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1、数列的通项公式求解方法经典整理数列的通项公式求解方法经典整理旭日东升QQ：284625005 一、定义法：一、定义法：等差数列通项公式；等差数列通项公式；等比数列通项公式。等比数列通项公式。 1概念与公式： 等差数列： 1.定义：若数列称等差数列；),(1nnnnadaaa则常数满足 2.通项公式：;)() 1(1dknadnaakn3.前n项和公式：公式：.2) 1( 2)(11dnnnaaanSn n等比数列：1.定义若数列（常数） ，则称等比数列；qaaann n1满足na2.通项公式：;1 1kn kn nqaqaa3.前 n 项和公式：当 q=1 时),1(1)1 ( 111qqqa
2、 qqaaSn n n.1naSn2简单性质： 首尾项性质：设数列,:321nnaaaaaL1.若是等差数列，则na;23121Lnnnaaaaaa2.若是等比数列，则na.23121Lnnnaaaaaa中项及性质：1.设a，A，b成等差数列，则 A 称a、b的等差中项，且;2baA2.设a,G,b成等比数列，则 G 称a、b的等比中项，且.abG设p、q、r、s为正整数，且, srqp1. 若是等差数列，则na;srqpaaaa2. 若是等比数列，则na;srqpaaaa顺次 n 项和性质：1.若是公差为d的等差数列，组成公差为 n2d 的等差数列；na nknnknnkkkkaaa1213
3、12,则2. 若是公差为q的等比数列，组成公差为qn的等比数列.（注na nknnknnkkkkaaa121312,则意：当q=1，n为偶数时这个结论不成立） 若是等比数列，na则顺次n项的乘积：组成公比这的等比数列.nnnnnnnaaaaaaaaa3221222121,LLL2nq若是公差为 d 的等差数列,na1.若n为奇数，则而 S奇、S偶指所,:(21nnaaaaSSnaS中中中偶奇中即指中项注且有奇数项、所有偶数项的和） ；2.若n为偶数，则.2ndSS奇偶1.等差数列是递增数列，前 n 项和为，且成等比数列，求数列 nanS931,aaa2 55aS 的通项公式. na解析：解析：
4、 设数列公差为 na)0(dd成等比数列，931,aaa912 3aaa 即)8()2(112 1daadadad12，0dda 1，2 55aS 2 11)4(2455dada由得：， 531a53dnnan53 53) 1(53点评点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出 通项。 2. 在等差数列 ；qpqpnapaqaa则中,在各项为正的等比数列 。mnmnmnaqapaa则中,解析：解析：0,pq3.3.已知数列试写出其一个通项公式：_；L,3219 ,1617 ,815 ,413二、观察法二、观察法 给出前几项（或用图形给出）给出前几项（或用图
5、形给出） ，求通项公式一般从以下几个方面考虑：，求通项公式一般从以下几个方面考虑： 符号相隔变化用符号相隔变化用(-1)(-1)的的 n n 次方来调节。次方来调节。 分式形式的数列，注意分子、分母分别找通项，并注意分子与分母的联系。分式形式的数列，注意分子、分母分别找通项，并注意分子与分母的联系。 分别观察奇数项与偶数项的变化规律，用分段函数的形式写出通项。分别观察奇数项与偶数项的变化规律，用分段函数的形式写出通项。 观察是否与等差数列和等比数列相联系。观察是否与等差数列和等比数列相联系。 分析相邻项的关系。分析相邻项的关系。 如果需要证明，使用数学归纳法。如果需要证明，使用数学归纳法。 例
6、：例： 求以下数列的通项公式求以下数列的通项公式 1/2,4/9,3/8,8/25,5/18,12/49 -3,7,-13,21,-31 1,4,9,16 解析：解析： ：将 1/2 改成 2/4,3/8 改成 6/16，5/18 改成 10/36，原数列就为 2/4,4/9,6/16,8/25,10/36,12/49，所以通项公式为 an=2n/(n+1) ：符号相隔变化用(-1)的 n 次方来调节， 数列 3，7，13，21，31，的通项公式：后项与前项差为 4、6、8、10，把第一项 3 分为 1+2，数列 2、4、6、8、10，为等差数列，公差 d=2，通项：2+2(n-1)=2n，则
7、bn=1+2+4+6+2n=1+=n+n+1 22 2n n所以 an=(-1)n(n+n+1) 第二种办法：数列 3，7，13，21，31，看作：4-1，9-2，16-3，25-4，36-5，所以 an= = 21 (1)nnn 211nnn：an=n例：例： 已知数列满足，求数列的通项公式。na11228(1)8 (21) (23)9nnnaaann，na解：由及，得1228(1) (21) (23)nnnaann18 9a 2122322243228(1 1)88 224 (2 1 1) (2 1 3)99 2525 8(2 1)248 348 (2 2 1) (2 23)2525 49
8、49 8(3 1)488 480 (2 3 1) (2 33)4949 8181aaaaaa 由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。22(21)1 (21)nnan（1）当时，所以等式成立。1n 212(2 1 1)18 (2 1 1)9a （2）假设当时等式成立，即，则当时，nk22(21)1 (21)kkak1nk1228(1) (21) (23)kkkaakk222222222222222222222(21)18(1) (21)(21) (23)(21)1(23)8(1) (21) (23)(21) (23)(23)8(1) (21) (23)(21) (23)(21) (21) (
9、23)(23)1 (23)2(1) 11 2(1) 1kk kkkkkk kkkkkk kkkkk kkk kk k2由此可知，当时等式也成立。1nk根据（1） ， （2）可知，等式对任何都成立。*nN 评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项，进而猜出数列的通项公式， 最后再用数学归纳法加以证明。1. （广东卷）设平面内有条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直(3)n 线不过同一点若用表示这条直线交点的个数，则_；当( )f n(4)f时，_( )f n 2 2.（2008福州检测）图（1），（2），（3），（4）分别包含 1,5,13 和 25 个互不重叠
10、的 单位正方形，按同样的方式构造图形，则第 50 个图包含 个互不重叠的单位正方形.3 （2006 年广东卷）在德国不莱梅举行的第 48 届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓 球堆成若干准“正三棱锥”形的展品， 其中第一堆只有一层，就 1 个乒乓球；第 2、3、4、堆最底层（第一层）分别按图 4 所示 方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第 n 堆第 n 层就放一个 乒乓球，以表示第 n 堆的乒乓球总数，则 ； （答案用含有)(nf)3(f)(nf n 的式子表示）4.如图,作边长为的正三角形的内切圆,在这个圆内作内接正a 三角形,然后,再作新三角形的内切圆.如此下去
11、,则前个内切n 圆的面积和为_ 解析：解析： 设第个正三角形的内切圆的半径为,因为从第 2 个正三角nna形开始,每一个正三角形的边长是前一个正三角形边长的,1 2每一个正三角形内切圆的半径也是前一个正三角形内切圆半径的.由题意知1 2,.故前个内切圆的面积和为113tan3026aaa11 2nnaan.21 2222 1211111444nnaaaag g gg g g221114(1)1129414nnaa 5.学校餐厅每天供应 500 名学生用餐,每星期一有 A,B 两种菜可供选择.调查资料表明,凡是 在星期一选 A 种菜的,下星期一会有 20% 改选 B 种菜;而选 B 种菜的,下星
12、期一会有 30% 改选 A 种菜.用分别表示在第个星期选 A 的人数和选 B 的人数,如果,求.,nna bn4001a10a解析：解析：依题意得，消去得：.143 510 500nnnnnaabab nb111502nnaa由得,从而得.1300a 2300a 10300a一般地，可推出，若，则数列是首项为，11300(300)2nnaa1300a 300na 1300a 公比为的等比数列则1 2111300(300)2nnaa6.观察下列数表: 12,3 4,5,6,7 8,9,10,11,12,13,14,15 则 2 008 是此表中的第 行的第 个数. 7.将数列3n-1按“第 n
13、组有 n 个数”的规则分组如下： （1） ， （3，9） ， （27，81，243） ，则第 100 组中的第一个数是 . 8.将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： na1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a记表中的第一列数构成的数列为，为数列的前1247aaaa L， nb111banS nb项和，且满足 n221(2)nnnnbnb SS（）证明数列成等差数列，并求数列的通项公式；1nS nb（）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数当时，求上表中第行所有项的和814 91a (3)k k9.（福建卷）五位同学围成一圈
14、依序循环报数，规定： 第一位同学首次报出的数为 1.第二位同学首次报出的数也为 1，之后每位同学所报出的数 都是前两位同学所报出的数之和；若报出的是为 3 的倍数，则报该数的同学需拍手一次， 当第 30 个数被报出时，五位同学拍手的总次数为 。 解析：解析： 这样得到的数列这是历史上著名的数列，叫斐波那契数列.寻找规律是解决问题的根本，否 则，费时费力.首先求出这个数列的每一项除以 3 所得余数的变化规律，再求所求就比较简 单了.这个数列的变化规律是：从第三个数开始递增，且是前两项之和，那么有 1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987分别除以 3 得余 数分别是 1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0由此可见余数的变化规 律是按 1、1、2、0、2、2、1、0 循环，周期是 8.在这一个周期内第四个数和第八个数都是 3 的倍数，所以在三个周
