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三角形的四心的向量表示 设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则OABC, ,A B C, ,a b c（1）为的外心. 外心（三条边垂直平分线交点）OABC222OAOBOCuu u ruuu ruuu r（2）为的重心. 重心（三条边中线交点）OABC0OAOBOCuu u ruuu ruuu rr（3）为的垂心. 垂心（高线交点） OABCOA OBOB OCOC OAuu u r uuu ruuu r uuu ruuu r uu u r（4）为的内心. 内心（角平分线交点）OABC0aOAbOBcOCuu u ruuu ruuu rr证明：前三个心的性质都好证明，下面给出问题（4）的证明：分别为方向上的单位bAC cAB、QACAB、向量，平分,bAC cABBAC)，( AObAC cAB同理：()BCBABOuacuuu ruu u ruuu r11()() ()BCBAuABAOOBu ABACaccacABACubcabuuu ruu u ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r得代入解得，11()10ucac u ab aub11()1ucaccbabc （)cbabcAO bAC cAB化简得，0)(ACcABbOAcba0OCcOBbOAa
