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1、 1通项公式求法通项公式求法 (一)转化为等差与等比1、已知数列满足，（） ，求数列的通项公式na11a 2 11nnaa,nNn na2.已知是首项为 2 的数列，并且，求数列的通项公式na112nnnnaaa a na3、已知数列中，. na10a 11 2n naa*Nn求证：是等差数列；并求数列的通项公式；1 1na na4.已知数列中，如果，求数列的通项公式 na13a 1222nnaan2nnban na2（二）含有的递推处理方法nS1）知数列an的前 n 项和 Sn满足 log2（Sn+1）=n+1，求数列an的通项公式.2.）若数列的前 n 项和满足：,求数列的通项公式 nan
2、S2(2) 8n naS na3）若数列的前 n 项和满足：，求数列的通项公式 nanS111,0,4nnnnaS Saa na4）若数列满足：,求数列的通项公式 na12323.(1)(2)naaanan nn na（三） 累加与累乘（1）如果数列中，求数列的通项公式 na111,2nnnaaa(2)n na3（2）已知数列满足，求此数列的通项公式na31a)2() 1(11nnnaann(3) ,求此数列的通项公式.12+211,2,=32nnnaaaaa（4）若数列的前 n 项和满足，求数列的通项公式 nanS2 11,2nnSn a a na（四）一次函数的递推形式（四）一次函数的递推
3、形式1. 若数列满足，求数列的通项公式 na1111,12nnaaa(2)n na2 .若数列满足 ，求数列的通项公式 na1111,22n nnaaa(2)n na4（五）分类讨论（1），求数列的通项公式2123(3),1,7nnaanaa na（2），求数列的通项公式12 22(3),1,3nnanaaa na（六）求周期（1） ，求121,41n n naaaa2004a（2）如果已知数列，求11nnnaaa122,6aa2010a5拓展 1：有关等和与等积（1）数列满足, ,求数列an的通项公式na01a12nnaa（2）数列满足, ,求数列an的通项公式na01a12nnaan(3)
4、.已知数列,求此数列an的通项公式.满足na)( ,)21(, 3* 11Nnaaan nn拓展 2 综合实例分析1 已知数列an的前 n 项和为，且对任意自然数 n，总有nS1 ,0,1nnSp app（1）求此数列an的通项公式(2)如果数列中，求实数 p 的取值范围 nb11222,nbnq ab ab2 已知整数列an满足，求所有可能的31223341.3nnnna aa aa aaana3 已知是首项为的正项数列，并且，则它的通项公式是什na22 11(1)0(1,2,3,)nnnnnanaaanLna6么4 已知是首项为 1 的数列，并且，则它的通项公式是什么na134n n na
5、aana5、数列和中，成等差数列，成等比数列，且，设 na nb1,nnnabanb1na1nb11a21b，求数列的通项公式。nn nbac nc6设无穷数列的前项和为，已知，且当时，总有，求及 nannS12a nN1312nnSS nanS77 数列满足，其中为正实数， na11nnpSa p12nSaa* nanN(1)证明：为等比数列，并求出它的通项； na(2)数列中，求的通项公式 nb11b 1nnnbba nb数列求最值的方法8（一）化为函数方法 转化为耐克函数（1）如果数列的通项公式是=，此数列的哪一项最小？并求其最小值 nana24nn n（2）如果数列的通项公式是=，此数
6、列的哪一项最大？并求其最大值 nana2156n n 转化为分式函数（3）如果数列的通项公式是=，此数列的哪一项最大？并求其最大值 nana1 5n n 转化为二次函数（4）如果数列的通项公式是=是单调递增数列，求 k 的取值范围。 nana22nkn如果该数列在第四项最小，求 k 的取值范围（二）数列的简单单调性求最值的方法：9如果数列的通项公式是= ， nana*111.()12nNnnnn (1)判断数列的增减(2)若对于一切大于 1 的自然数 n，不等式恒成立求 a 的取值范围？12log (1)123naaa（三）计算器结合复杂单调性，求最值的方法（1）数列的通项公式是=，是否存在自
7、然数 m，使对任意的序号，有恒成 nana*1,nnN*nNnmaa立，若存在，求出 m，如果不存在，请说明理由（2）如果数列的通项公式是=，是否存在自然数 m，使对任意的序号，有 nana*9() ,10nnN*nN恒成立，若存在，求出 m，如果不存在，请说明理由nmaa（3）如果数列的通项公式是=，是否存在自然数 m，使对任意的序号，有 nana*9(1)() ,10nnnN*nN恒成立，若存在，求出 m，如果不存在，请说明理由nmaa10（四）数列单调性求“和”的最值的方法已知数列前 n 项和为，且nS585,()nnSnanN（1）求的通项公式na（2）求的通项公式nS（3）说说 n
8、为何值时，取得最小值？nS数列的求和 （一）倒序相加法：（1）设，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，求： 1 22xf x n的值87ff 0f 89ff（2） 01231234.(1)nn nnnnnnnSCCCCnCnC（二） 错位相减法11求和：1357 2481621 2nn（三） 公式求和法（1）数列中，且， na148,2aa* 2120nnnaaanN，求1234nSaaaananS（2）)(*122221NnbabbababaaSnnnnnn nL（3）求和222212342n（三）裂项求和法（1）111,1 5 3 7 5 912（2）111 133557（3） )(
9、, 32114321132112111*Nn n LL（4）求数列的前 n 项和!nan n（四）. 分组求和法 1. 分部分组法（1）1111 ,2,3 ,24813（2） 1，3，32，3n1 31 321 3n2.奇偶分组（3）已知求数列的前项和 654nnnn a n 为偶数为奇数 nan3均匀分组（4）1,3, 5,74. 不均匀分组（5）求数列：的前 100 项和；1 1 1 1 1 1 1 1 11, , , ,2 2 3 3 3 4 4 4 4（6）求数列：的前项和1,23,456,789 10, n14数列的极限 5 个“三” 三个定义极限（1）C=C（C为常数）; nlim
10、（2）=0; nlimn1（3）qn=0（|q|1） nlim三个不存在的极限lim nn lim( 1)n nlim2n n三个推导极限 （1）多项式1 *110 1 110,;.( ,0,0).0,.limkk kk klll nllalka nana nak lNabbbnb nbnblk ，则3543lim2 nbnann._,ba(2)单指数1(1)(1) (1)limnn nrq qq （3）多指数15若，求的取值范围131lim331nnnna a三个待定形1）型0 0比较 和2213lim12nnnnn2213lim14nnnnn2）型 比较和2232lim21nn n 225
11、2lim21nn n 3）0+0+0+0+0+0+0+0型nlim._)12 13 12 11(2222 nn nnn三个重要条件0( 11)limnnqq 极限存在limnnq( 11)q 1lim1nnaSSq(0 | 1)q设数列是公比的等比数列，是它的前项和，若，那么的的取值范围是_na0qnSn nlim7nS1a例 1已知数列中， na)(2, 111 Nnaaan nn（1）求证数列不是等比数列，并求该数列的通项公式； na16（2）求数列的前项和； nannS（3）设数列的前项和为，若对任意恒成立，求的最小值. nan2nS2nnnaSka222)1 (3 Nnk例 2定义1x
12、，2x，nx的“倒平均数”为nxxxn L21（*Nn） （1）若数列na前n项的“倒平均数”为421 n，求na的通项公式；（2）设数列nb满足：当n为奇数时，1nb，当n为偶数时，2nb若nT为nb前n项的倒平均数，求nnT lim；（3）设函数xxxf4)(2，对（1）中的数列na，是否存在实数，使得当x时，171)(naxfn对任意*Nn恒成立？若存在，求出最大的实数；若不存在，说明理由例 3 设满足条件的数列组成的集合为，而满足条件)(2:* 12NnaaaPnnnA的数列组成的集合为.)(2:* 12NnaaaQnnnB（1）判断数列和数列是否为集合或中的元素？naann21:n
13、nnbb21:AB（2）已知数列，研究是否为集合或中的元素；若是，求出实数的取值3)(knannaABk范围；若不是，请说明理由. （3）已知，若为集合中的元素，求满足不等式* 231( 1) log(,)i nan iZ nNnaB的的值组成的集合.60|2|nann18例 4 对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意的（）都有成立，那么就把这样nxmnNnnmnxx一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期. 例如当nxmmnx时是周期为 的周期数列，当时是周期为的周期数列.2nxnx1sin()2nynny4（1）设数列满足（） ，（不同时为 0） ，求证：数列nannnaaa12Nnbaaa21, a b是周期为的周期数列，并求数列的前 2012 项的和；na6na2012S（2）设数列的前项和为，且. nannS2)1(4nnaS 若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；0nana19 若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；01nnaana例 5已知数列和的通项公式分别为，（） ，将集合na nb36nan27nbn*nN中的元素从小到大依次排列，构成数列* |, |,nnx xa nNx xb nNU。123,
