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1、11.1.11.1.1 任意角任意角学习目标 1.了解角的概念.2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角.知识点一 角的相关概念思考 1 用旋转方式定义角时，角的构成要素有哪些？答案 角的构成要素有始边、顶点、终边.思考 2 将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？答案 有顺时针和逆时针两种旋转方向.思考 3 如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？答案 不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角.若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角. 梳理 (1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个
2、位置 OA旋转到另一个位置OB所成的图形.点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角的始边和终边.(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：类型定义正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角知识点二 象限角思考 把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？答案 终边可能落在坐标轴上或四个象限内.梳理 在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.象限角：终边在第几象限就是第几象限角；轴线角：终边落在坐标轴上的角.知识点三 终边相同的角思考 1 假设 6
3、0的终边是OB，那么660，420的终边与 60的终边有什么关系，它2们与 60分别相差多少？答案 它们的终边相同.660602360，42060360，故它们与 60分别相差了2 个周角及 1 个周角.思考 2 如何表示与 60终边相同的角？答案 60k360(kZ Z).梳理 终边相同角的表示：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ Z，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.类型一 任意角概念的理解例 1 (1)给出下列说法：锐角都是第一象限角；第一象限角一定不是负角；第二象限角是钝角；小于 180的角是钝角、直角或锐角.其中正确说法的序号为
4、.(把正确说法的序号都写上)(2)将时钟拨快 20 分钟，则分针转过的度数是 .答案 (1) (2)120解析 (1)锐角指大于 0小于 90的角，都是第一象限的角，所以对；由任意角的概念知，第一象限角也可为负角，第二象限角不一定是钝角，小于 180的角还有负角、零角，所以错误.(2)分针每分钟转 6，由于顺时针旋转，所以 20 分钟转了120.反思与感悟 解决此类问题要正确理解锐角、钝角、090角、象限角等概念.角的概念推广后，确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小.跟踪训练 1 写出下列说法所表示的角.(1)顺时针拧螺丝 2 圈；(2)将时钟拨慢 2 小时 30 分，分针转过的角.解
5、(1)顺时针拧螺丝 2 圈，螺丝顺时针旋转了 2 周，因此所表示的角为720.(2)拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，因此将时钟拨慢 2 小时 30 分，分针转过的角为900.类型二 象限角的判定例 2 在 0360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.3(1)150；(2)650；(3)95015.解 (1)因为150360210，所以在 0360范围内，与150角终边相同的角是 210角，它是第三象限角.(2)因为 650360290，所以在 0360范围内，与 650角终边相同的角是290角，它是第四象限角.(3)因为95015336012945，所以在 0360范
6、围内，与95015角终边相同的角是 12945角，它是第二象限角.引申探究确定(nN N*)的终边所在的象限. n解 一般地，要确定所在的象限，可以作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与 n坐标轴把周角分成 4n个区域，从x轴的非负半轴起，按逆时针方向把这 4n个区域依次标上1，2，3，4，4n，标号为几的区域，就是根据所在第几象限时，的终边所落在的 n区域，如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观的看出. n反思与感悟 判断象限角的步骤：(1)当 00，解得k，25 3故当k9 时，240满足条件.8.如图，终边落在OA的位置上的角的集合是 ；终边落在OB的位置上，且在36036
7、0内的角的集合是 ；终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是 .答案 |120k360，kZ Z 315，45|45k360120k360，kZ Z解析 终边落在OA的位置上的角的集合是|120k360，kZ Z.终边落在OB的位置上的角的集合是|315k360，kZ Z，取k0，1 得315，45.故终边落在OB的位置上，且在360360内的角的集合是315，45.终边落在阴影部分的角的集合是|45k360120k360，kZ Z.9.若k36045，kZ Z，则是第 象限角. 2答案 一或三解析 k36045，kZ Z，k18022.5，kZ Z. 2当k为偶数，即k2n，nZ Z 时，n3
8、6022.5，nZ Z，为第一象限角； 2 2当k为奇数，即k2n1，nZ Z 时，n360202.5，nZ Z，为第三象限角. 2 2综上，是第一或第三象限角. 210.集合A|k9036，kZ Z，B|180180，则AB .10答案 126，36，54，144解析 当k1 时，126；当k0 时，36；当k1 时，54；当k2 时，144.AB126，36，54，144.三、解答题11.如图所示，半径为 1 的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1，0)出发，以逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P点在 1 s 内转过的角度为 (0180)，经过 2 s 到达第三象限，经过 14 s 后又回
9、到了出发点A处，求. 解 0180，且k3601802k360270，kZ Z，则一定有k0，于是 90135.又14n360(nZ Z)，从而 90135，n180 7n180 7 n，n4 或 5.7 221 4当n4 时，；720 7当n5 时，.900 712.已知角的终边在直线xy0 上.3(1)写出角的集合S；(2)写出集合S中适合不等式360720的元素.解 (1)如图，直线xy0 过原点，倾斜角为 60，在 0360范围内，终边落在3射线OA上的角是 60，终边落在射线OB上的角是 240，所以以射线OA，OB为终边的角的集合分别为S1|60k360，kZ Z，11S2|240
10、k360，kZ Z，所以，角的集合SS1S2|60k360，kZ Z|60180k360，kZ Z|602k180，kZ Z|60(2k1)180，kZ Z|60n180，nZ Z.(2)由于360720，即36060n180720，nZ Z.解得 n，nZ Z，所以n2，1，0，1，2，3.7 311 3所以集合S中适合不等式360720的元素为602180300；601180120；60018060；601180240；602180420；603180600.13.已知，都是锐角，且的终边与280角的终边相同，的终边与670角的终边相同，求角，的大小.解 由题意可知，280k360，kZ Z.，为锐角，0180.取k1，得80.670k360，kZ Z.，为锐角，9090.取k2，得50，由得15，65.
