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1、1培优训练 20 递推公式的来源递推公式的来源将递推公式先转化为基本数列，即转化为等差数列或等比数列，求出该基本数列的通项公式后，再求出所求数列的通项公式，这是已知递推公式求通项公式的重要思想方法. 递推公式的结构决定了将递推公式转化为基本数列的方法，而递推公式是如何由基本数列变化而来的？如果知道了这个问题，再将递推公式转化为基本数列时便目标明确，方法得当. 1、是等差数列是等差数列，其递推公式为，=d（） ，其通项公式为.na1a1nana2*nnN，1(1)naand如数列 1,4,7,10,13，的递推公式为 ；通项公式为 .2、是等比数列是等比数列，其递推公式为，（） ，其通项公式为.
2、 如数列na1a1nnaqa2*nnN，1 1n naa q1,2,4,8,16， 递推公式为 ；通项公式为 .3、是等比数列是等比数列，则（p1） ，故，即得线性递推公式线性递推公式nas1()nnasp as1(1)nnapasp（这里） ，反过来，已知递推公式求其通项公式时，可先用待定系数1nnapaq(1)qsp1nnapaq法求出 s，再根据等比数列的通项公式求出，从而求出数列的通项公式. 也可以用迭代、数学归纳法等nasna方法求解，如： （1）已知数列满足：，则= ；na1=1a+1=32nnaa na（2）已知数列满足：，则= ；na1=4a+1=46nnaa na4、是等差数
3、列，是等差数列，则，故已知递推关系1nnaa11()()nnnnaaaad112nnnaaad时，须首先转化为后求出，再用累加法求出，如112nnnaaad11()()nnnnaaaad1nnaana（1）已知数列满足：，则= ；na1=1a2=2a+11=22nnnaaana（2）已知数列的前几项分别为 7,12,15,16,15,，则= ；nana5、是等比数列是等比数列，则，显然这是二阶线性递推关系的特例，1nnaa11nnnnaaqaa11(1)nnnaqaqa可以先配凑成后求出再用累加法求出，也可以用第 13 种情况求解. 如：11nnnnaaqaa1nnaana（1）已知数列满足：
4、，（） ，则= na1=1a2=3a+11=32nnnaaa2*nnN，na；（2）已知数列满足：，（） ，则= na1=1a2=4a12=54nnnaaa3*nnN，na；26、是等差数列是等差数列，则，反推后求出，再用累乘法求出. 如1nna a1nna a1nnada21 1n nn naadaa 1nna ana已知数列满足：，则= ；na1=1a2=1a21 1n nn naaaa na7、是等比数列是等比数列，则，反推后求出，再用累乘法求出. 如1nna a1nna a1nnaqa21 1n n nqaaa 1nna ana已知数列满足：，则= ；na1=1a2=2a21 12n
5、n naaa na8、是等差数列是等差数列，则或na AnB1 (1)na A nBnadAnB+1=+nnAnABaaAnABAnB，已知这样的递推公式，经反推后构建等差数列+1()()()()0nnAnB aAnAB aAnAB AnB后，求出. 如已知数列满足：，则= na AnBnana1=3a2 1(21)(23)4830nnnanannna；9、是等比数列是等比数列，则，已知这样的递推公式可na AnB1na AnABnPa AnB1()n nP AnAB aaAnB以转化为等比数列. 也可以转化为后，用累乘法求之. 如1()nnaP AnAB aAnB已知数列满足：，则= ；na
6、1=5a1610 32nnnaanna10、是等差数列是等差数列，这样的递推公式可以在等式两边同除以n na cq1 1n na cq n nadcq1 1n nnaqacdq 后转化为等差数列，求出后再求出，如1nqn na cqn na cqna已知数列满足：，则= ；na1=2a123 2nnnaa na11、是等差数列是等差数列，则1()nnaa1()nnaa1()nnaa1()=nnaaAnB1na,12nnaaAnB即数列相邻两项差的相邻两项差为等差数列，两次累加后可求出. 这里要用到公式nana. 如2222(1)(21)123+6n nnn已知数列满足：，（） ，则= ；na1
7、=2a2=3a11232nnnaaan2n na312、是等比数列是等比数列，则，1()nnaa1()nnaa1()nnaa1()n nnaacq1na12n nnaacq即数列相邻两项差的相邻两项差为等比数列，两次累加后可求出. 如nana已知数列满足：，（） ，则= ；na1=2a2=3a1 1123nnnnaaa 2n na13、是等比数列是等比数列，n2 时，-s=t(-s)，即=(t+s)-stan-1，故，已知二阶线1nnasa+1nanana1na+1nana性递推关系=p+qan-1求时，可先利用待定系数法求出 s、t 后转化为等比数列，然后求之. +1nanana（1）已知数
8、列满足：，则= ；na1=1a2+112,=23(2)nnnaaaanna（2）已知数列满足：，则= ；na1=1a2+111,=(2)nnnaaaanna14、是等比数列是等比数列，则，故naAnB1(1)nnaA nBPaAnB1(1)(1)nnapaA pnB pA已知递推公式求时，可先利用待定系数法求出 A、B 后转化为等比数列，然后求之. 1nnapaqncna（1）已知数列满足：，则= ；na1=1a+1=232nnaanna（2）已知数列满足：，则= ；na1=4a1=323(2)nnaannna15、是等差数列是等差数列，则，故已知递推公n nacq1 1n nacq ()n
9、nacqd1(1)n nnaacq qd式求时，可先利用待定系数法求出 c 后转化为等差数列，然后求之，也可以直接用累加法1n nnaamqdna求之. 如：已知数列满足：，则= ；na1=1a+1=32n nnaa na16、是等比数列是等比数列且公比为 p(pq)，则=p()化简，得 =p+c(p-q)n nacq1 1n nacq n nacq+1nananq故，已知递推关系=p+求时，需先转化+c为等比数列，求出+c后，再求. 这转化+1nananqnananqnanqna的方法有配凑法、待定系数法等. 如：（1）已知数列满足：，则= ；na1=1a+1=32nnnaa na（2）已知
10、数列满足：，则= ；na1=1a+1=22nnnaa na17、是等差数列是等差数列，则，这样的递nc a1nc ancda11nnnnnccccdadaaaa1n n ncaadac推4公式求倒数并拆项、移项后构建并求出等差数列，再求出. 如：nc ana已知数列满足：，则= .na1=1a121n n naaana18、+t是等比数列是等比数列，则+t=p(+t)nc a1nc anc a11(1)(1)nnnnncpccpct pat paaaa，这样的递推公式求倒数并拆项后, 利用待定系数法构建并求出等比数列+t，再求1(1)n n ncaat pacpnc a出. 如：已知数列满足：
11、，则= ；nana1=1a123n n naaana19、是等比数列是等比数列，则+t=p(+t)nctas1nc asnc as11(1)(1)(1)nnnnncpccpcts pt pat pasasasas1(1)(1)n n ncacsast pacpst p，这样的递推公式先用待定系数法化为，求倒数并拆项后, 再利用待1n n nxayaqaz1()n n nc asasqaz定系数法构建并求出等比数列+t，再求出. 如：已知数列满足：，则= nc asnana1=2a132 4n n naaana；20、是等差数列是等差数列，则()nAnB a1()nAnAB a()nAnB ad
12、1()n nAnB adaAnABAnAB这样的递推公式，去分母后构建并求出等差数列后，在求出. 如：na已知数列满足：，则= ；na1=1a1(31)2 34n nnaanna21、是等比数列是等比数列，则,接下来类似问题 9.()nAnB a1()nAnAB a()np AnB a22、是等差数列是等差数列，则=d，接下来类似问题 10.n ncq a1 1n ncqa n ncq a1na11nndaqcq23、是等差数列是等差数列，则即数列的所有奇数1nnaa1()nnaa1()nnaad11(2)nnaad nna项都是公差为 d 的等差数列，其首项为，所有的偶数项都是公差为 d 的
13、等差数列，其首项为如1a2.a已知数列满足：，则= ；na1=1a+1+=32nnaanna524、是等比数列是等比数列，则即数列的所有奇数项都是公比为 q 的等1nna a1nna a1nnqaa11(2)nnaq nana比数列，其首项为，所有的偶数项都是公比为 q 的等比数列，其首项为如已知数列满足：，1a2.ana1=1a，则= ；+1=3nnnaana25、归纳法. 已知数列的前几项，通过观察其相邻几项（如相邻两项、相邻三项等）的关系规律，得到其递推公式. 如：（1）1,3,6,10,15, 递推公式为 ；通项公式为 ；（2）1,1,2,3,5,8,13, 递推公式为 ；通项公式为 ；当然，这 25 种递推公式的来源方法均是些
