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1、前言前言11动态几何动态几何与与超级画板超级画板在计算机屏幕上作出的几何图形，如果在变化和运动中能保持其几何关系不变，就叫做动态几何图形。有关动态几何作图的理论和应用的学科，就是动态几何 。动态几何图形有两个基本特点：(1)图中的某些对象可以用鼠标拖动或用参数的变化来直接驱动；（2）其他没有被拖动或直接驱动的对象会自动调整其位置，以保持图形原来设定的几何性质。例如，作两条线段和它们的一个交点；当拖动一条线段的端时，线段会随着运动，交点也会随着运动(如图 1)。图 1第一个动态几何软件几何画板(简称 GSP)，出现于上世纪 80 年代，是美国国家科学基金支持的项目的成果。 几何画板问世后，动态几
2、何的教育价值很快得到世界各国的教师和教育家的肯定，欧美国家又研发出更多的动态几何软件，经过 20 多年的发展，动态几何软件至少已有 40 多种，其功能也更加丰富。除了上面两个特点外，有些软件增加了跟踪、轨迹、测量、动画、迭代以及曲线作图的功能。我国于 1996 年由人教社引进几何画板并完成该软件的汉化工作。10 多年来， 几何画板在中学数学教学中已产生较大的影响， 几何画板课程也成为大学数学系的计算机辅助教学课程的一个重要组成部分，而这一课程被那些已经毕业，现在从事中学数学教学的老师认为是最有帮助的大学课程。从美国引进的几何画板 ，在我国教育信息化的进程中起到了积极的作用。但是，我们不能等待人
3、家的软件根据我们的需求来升级。 几何画板已经出来快 20 年了，版本到了 4.07,数学教学中十分需要的立体构图、符号计算、 智能推理的功能它仍未能实现。借助我国在数学机械化领域的学术优势，自己组织力量，未必不能成功。 经过几年的实践和思考，特别是和一线老师们的交流，我们认识到教师和学生在教学过程中的需求是多种多样的，不仅仅作几个几何图形，于是开始形成了“智能知识平台”的概念。教育活动的主要内容涉及知识的传播。用于教学的教育软件实质上是满足人们知识需求的系统。人们对知识的需求是多种多样的。大体说来,不外是： (1) 引用资料，这是对知识的最通常最基本的使用方式。 (2) 解决问题，特别是专业科
4、技问题。如用数学软件来解方程，求最大公因式；或用绘图软件画几何图形工程图样。为满足这类需求，知识要以基于一定算法的可执行程序的形式储存。 (3) 科学传播，这就要将知识组织成生动通俗的表现形式。如教师备课和制作课件，科普作者进行创作，都是为传播知识而提出对知识的需求。这不仅要使用资料和解题程序，还要求提供方便的表现手段，以便演示其作品。 (4) 学习进修，包括知识学习和技能培训。这要资料组织得由浅入深以循序渐进，解题程序要有过程便于举一反三。并辅以练习、测评等。 (5) 学术研究，这要求知识库具有高层次的专业内容和有效率的运算器，支持知识创新活动。 简单地说，人们对知识系统的需求，基本上是为了
5、引用知识、运用知识、传播知识、学习知识和发展知识。在引用知识、运用知识、传播知识、学习知识和发展知识的活动中，有大量的工作是可以机械化的，其中相当多的工作是数学活动，可以应用数学机械化的思想、方法和成果来解决。 在某一知识领域内一定层次上，能够满足人们引用知识、运用知识、传播知识、学习知识和发展知识的需求的计算机系统，即能够使这些活动尽可能机械化的计算机系统，我们称之为一个“智能知识平台” 。这里设想的智能知识平台是面向学科领域的，并且是分层次的。如果将其学科知识水平定位于和某一等级学校的课程大纲相符合，它就成了针对某个学科的智能教育平台。对于数理学科，在构建其智能教育平台时，为了满足人们运用
6、知识、传播知识和发展知识活动中的需求，数学机械化扮演着及其重要的角色。数学机械化和教育技术的结合，能带来哪些好处呢？ （1）本来就要做的事，做得更快更容易，提高了效率。 效率问题不可忽视。因为量变会引起质变。效率提高了，老师和学生就减轻了负担，才有更多时间思考、实践、讨论，才有可能创新。教师不论用什么模式来教，学生不论用什么方法来学，他们都要写、画和计算。这些劳动中有些部分是机械的、重复的，并且劳动过程本身对达到教学目标意义不大。对教师来说，这类劳动所占比例更大。用计算机代替教师学生做这些工作，能够提高效率，减轻负担，使教师、学生把精力和注意力用到更高层次的教学和学习环节。 （2）有些过去想到
7、而做不到的事，可以轻松实现。 许多现象和过程。在黑板和纸笔提供的教学环境中，教师只能讲一讲，学生只能想一想。用了计算机和智能平台，可以演示、操作了。例如：带参数的初等函数图象，会随着参数的变化而变化。观察这变化过程， 对同一类函数图象的共性和与参数的关系就能一目了然。对在屏幕上作出的立体图形（如各种正多面体）进行操作并从不同的角度观察：平移、旋转、缩放、分割、取截面、表面展开以及把空间的多边形放到平面上看等。这是过去教师非常想做的。许多操作用实物难以进行。对大量数据的处理和对庞大的数和式的运算的感受。如算一算 10000 的 3 次方和 3 的 10000 次方，比较一下，对指数增长会有震撼性
8、的感受。以上这些活动，都可以直接应用智能平台的基本功能现场即兴操作，不必制作课件。教师在通常的备课过程中就可以作好准备。 （3）创造出过去可能想不到或不敢想的教学资源。 有了计算机和智能平台作为工具和教学环境， 教师和学生的创新潜能会得到更多的激励，设计制作出新的课件和学件。这些课件和学件可以直接联系着课程内容，也可能是课程内容的扩展和深化。它们可供学生欣赏、操作、研究以及制作发展。例如，不规则多边形镶嵌；按定义生成圆锥曲线；用凸轮或曲轴连杆实现直线运动和圆周运动的转化；把三棱柱切割为棱锥等。 我国在自主研发Z+Z 智能教育平台超级画板 （简称超级画板 ）的过程中，部分地也受到几何画板的启发。
9、为了更好地满足教师教学和学生学习的实际需要，不仅具有上述种种功能，还根据教师教学和学生学习的实际需要，将动态几何和符号演算、自动推理、编程环境以及课件制作等进行有机地集成；在操作方式上的创新处理使得软件更加易学易用。事实上，它已经突破了动态几何的框架，发展成为集动态图形与动态计算于一体的逻辑动漫平台。为了交流的方便，我们仍然把已经发展成为逻辑动漫的系统叫做动态几何。下表就是关于超级画板和几何画板主要功能的一些对比。22动态几何动态几何的教育价值的教育价值近年来，很多人关心在教学中使用信息技术的实际效果。最近美国教育部公布的一项研究报告（载于美国华盛顿邮报2007-04-05）指出：教学软件对学
10、生成绩的提高没有多大帮助。作者认为，造成这一结果的一个重要原因就是软件的选择不恰当。如果总是将普适的软件（譬如说 PPT，FLASH 等）直接搬过来用于教学，那么所得到的教学效果肯定是不佳的。这些年的实践表明使用普适的软件从事教学所取得的效果，远远不能补偿所投入的人力和物力。一位数学教师在网上对这类软件在教学上的应用效果的评价是“老师做累了，学生看傻了” 。这句话一针见血地指出了在教学活动中滥用普适信息技术的不当之处。而与此相反的是，对于动态几何在教育上的应用，所有的评论和教学实践的反应都是正面的肯定。关于动态几何的理论和应用的研究和实践，已有大量的文章书籍和网页。以 dynamic geom
11、etry 作为关键词用 google 在 2007 年 6 月 5 日搜索，搜到的网页有 154,000 个，而用中文“动态几何”作为关键词搜索则只搜到 13,800 个，这从一方面说明我国对动态几何的研究和实践还需要加强。 几何画板是收费软件，而且价格不菲，在台湾的售价是 6000 新台币，折合人民币 1500 元，目前大多人都是在使用盗版，而超级画板有个免费版本（别小看这个免费版本，对中学数学教师来说，它不亚于任何一款同类的软件） 。下面以我国自主研发的超级画板为例，介绍动态几何在教育中的应用。2.12.1 日常学习的工具日常学习的工具作为学生学习和教师备课的日常工具，它可以作为信息时代的
12、圆规直尺三角板、计算器、数学表、画笔、书写板以及计时器；一身多任，方便快捷，所作的图形和计算的结果都以动态方式呈现，大大提高工作学习效率。例如，用超级画板制作 3 个参数的动态简谐振动图象（如图 2）只要一分多钟，学会制作方法也只要 35 分钟。用其它非动态几何工具作这样的图象，学会使用软件至少要几个小时，制作动态图象也要个把小时。又如，用其它计算工具计算一个表达式的值，当参数改变时需要再次赋值输入计算。若使用具有动态计算功能的超级画板，只要一次输入表达式，拖动参数尺上的滑钮或参数动画按钮，就可以观察表达式的值随参数变化的过程。还可以方便的把计算结果做成曲线图和散点图进行直观考察。图 3 是在
13、计算一个表达式当参数 n 成倍增长时的极限过程。图 2 图 32.22.2 课件制作的平台课件制作的平台用基于动态几何功能的平台来制作课件，方便快捷。一般的课件常常能在几分钟内作出，甚至可以一边讲课一边作，或师生在讨论中共同作出。所作的课件常常可以根据教学需要动态呈现，具有很强的动态性、交互性和开放性。动态性和交互性是大家常常谈到的，开放性则要进一步说明。所谓开放性，是指学生可以比较容易地修改课件，在课件上增加新的对象作进一步的观察探索。例如，课件上画了正弦曲线，学生可以容易地把它改为余弦曲线或对数函数曲线，以收到举一反三的功效。讲平摆线（旋轮线）的课件上画了一个滚动的圆，学生可以容易地在圆上
14、作一个点，看看自己作的点在圆滚动时会不会也画出平摆线（图 4）？图 4用基于动态几何功能的平台，还有利于制作模拟随机过程的仿真课件。课件所呈现的随机过程每次不同，有真实感。用通常的动画工具很难表现这类过程。例如说明二项分布的高尔顿实验（图 5） 。图 5在基于动态几何的平台上备课或准备报告，可以使内容的呈现生动有趣，把事物的发展过程和逻辑关系阐述得更为清楚，使其更有吸引力和说服力。用过 Powerpoint 的人都知道，它的呈现方式是线性的，而超级画板则具有“立体”呈现的功能。我们可以根据需要将呈现的内容随意放缩、移动甚至隐藏，这不仅节省了空间，而且代替了黑板的功能，是真正的“智能白板” ，一
15、节课结束时，我们可以象原来一样将一节课的内容完整地呈现在学生面前。2.32.3 实验探索的环境实验探索的环境基于动态几何功能的平台，为学生提供了实验探索的环境。学生可以利用其动态作图、动态计算、动态测量以及编程功能来帮助自己理解概念，启迪思路，探索疑问，检验答案。用形象直观的动态图象表现抽象的定理公式。例如，自己定义函数并让计算机执行，有助于理解函数概念（图 6） ；通过作图测量观察差商趋于微商（导数）的过程（图 7） 。图 6 图 7有些历史上著名的实验，例如蒲丰投针算 ，实际上做起来很花时间，可以用计算机模拟实验（图8） ；有些数学事实，例如正弦级数收敛于矩形波，很难想象，也可以作出动态图
16、象观察（图 9） 。基于动态几何的平台，能画、能算、能动、能变、能测，是实验探索的得心应手的环境。这样的平台，还可以用来模拟探索物理过程和其它有趣的自然现象，例如单摆，布朗运动，多普勒效应，混沌与分形等等。图 8 图 92.42.4 创新思维的触媒创新思维的触媒动态几何软件问世以来，已经有大量的学术论文对它的理论和应用进行研究，其中不少是博士学位论文。这些研究涉及数学、计算机科学、科学教育多个方面。一个事物一旦从静态提升到动态，常常会出现新的现象和新问题，会成为创新思维的触发点。例如，以直角坐标系的原点为圆心作圆，圆上取一个点P，自 P 向两个坐标轴引垂足 A 和 B, 作线段 AB 和 AB 的中点 M. 这是一个平常的几何图形，看不出什么有趣的问题。一旦把图形动态化，就大不相同了。例如
