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1、排列组合二项式递推数列求通项递推数列求通项常见题型解法自用资料集1排列组合的常见题型及其解法排列组合的常见题型及其解法排列、组合的概念具有广泛的实际意义，解决排列、组合问题，关键要搞清楚是否与元素的顺序 有关。复杂的排列、组合问题往往是对元素或位置进行限制，因此掌握一些基本的排列、组合问题的 类型与解法对学好这部分知识很重要。 一. 特殊元素（位置）用优先法把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置） ，对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优 先安排的方法。例 1. 6 人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优
2、先安排的方法。解法 1：（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有种站法；第二步再让其余的 5 人站在其他 5 个位置上，有种站法，故站法共有：A41A55480（种）AA41 55解法 2：（位置分析法）因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的 5 个人中任选两人站在左右两端，有种；第二步再让剩余的 4 个人（含甲）站在中间 4 个位置，有种，故站法共有：A52A44（种）AA52 44480二. 相邻问题用捆绑法对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”：即将这几个元素看作一个整体，视 为一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行
3、排列。例 2. 5 个男生和 3 个女生排成一排，3 个女生必须排在一起，有多少种不同排法？解：把 3 个女生视为一个元素，与 5 个男生进行排列，共有种，然后女生内部再进行排列，有A66种，所以排法共有：（种） 。A33AA66 334320三. 相离问题用插空法元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素 位置之间和两端的空中。例 3. 7 人排成一排，甲、乙、丙 3 人互不相邻有多少种排法？解：先将其余 4 人排成一排，有种，再往 4 人之间及两端的 5 个空位中让甲、乙、丙插入，有A44种，所以排法共有：（种）A53AA44 531440四. 定
4、序问题用除法对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。解题方法是：先将 n 个元素进行全排列有种，个元素的全排列有种，由于要求 m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种Annm mn()Amm排法，可以利用除法起到调序的作用，即若 n 个元素排成一列，其中 m 个元素次序一定，则有种A Annmm排列方法。例 4. 由数字 0、1、2、3、4、5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数 有多少个？解：不考虑限制条件，组成的六位数有种，其中个位与十位上的数字一定，所以所求的六AA51 55位数有：（个）AA A51 5522300五. 分排问题用直排法对于把几个元素分成
5、若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一成一排的方法求解。例 5. 9 个人坐成三排，第一排 2 人，第二排 3 人，第三排 4 人，则不同的坐法共有多少种？解：9 个人可以在三排中随意就坐，无其他限制条件，所以三排可以看作一排来处理，不同的坐标共有种。A99六. 复杂问题用排除法对于某些比较复杂的或抽象的排列问题，可以采用转化思想，从问题的反面去考虑，先求出无限 制条件的方法种数，然后去掉不符合条件的方法种数。在应用此法时要注意做到不重不漏。例 6. 四面体的顶点和各棱中点共有 10 个点，取其中 4 个不共面的点，则不同的取法共有（ ）A. 150 种B. 147 种C. 144
6、种D. 141 种解：从 10 个点中任取 4 个点有种取法，其中 4 点共面的情况有三类。第一类，取出的 4 个点C104位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上的 3 个点及该棱对棱的中点，这 4 点共464C面，有 6 种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱） ，它 的 4 个点共面，有 3 种。以上三类情况不合要求应减掉，所以不同的取法共有：排列组合二项式递推数列求通项递推数列求通项常见题型解法自用资料集2（种） 。CC104 64463141七. 多元问题用分类法按题目条件，把符合条件的排列、组合问题分成互不重复的若干类，分别计算，最后
7、计算总数。例 7. 已知直线中的 a，b，c 是取自集合3，2，1，0，1，2，3中的 3 个不同axbyc 0的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数。解：设倾斜角为，由为锐角，得，即 a，b 异号。tan a b0（1）若 c0，a，b 各有 3 种取法，排除 2 个重复（，） ，330xy220xyxy 0故有：3327（条） 。（2）若，a 有 3 种取法，b 有 3 种取法，而同时 c 还有 4 种取法，且其中任意两条直线均不c 0 相同，故这样的直线有：33436（条） 。从而符合要求的直线共有：73643（条）八. 排列、组合综合问题用先选后排的策略处理排列、
8、组合综合性问题一般是先选元素，后排列。例 8. 将 4 名教师分派到 3 所中学任教，每所中学至少 1 名教师，则不同的分派方案共有多少种？解：可分两步进行：第一步先将 4 名教师分为三组（1，1，2） ， （2，1，1） ， （1，2，1） ，共有：（种） ，第二步将这三组教师分派到 3 种中学任教有种方法。由分步计数原理得不CCC A42 21 11226A33同的分派方案共有：（种） 。因此共有 36 种方案。CCC AA42 21 11223336九. 隔板模型法常用于解决整数分解型排列、组合的问题。例 9. 有 10 个三好学生名额，分配到 6 个班，每班至少 1 个名额，共有多少种
9、不同的分配方案？解：6 个班，可用 5 个隔板，将 10 个名额并排成一排，名额之间有 9 个空，将 5 个隔板插入 9 个空，每一种插法，对应一种分配方案，故方案有：（种）C95126排列组合二项式递推数列求通项递推数列求通项常见题型解法自用资料集3例说二项式定理的常见题型及解法例说二项式定理的常见题型及解法二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，解法灵活且比较难掌握。二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现。本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如
10、下，希望能够起到抛砖引玉的作用。一、求二项展开式一、求二项展开式1 1 “”型的展开式型的展开式nba)( 例 1求的展开式；4)13(xx 解：原式=4)13(xx 24) 13( xx =)3()3()3()3(144342243144042CCCCCxxxxx=) 112548481(1234 2xxxxx=54112848122xxxx小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。2 2 “”型的展开式型的展开式nba)( 例 2求的展开式；4)13(xx 分析：解决此题，只需要把改写成的形式然后按照二项展开式的格
11、式展开即4)13(xx 4)1(3xx可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力。3 3二项式展开式的二项式展开式的“逆用逆用”例 3计算；cCCCnnnn nnn3) 1(.27931321解：原式=nnn nnnnnCCCCC)2()31 ()3(.)3()3()3(33322110小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。二、通项公式的应用二、通项公式的应用1 1确定二项式中的有关元素确定二项式中的有关元素例 4已知的展开式中的系数为，常数的值为 9)2(x xa3x49a解：923 92 99 912) 1()2()( rrr rrrrr rxaCx xaCT
12、令，即3923r8r依题意，得，解得492) 1(89488 9aC1a2 2确定二项展开式的常数项确定二项展开式的常数项例 5展开式中的常数项是 103)1(xx 解： rrrrrr rxCxxCT65510310 101) 1()1()( 令，即。0655r6r所以常数项是210) 1(6 106C3 3求单一二项式指定幂的系数求单一二项式指定幂的系数例 6 （03 全国）展开式中的系数是 ；92)21(xx 9x解：=rrr rxxTC)21()(92 91 rrrr xxC)1()21(218 9xrrxC318 9)21(令则，从而可以得到的系数为：, 9318 x3r9x，填221
13、)21(339C221三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数例 7的展开式中，的系数等于 5432) 1() 1() 1() 1() 1(xxxxx2x排列组合二项式递推数列求通项递推数列求通项常见题型解法自用资料集4解：的系数是四个二项展开式中 4 个含的，则有2x2x20)() 1() 1() 1() 1(3 52 41 30 233 522 411 300 2CCCCCCCC例 8 （02 全国）的展开式中，项的系数是 ；72)2)(1xx（3x解：在展开式中，的来源有：3x第一个因式中取出，则第二个因式必出，其系数为；2xx
14、667)2(C第一个因式中取出 1，则第二个因式中必出，其系数为3x447)2(C的系数应为：填。3x,1008)2()2(447667CC1008四、利用二项式定理的性质解题四、利用二项式定理的性质解题1 1 求中间项求中间项例 9求（的展开式的中间项；103)1xx 解：展开式的中间项为,)1()(310 101rrr rxxTC Q535510)1()(xxC即：。65 252x当为奇数时，的展开式的中间项是和；nnba)( 21 2121nnnnbaC21 2121nnnnbaC当为偶数时，的展开式的中间项是。nnba)( 222nnnnbaC2 2 求有理项求有理项例 10求的展开式
15、中有理项共有 项；103)1(xx 解：341010310 101) 1()1()(r rrrrr rxxrTCC Q当时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有 4 项。9 , 6 , 3 , 0r当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式；当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式。3 3 求系数最大或最小项求系数最大或最小项（1 1）特殊的系数最大或最小问题特殊的系数最大或最小问题例 11 （00 上海）在二项式的展开式中，系数最小的项的系数是 ；11) 1( x解：rrr rxTC) 1(11 111 Q要使项的系数最小，则必为奇数，且使为最大，由此得，从而可知最小项的系数为rCr115r462) 1(5511C（2 2）一般的系数最大或最小问题一般的系数最大或最小问题例 12求展开式中系数最大的项；84)21(xx 解：记第项系数为，设第项系数最大，则有rrTk又，那么有 11kkkk TTTT1182 .rr
