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1、求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一利用递推关系式求数列通项的总述：一利用递推关系式求数列通项的 1111 种方法：种方法：累加法、累加法、累乘法、累乘法、待定系数法、待定系数法、阶差法（逐差法）阶差法（逐差法） 、迭代法、迭代法、对数变换法、对数变换法、倒数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）换元法（目的是去递推关系式中出现的根号） 、数学归纳法、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式） 、特征根法特征根法二。四种基本数列：等差数列、
2、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、 等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。三三 求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等 比数列。比数列。四求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。四求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。五数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一
3、个函数。五数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。一、累加法一、累加法 1适用于：适用于： -这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。1( )nnaaf n2若，1( )nnaaf n(2)n 则 21321(1)(2)( )nnaafaafaaf nLL两边分别相加得 11 1( )nn kaaf n 例例 1 已知数列满足，求数列的通项公式。na11211nnaana，na解：由得则121nnaan121nnaan112322112()()()()2(1) 1 2(2) 1(2 2 1)(2 1 1) 12(1)(2)2 1(1) 1(1)2(1) 12 (1)(1)
4、 1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn LLL所以数列的通项公式为。na2 nan例例 2 已知数列满足，求数列的通项公式。na112 313n nnaaa ，na解法一：由得则12 31n nnaa 12 31n nnaa11232211122112211()()()()(2 31)(2 31)(2 31)(2 31)32(3333 )(1)33(1 3)2(1)31 3 331 331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn LLL所以31.n nan解法二：两边除以，得，132 31n nnaa 13n1 1121 3333nn nnnaa 则，故1 112
5、1 3333nn nnnaa 11223211 22321 11122122()()()()33333333212121213()()()()333333333 2(1)11111() 1333333nnnnnnn nnnnn nnnnnnnnnaaaaaaaaaa aan LLL因此，11(1 3)2(1)21131331 3322 3n nn nnann 则21133.322nn nan 练习练习 1.已知数列的首项为 1，且写出数列的通项公式. na* 12 ()nnaan nN na答案：12 nn练习练习 2.已知数列满足，求此数列的通项公式. na31a)2() 1(11nnnaa
6、nn答案：裂项求和 nan12评注评注：已知,，其中 f(n)可以是关于 n 的一次函数、二次函数、指数函aa 1)(1nfaann数、分式函数，求通项.na若 f(n)是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;若 f(n)是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和;若 f(n)是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若 f(n)是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。例例 3.已知数列中, 且,求数列的通项公式.na0na)(21nnnanaSna解:由已知得,)(21nnnanaS)(2111 nnnnnSSnSSS化简有,由类型(1)有,nSSnn2 12nSSnL
7、322 12又得,所以,又,11aS 11a2) 1(2nnSn0na2) 1(2nnsn则2) 1(2) 1(2nnnnan此题也可以用数学归纳法来求解.二、累乘法二、累乘法 1.适用于：适用于： -这是广义的等比数列1( )nnaf n a累乘法是最基本的二个方法之二。2若，则1( )nnaf na31212(1)(2)( )nnaaafff naaaL L，两边分别相乘得，1 1 11( )n nkaaf ka例例 4 已知数列满足，求数列的通项公式。na112(1)53n nnanaa，na解：因为，所以，则，故112(1)53n nnanaa，0na 12(1)5nnnana132
8、1 122112211(1) (2)2 1(1) 122(1 1)52(2 1)52(2 1) 5 2(1 1) 5 32 (1)3 2 533 25!nn n nnnnnnnn n naaaaaaaaaannn nn LLLL所以数列的通项公式为na(1) 123 25!.n n n nan 例例 5.设是首项为 1 的正项数列，且（=1，2， 3，） ， na01122 1nnnnaanaann则它的通项公式是=_.na解：已知等式可化为：0) 1()(11nnnnnaanaa()(n+1), 即Q0na*Nn01nnnaa11 nn aann时，2nnn aann11=.1 12211a
9、aa aa aaannnn nL121 121Lnn nn n1评注：评注：本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得na1na到与的更为明显的关系式，从而求出.na1nana练习.已知,求数列an的通项公式.1, 111annaann答案：-1.na) 1()!1(1an评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为转化为, 11nnaann若令,则问题进一步转化为形式，进而应用累乘法),1(11nnana1nnabnnnbb1求出数列的通项公式.三、待定系数法三、待定系数法 适用于适用于 1( )nnaqaf n基本思路是转
10、化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一 个函数。1形如,其中)型0( ,1cdcaannaa 1（1）若 c=1 时，数列为等差数列;na（2）若 d=0 时，数列为等比数列;na（3）若时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列01 且dcna来求.待定系数法：设,)(1nnaca得,与题设比较系数得) 1(1ccaann,1dcaann,所以所以有：dc) 1()0( ,1ccd)1(11cdaccdann因此数列构成以为首项，以 c 为公比的等比数列， 1cdan 11cda所以 即：.1 1)1(1n nccdacda1)1(1 1 cd
11、ccdaan n规律：将递推关系化为,构造成公比为 c 的等比数dcaann1)1(11cdaccdann列从而求得通项公式1cdan)1(111 1 cdaccdan n逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系中把 n 换成 n-1 有dcaann1,两式相减有从而化为公比为 c 的等比数列,进dcaann1)(11nnnnaacaa1nnaa而求得通项公式. ,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复)(121aacaan nn杂.例例 6 已知数列中，求数列的通项公式。na111,21(2)nnaaan na解法一：121(2),nnaanQ112(1)nnaa 又是首项为
12、 2，公比为 2 的等比数列112,1naa Q，即12nna 21n na 解法二：121(2),nnaanQ121nnaa两式相减得，故数列是首项为 2，公比为 2 的等112()(2)nnnnaaaan1nnaa比数列，再用累加法的练习已知数列中，求通项。na,21 21, 211nnaaa na答案：1)21(1n na2形如： (其中 q 是常数，且 n0,1) n nnqapa1若 p=1 时，即：，累加即可.n nnqaa1若时，即：，1pn nnqapa1求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列1np即： ,令，则,然后类型 1，累加求通项.n
13、 nn nn qp pqapa)(111 nn npab n nnqp pbb)(11ii.两边同除以 . 目的是把所求数列构造成等差数列。1nq即： ,qqa qp qann nn111令,则可化为.然后转化为类型 5 来解，nn nqab qbqpbnn11iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.)(1 1n nn npapqa 注意：应用待定系数法时，要求 pq，否则待定系数法会失效。例例 7 已知数列满足，求数列的通项公式。na1 1124 31n nnaaa ， na解法一（待定系数法）：设，比较系数得，1 1123(3nn nnaa )124,2 则数列是首项为，公比为 2 的等比数列，14 3nna 1 1 14 35a 所以，即114 35 2nn na 114 35 2nn na 解法二（两边同除以）： 两边同时除以得：，下面解法略1nq13n1 1224 33 33nn nnaa 解法三（两边同除以）： 两边同时除以得：，下面解法略1np12nn nn nnaa)23(34 2211练习.（2003
