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1、12.3.42.3.4 平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示学习目标 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法.知识点 平面向量共线的坐标表示已知下列几组向量：(1)a a(0，3)，b b(0，6)；(2)a a(2，3)，b b(4，6)；(3)a a(1，4)，b b(3，12)；(4)a a( ，1)，b b( ，1).1 21 2思考 1 上面几组向量中，a a，b b有什么关系？答案 (1)(2)中b b2a a，(3)中b b3a a，(4)中b ba a.思考 2 以上几组向量中，a a，b b共线吗
2、？答案 共线.思考 3 当a ab b时，a a，b b的坐标成比例吗？答案 坐标不为 0 时成正比例.思考 4 如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？答案 能.将b b写成a a形式，0 时，b b与a a同向，0 时，b b与a a反向.梳理 (1)设a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，其中b b0 0，a a，b b共线，当且仅当存在实数，使a ab b.(2)如果用坐标表示，可写为(x1，y1)(x2，y2)，当且仅当x1y2x2y10 时，向量2a a，b b(b b0 0)共线.注意：对于(2)的形式极易写错，如写成x1y1x2y20 或x1x2y1
3、y20 都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.类型一 向量共线的判定与证明例 1 (1)下列各组向量中，共线的是( )A.a a(2，3)，b b(4，6)B.a a(2，3)，b b(3，2)C.a a(1，2)，b b(7，14)D.a a(3，2)，b b(6，4)答案 D解析 A 选项，(2)634240，a a与b b不平行；B 选项，22334950，a a与b b不平行；C 选项，114(2)7280，a a与b b不平行；D 选项，(3)(4)2612120，a ab b，故选 D.(2)已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，3).判断
4、与是否共线？如果共线，它们ABCD的方向相同还是相反？解 (0，4)(2，1)(2，3)，AB(5，3)(1，3)(4，6).CD方法一 (2)(6)340 且(2)40，与共线且方向相反.ABCD方法二 2，与共线且方向相反.CDABABCD反思与感悟 此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配.跟踪训练 1 已知A，B，C三点的坐标分别为(1，0)，(3，1)，(1，2)，求证：.AE1 3ACBF1 3BCEFAB证明 设E(x1，y1)，F(x2，y2).3(2，2)，(2，3)，(4，1)，ACBCAB(
5、， )，( ，1).AE1 3AC2 32 3BF1 3BC2 3(x1，y1)(1，0)( ， )，2 32 3(x2，y2)(3，1)( ，1)，2 3(x1，y1)( ， )，(x2，y2)( ，0).1 32 37 3(x2，y2)(x1，y1)( ， ).EF8 32 34( )(1) 0，.2 38 3EFAB类型二 利用向量共线求参数例 2 已知a a(1，2)，b b(3，2)，当k为何值时，ka ab b与a a3b b平行？解 方法一 ka ab bk(1，2)(3，2)(k3，2k2)，a a3b b(1，2)3(3，2)(10，4)，当ka ab b与a a3b b平行
6、时，存在唯一实数，使ka ab b(a a3b b).由(k3，2k2)(10，4).得Error!解得k .1 3方法二 由方法一知ka ab b(k3，2k2)，a a3b b(10，4)，ka ab b与a a3b b平行，(k3)(4)10(2k2)0，解得k .1 3引申探究1.若例 2 条件不变，判断当ka ab b与a a3b b平行时，它们是同向还是反向？解 由例 2 知当k 时，ka ab b与a a3b b平行，1 3这时ka ab ba ab b (a a3b b)，1 31 3 0，1 3ka ab b与a a3b b反向.2.在本例中已知条件不变，若问题改为“当k为何
7、值时，a akb b与 3a ab b平行？” ，又如何4求k的值？解 a akb b(1，2)k(3，2)(13k，22k)，3a ab b3(1，2)(3，2)(6，4)，a akb b与 3a ab b平行，(13k)4(22k)60，解得k .1 3反思与感悟 根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用向量共线定理a ab b(b b0)，列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2x2y10 求解.跟踪训练 2 设向量a a(1，2)，b b(2，3)，若向量a ab b与向量c c(4，7)共线，则_.答案 2解析 a ab b(1，2)(2，3)(2，23)，a
8、ab b与c c共线，(2)(7)(23)(4)20，2.类型三 三点共线问题例 3 已知向量(k，12)，(4，5)，(10，k).当k为何值时，A，B，C三点共线？OAOBOC解 (4k，7)，ABOBOA(10k，k12)，ACOCOA若A，B，C三点共线，则，ABAC(4k)(k12)7(10k)，解得k2 或 11，又，有公共点A，ABAC当k2 或 11 时，A，B，C三点共线.反思与感悟 (1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：证明向量平行；证明两个向量有公共点.(2)若
9、A，B，C三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线.跟踪训练 3 已知A(1，3)，B，C(9，1)，求证：A，B，C三点共线.(8，1 2)5证明 ，AB(81，1 23) (7，7 2)(91，13)(8，4)，AC74 80，7 2，且AB，有公共点A，ABACACA，B，C三点共线.1.已知a a(1，2)，b b(2，y)，若a ab b，则y的值是( )A.1 B.1 C.4 D.4答案 D解析 a ab b，(1)y220，y4.2.与a a(12，5)平行的单位向量为( )A.(12 13，5 13)B.(12 13，5 13)C.或(12 13，5 13) (12 13，
10、5 13)D.(12 13， 5 13)答案 C解析 设与a a平行的单位向量为e e(x，y)，则Error!Error!或Error!3.已知三点A(1，2)，B(2，4)，C(3，m)共线，则m的值为_.答案 6解析 (2，4)(1，2)(1，2).AB(3，m)(1，2)(2，m2).ACA，B，C三点共线，即向量，共线，ABAC存在实数使得，ABAC即(1，2)(2，m2)(2，m2).Error!Error!6即m6 时，A，B，C三点共线.4.已知四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D的坐标依次是(3，1)，(1，2)，(1，1)，(3，5).求证：四边形ABCD是梯形.证明 A
11、(3，1)，B(1，2)，C(1，1)，D(3，5).(2，3)，(4，6).ABCD2，即| |，CDABAB1 2CDABCD，且ABCD，四边形ABCD是梯形.5.已知A(3，5)，B(6，9)，M是直线AB上一点，且|3|，求点M的坐标.AMMB解 设点M的坐标为(x，y).由|3|，得3 或3.AMMBAMMBAMMB由题意，得(x3，y5)，(6x，9y).AMMB当3 时，(x3，y5)3(6x，9y)，AMMBError!解得Error!当3时，(x3，y5)3(6x，9y)，AMMBError!解得Error!故点M的坐标是或.(21 4，8) (152，11)1.两个向量共
12、线条件的表示方法已知a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，(1)当b b0，a ab b.(2)x1y2x2y10.(3)当x2y20 时，即两向量的相应坐标成比例.x1 x2y1 y22.向量共线的坐标表示的应用(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行.(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程.要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.课时作业课时作业一、选择题71.设kR R，下列向量中，与向量a a(1，1)一定不
13、平行的向量是( )A.b b(k，k) B.c c(k，k)C.d d(k21，k21) D.e e(k21，k21)答案 C解析 由向量共线的判定条件知，当k0 时，向量b b，c c与a a平行；当k1 时，向量e e与a a平行.对任意kR R，1(k21)1(k21)0，a a与d d不平行，故选 C.2.已知向量a a(1，2)，|b b|4|a a|，a ab b，则b b可能是( )A.(4，8) B.(8，4)C.(4，8) D.(4，8)答案 D3.已知三点A(1，1)，B(0，2)，C(2，0)，若和是相反向量，则D点坐标是( )ABCDA.(1，0) B.(1，0)C.(
14、1，1) D.(1，1)答案 C4.已知向量a a(2，3)，b b(1，2)，若(ma anb b)(a a2b b)，则 等于( )m nA.2 B.2 C. D.1 21 2答案 C解析 由题意得ma anb b(2mn，3m2n)，a a2b b(4，1)，(ma anb b)(a a2b b)，(2mn)4(3m2n)0， ，故选 C.m n1 25.下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是( )A.e e1(0，0)，e e2(1，2)B.e e1(1，2)，e e2(5，7)C.e e1(3，5)，e e2(6，10)D.e e1(2，3)，e e2( ， )1 23 4答案 B解析 A 选项，e e10，e e1e e2，不可以作为基底；B 选项，1725170，e e1与e e2不共线，故可以作为基底；C 选项，310560，e e1e e2，故不可以作为基底；D 选项，2( )(3) 0，e e1e e2，不可以作为基底.3 41
