数学建模 梁宝平 徐杰

运动员参赛问题运动员参赛问题电子 1034 梁宝平 569244 电子 1034 徐 杰 569180摘要摘要我们学校每年 11 月初，举行大一新生运动会，我们为了比赛的精彩我们在全院进行选拔，但 我们学院有六个分院（系） ，为了公平的选举我们显然不可以按传统的比例分配的方法）我们把学 校的全体运动员的选拔利用 Q 值法来选拔 ，我们在建模的过程中对全院的一年级人数做了统计， 我们调查了学校的部分和体育有关的项目，我们建立了该模型我们在选运动员的时候我们采用抽 样调查方法，我们为了研究的方便假设每个班 50 人，我们采用特殊到一般的方法，不是对所有的 院（系）都进行研究我们得到通项和后，同理求解即可我们的模型通俗易懂，以下是我们建模 的过程.一一 问题的分析问题的分析1．我们定义了一个指标来衡量选拔的公平记做 P，每增加一次标记加一记做 PN（其中 N 属于全体整数） ； 2．我们用我们的指标来设计一套合理的方案； 3．如果学院（系）数或班级数有变化，我们的方案应要做出调整； 4．结合实际我们比赛的成绩以学院为单位的，因此我们只要比较两个学院的总的班级 数即可.二二 问题的假设问题的假设1.为了研究的方便我们给每个院编号并且标出班级数： A（机械工程学院 46） B(电气电子工程学院 48) C（计算机工程学院 21）D（经贸管理学院 23） E（人文学院 4） F（设计艺术系 11） 2.因为每个班级的人数相同因此我们只要比较每个分院的班级数即可； 3.运动员是以整数计量的,并且为有限个,设为 N 个； 4.每个系别有有限个人,运动员是按各集体的人员多少来分配的； 5.每个系别的每个人被选举都是等可能的； 6.在名额分配的过程中,分配是稳定的,不受任何其他因素所干扰.三三 符号说明符号说明某系别的运动员人数（a,b,c,d,e,f,表示每个分院的运动员人数） P：表示某系别的学生人数（AA,BB,CC,DD,EE,FF,GG 分别表示 A B C D E F G F 各分院 的人数） ； q：表示全院学生人数总数； N：表示总的运动员人数； Q：表示某系的Ｑ值； n:每院的运动员总数。

四四 模型建立和求解模型建立和求解通常人们都是按照人数比例来进行分配的.当比例中有小数时,人们又按照惯例将多 余的席位分给比例中小数最大者.我们能得出以出下结论： Npqn/*公式：---------------(1)目标:建立公平的席位分配方案.4.1 引出绝对不公平值并给出相对不公平值设 A,B 两院人数分别为21, pp；分别占有 1n和2n运动员总数,则两方每个席位所代表的人数分别为 11 np和 22 np.为了研究的方便，我们对 A,B 两院的运动员进行选拔，得到通项，在同理对 C，D，E，F 分别进行讨论：我们称 2211 np np 为.例10,100,1202121    nnpp则22211np np； 又 10,1000,10202121nnpp则22211  np np由上例可知,用绝对不公平程度作为衡量不公平的标准,并不合理,下面我们给出相对不 公平值. ①若 2211 np np 则称 11221222211   npnpnpnp np为对 A 的相对不公平值, 记为 ),(21nnrA；②若 2211 np np 则称 12112111122   npnpnpnp np--------------------(2)为对 B 的相对不公平值 ,记为 ),(21nnrB.4.2 给出相对公平的席位分配方案如果，AB两院分别占有1n和2n位运动员,利用相对不公平值Ar和Br讨论,当运动员数增加 1 个时,应该分配给 A 院还是 B 院.不妨设1122p npn,即对 A 院不公平,当再分配一个运动员时,有以下三种情况：I .当22111pp nn时,这说明即使给 A 增加 1 个运动员,仍然对 A 不公平,所以这一个运动员显然应给 A 院.II.当22111pp nn时,这说明给 A 增加 1 个运动员,变为对 B 院不公平,此时院 B 有的相对不公平值为:21 12 1211-1 ()(,)Bp nrnnp n------------------（3）III.当22111pp nn时,这说明给 B 增加 1 位运动员,将对 A 不公平,此时对 A 的相对不公平值为:12 12 2111-1 ()(,)Ap nrn np n-------------------（4）因为公平选拔运动员的原则是使相对不公平值尽可能小,所以如果121211 (,)(,)BArnnrn n--------------------（5）则这 1 位运动员给 A 院,反之这 1 位运动员给 B 院. 由(3)(4)可知,(5)等价于21222211< 11()()ppn nn n-----------------------（6）不难证明上述的第 I 种情况22111pp nn也与(6)式等价,于是我们的结论是当(6)式成立时,增加的 1 位运动员于应给 A 院,反之给 B 院. 若记:2 , =1,2 1()i i iipQin n则增加的 1 位运动员给 Q 值大的一方.五五 思考思考上述方法可以推广到有m个分院选拔运动员的情况.设第i院人数为ip,已选有in个运动员.当运动员增加 1 位运动员时,计算:2 , =1,2 1()Li i iipQimn n，，则增加的 1 位运动员应分配给 Q 值大的一方.这种席位分配的方法称为 Q 值法. 六六 模型的分析和评价模型的分析和评价模型的优点： 1.在 Pi/i 不相等的情况下，尽可能将不公平降低到最低限度，即最大限度的保持公平; 2.相对传统方法我们的误差更小，公平性更强；3.我们采用特殊到一般的方法减少了运算量便于求解.模型的缺点： 1.Q 值法不能解决“分配资格”问题，且在总名额比较少或参加人数相差比较大的时候也可能存在较 大“不公平”； 2.在实现中每班人数不一定有 50 人，存在一定的误差； 3.当 i≥1 时，Qi 才有意义，这种方法要求参与分配的各方至少已有一个名额.模型的推广： 选班委，各种选举，分物资等七七 参考文献参考文献[1] 孙霞等.高职数学建模竞赛培训教程.北京：清华大学出版社，2010 [2] 姜启源等.数学模型.北京：高等教育出版社，2003 [3] 韩中庚.数学建模方法及其应用.北京：高等教育出版社，2005。