《2018版高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数（二）导学案 新人教a版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数（二）导学案 新人教a版必修4（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、11.2.11.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数( (二二) )学习目标 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.知识点一 三角函数的定义域思考 正切函数ytan x为什么规定xR R 且xk，kZ?Z? 2答案 当xk，kZ Z 时，角x的终边在y轴上，此时任取终边上一点P(0，yP)，因 2为无意义，因而x的正切值不存在.所以对正切函数ytan x，必须要求xR R 且yP 0xk，kZ Z. 2梳理 正弦函数ysin x的定义域是 R R；余弦函数ycos x的定义
2、域是 R R；正切函数ytan x的定义域是x|xR R 且xk，kZ Z. 2知识点二 三角函数线思考 1 在平面直角坐标系中，任意角的终边与单位圆交于点P，过点P作PMx轴，过点A(1,0)作单位圆的切线，交的终边或其反向延长线于点T，如图所示，结合三角函数的定义，你能得到 sin ，cos ，tan 与MP，OM，AT的关系吗？答案 sin MP，cos OM，tan AT.思考 2 三角函数线的方向是如何规定的？答案 方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之，为负值.思考 3 三角函数线的长度和方向各表示什么？答案 长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负.梳理 2图示正
3、弦线角的终边与单位圆交于点P，过点P作PM垂直于x轴，有向线段MP即为正弦线余弦线有向线段OM即为余弦线正切线过点A(1,0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴，设它与的终边或其反向延长线相交于点T，有向线段AT即为正切线类型一 三角函数线例 1 作出的正弦线、余弦线和正切线.5 8解 如图所示，sinMP，(5 8)cosOM，(5 8)tanAT.(5 8)反思与感悟 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线.3(2)作正切线时，应从点A(1,0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切
4、线AT.跟踪训练 1 在单位圆中画出满足 sin 的角的终边，并求角的取值集合.1 2解 已知角的正弦值，可知MP ，则P点纵坐标为 .所以在y轴上取点，过这点1 21 2(0，1 2)作x轴的平行线，交单位圆于P1，P2两点，则OP1，OP2是角的终边，因而角的取值集合为|2k或2k，kZ Z. 65 6类型二 利用三角函数线比较大小例 2 利用三角函数线比较 sin和 sin，cos和 cos，tan和 tan的大小.2 34 52 34 52 34 5解 如图，sinMP，cosOM，tanAT，sinMP，cosOM，tan2 32 32 34 54 5AT. 4 5显然|MP|MP|
5、，符号皆正，sinsin；2 34 5|OM|cos；2 34 5|AT|AT|，符号皆负，tanM2P2，且符号皆正，sin 1 155sin(1 654).类型三 利用三角函数线解不等式(组)命题角度 1 利用三角函数线解不等式组例 3 在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围，并由此写出角的集合.(1)sin ； (2)cos .321 2解 (1)作直线y交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(如图(1)所32示的阴影部分，包括边界)，即为角的终边的范围.故满足要求的角的集合为|2k2k，kZ Z. 32 3(2)作直线x 交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，
6、则OC与OD围成的区域(如图(2)所1 2示的阴影部分，包括边界)，即为角的终边的范围.故满足条件的角的集合为|2k2k，kZ Z.2 34 3反思与感悟 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点：(1)先找到“正值”区间，即 02 内满足条件的角的范围，然后再加上周期；(2)注意区间是开区间还是闭区间.跟踪训练 3 已知 cos sin 1.2sin 1.5B.sin 1sin 1.5sin 1.2C.sin 1.5sin 1.2sin 1D.sin 1.2sin 1sin 1.5答案 C解析 1,1.2,1.5 均在内，正弦线在内随的增大而逐渐增大，sin (0， 2)(
7、0， 2)1.5sin 1.2sin 1.3.若 0 ，则角的取值范围是( )321 2A. B.( 3，3)(0， 3)C. D.(5 3，2)(0， 3) (5 3，2)答案 D解析 角的取值范围为图中阴影部分，即.(0， 3) (5 3，2)4.若角的余弦线是单位长度的有向线段，那么角的终边在( )A.y轴上 B.x轴上C.直线yx上 D.直线yx上答案 B解析 由题意得|cos |1，即 cos 1，则角的终边在x轴上.故选 B.5.在下列各组的大小比较中，正确的是( )A.sinsin B.coscos 7 54 75 7C.tantan D.sintan9 89 7 5 5答案 B
8、6.有三个命题：和的正弦线长度相等；和的正切线相同；和的余弦 65 6 34 3 45 4线长度相等.10其中正确说法的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.0答案 C解析 和的正弦线关于y轴对称，长度相等；和两角的正切线相同；和的 65 6 34 3 45 4余弦线长度相等.故都正确，故选 C.7.点P(sin 3cos 3，sin 3cos 3)所在的象限为( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案 D解析 因为 3，作出单位圆如图所示. 5 6设MP，OM分别为a，b.sin 3a0，cos 3b0，所以 sin 3cos 30.因为|MP|OM|，即|a|b|，所
9、以 sin 3cos 3ab0.故点P(sin 3cos 3，sin 3cos 3)在第四象限.二、填空题8.不等式 tan 0 的解集是 .33答案 |k0， 12sinM2P20，5 12tanAT0，5 12cos OM30，所以是第一或第二象限角.12.若角的终边落在直线xy0 上，则 .sin |cos |sin | cos 12答案 0三、解答题13.在单位圆中画出适合下列条件的角的终边.(1)sin ；(2)cos .2 33 5解 (1)作直线y 交单位圆于P，Q两点，2 3则OP，OQ为角的终边，如图甲.(2)作直线x 交单位圆于M，N两点，3 5则OM，ON为角的终边，如图
10、乙.四、探究与拓展14.函数ylogsin x(2cos x1)的定义域为 .答案 x|2kx2k或 2kx2k ，kZ Z 2 22 3解析 由题意可知，要使函数有意义，则需Error!如图所示，阴影部分(不含边界与y轴)即为所求. 所以所求函数的定义域为x|2kx2k或 2kx2k ，kZ Z. 2 22 315.若，是关于x的一元二次方程x22(cos 1)xcos20 的两实根，且|2，求的范围.2解 方程有两实根，4(cos 1)24cos20，cos .1 2|2，()248.213由根与系数的关系，得2(cos 1)，cos2，4(cos 1)24cos28，即 cos .1 2由得 cos ，1 21 2利用单位圆中的三角函数线可知2k2k，kZ Z 或 32 32k2k，kZ Z.4 35 3kk，kZ Z. 32 3
