa3a5ana类型类型 2 :递推公式为:解法：把原递推公式转化为，利用累乘法累乘法求解。nnanfa)(1)(1nfaann
