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1、第2课时 数列知识网络要点梳理思考辨析知识网络要点梳理思考辨析1.Sn与an的关系 2.等差数列与等比数列的定义式 当n2时,数列an满足an-an-1=d(常数)等差数列; _等比数列. 3.等差、等比数列的通项公式 (1)等差数列:an=a1+(n-1)d,an=am+(n-m)d. (2)等比数列:an=a1qn-1(q0),an=amqn-m(q0). 4.等差数列、等比数列的性质 若m+n=p+q,则 (1)在等差数列中,am+an=ap+aq. (2)在等比数列中,aman=apaq.知识网络要点梳理思考辨析5.等差中项与等比中项 (1)若a,b,c成等差数列,则2b=a+c. (
2、2)若a,b,c成等比数列,则b2=ac. 6.等差数列、等比数列的前n项和公式7.等差数列、等比数列前n项和的性质 (1)等差数列中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,仍成等差数列. (2)等比数列中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,仍成等比数列.知识网络要点梳理思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“”,错误 的打 “”. (1)数列an和集合a1,a2,a3,a4,an是一回事. ( ) (2)一个确定的数列,它的通项公式只有一个. ( ) (3)若数列an的前n项和为Sn,对任意的nN+,都有an=Sn-Sn-1. () (4)等差数列的单调 性是由公差决定的. (
3、 ) (5)等差数列的前n项和公式是常数项为 0的二次函数. ( ) (6)若对任意nN+,都有2an+1=an+an+2成立,则数列an一定为等 差数列. ( )知识网络要点梳理思考辨析答案:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)专题归纳高考体验专题一 求数列的通项公式 【例1】 (1)等差数列an是递增数列,前n项和为Sn,且a1,a3,a9成 等比数列, .求数列an的通项公式. (2)已知在数列an中,a1=1,且an+1-an=3n-n,求数列an的通项公 式. (3)已知在数列an中, ,前n项和Sn与an的关系是Sn=n(2n- 1)an,求an.
4、 思路点拨:(1)本题已知an是等差数列,可建立首项和公差的方 程,通过解方程来求得首项和公差,再代入通项公式得其解. (2)由于本题给出了数列an中连续两项的差,故可考虑用累加法 求解. (3)此题已知Sn与an的关系,应想到使用Sn法,然后得到相邻两项比 的等式满足an=an-1f(n)这种模型,因此使用迭乘法求解.专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题归纳高考体验反思感悟数列的通项是数列的重要内容之一,只要有数列的通项 公式,许多问题便可迎刃而解.如果一个数列是等差数列或等比数 列,那么可直接写出其通项公式,而对于非等差、等比数列的通项 公式可通过适当的变形、构造等使之成为
5、等差或等比数列来求解.专题归纳高考体验变式训练1(1)设数列an的前n项和为Sn=2n2,bn为等比数列,且 a1=b1,b2(a2-a1)=b1.求数列an和bn的通项公式. (2)在数列an中,a1=1,an+1= an+1,求数列an的通项公式.解:(1)当n=1时,a1=S1=2; 当n2时,an=Sn-Sn-1=2n2-2(n-1)2=4n-2,当n=1时也适用, 故an的通项公式为an=4n-2. 设bn的公比为q,则b2(a2-a1)=b1qd=b1,又d=4,专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题二 等差数列、等比数列的判定与证明 【例2】数列an满足a1=1,nan+1=(n+
6、1)an+n(n+1),nN.专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题三 数列求和的常用方法 思路点拨:(1)可以两项并一项处理,然后转化为特殊数列求和. (2)本题通项公式为 ,是一个指数式和一个一次式的 和组成的,可以选择拆项分组求和法. (3)运用取倒数配常数法(根据目标); 先利用错位相减法求Tn,再利用分类讨论思想确定的取值范围.专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题归纳高考体验反思感悟数列的求和问题是数列中的重要问题,需要掌握一些简 单数列的求和方法,并应用数列求和解决一些数列问题,数列的求 和常用的方法有:(1)公式法(即直接应用等差数列
7、、等比数列的求 和公式求解);(2)并项转化求和法;(3)倒序相加法;(4)错位相减法;(5) 裂项相消法;(6)分组转化法(即把数列的每一项分成多个项或把数 列的项重新组合,使其转化为等差数列或等比数列,然后由等差、 等比数列的求和公式求解).专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题四 数列与数学思想 【例4】 (1)等差数列an的首项为 a1=14,前n项和为Sn,若S3=S5, 则当n= 时,Sn最大. (2)已知在等差数列an中,a1+a5=26,a1+a5-S3=5,则a20= ,S20= . (3)某等差数列前4项之和为-4,最后4项之和为36,且所有项的和 为36,则
8、此数列共有 项. (4)已知等比数列an是一个公比为q的递增数列,且a5=a,a9= , 则该 数列的首项a1 0.(填“”或“0,解得q=2.所以,bn=2n. 由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8. 由S11=11b4,可得a1+5d=16, 联立,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2. 所以,数列an的通项公式为an=3n-2, 数列bn的通项公式为bn=2n.专题归纳高考体验(2)设数列a2nb2n-1的前n项和为Tn,由a2n=6n-2,b2n-1=24n-1, 有a2nb2n-1=(3n-1)4n, 故Tn=24+542+843+(3n-1)4n, 4Tn=242+54
9、3+844+(3n-4)4n+(3n-1)4n+1, 上述两式相减,得 -3Tn=24+342+343+34n-(3n-1)4n+1专题归纳高考体验专题归纳高考体验11.(2016课标全国卷,理17)Sn为等差数列an的前n项和,且 a1=1,S7=28.记bn=lg an,其中x表示不超过x的最大整数,如 0.9=0,lg 99=1. (1)求b1,b11,b101; (2)求数列bn的前1 000项和. 解:(1)设an的公差为d,据已知有7+21d=28,解得d=1. 所以an的通项公式为an=n. b1=lg 1=0,b11=lg 11=1,b101=lg 101=2.专题归纳高考体验
10、专题归纳高考体验专题归纳高考体验13.(2017山东高考,文19)已知an是各项均为正数的等比数列,且 a1+a2=6,a1a2=a3. (1)求数列an的通项公式; (2)bn为各项非零的等差数列,其前n项和为Sn.已知S2n+1=bnbn+1, 求数列 的前n项和Tn.专题归纳高考体验专题归纳高考体验考点四 数列创新探究题型 14.(2017江苏高考,19)对于给定的正整数k,若数列an满足:an-k+an-k+1+an-1+an+1+an+k-1+an+k=2kan对任意正整数n(nk)总成立 ,则称数列an是“P(k)数列”. (1)证明等差数列an是“P(3)数列”; (2)若数列a
11、n既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明an是等差数 列. 证明:(1)因为an是等差数列,设其公差为d,则an=a1+(n-1)d, 从而,当n4时, an-k+an+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2an,k=1,2,3, 所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an, 因此等差数列an是“P(3)数列”.专题归纳高考体验(2)数列an既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,因此, 当n3时,an-2+an-1+an+1+an+2=4an, 当n4时,an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an. 由知,an-3+an-2=4an-1-(an+an+1), an+2+an+3=4an+1-(an-1+an). 将代入,得an-1+an+1=2an,其中n4, 所以a3,a4,a5,是等差数列,设其公差为d. 在中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4, 所以a2=a3-d, 在中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3, 所以a1=a3-2d, 所以数列an是等差数列.
