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1、 菁优网菁优网菁优网菁优网 2010-2013 菁优网已知 f（x）=x3+3ax2+bx+a2，在 x=1 时有极值 O（1）求常数 a，b 的值； （2）求 f（x）的单调区间；（3）方程 f（x）=C 在区间4，0上有三个不同的实根时实数 C 的范围考点：利用导数研 究函数的极 值；利用导 数研究函数 的单调性1792730 专题：导数的概念 及应用 分析：（1）求出函 数 f（x）的 导函数，由 f（x）=x3+3ax2+bx+a2在 x=1时有极值 O，则 f（1）=0，f（1）=0，两式联 立可求常数 a，b 的值； （2）把 a，b 代入后 得到函数解 析式，运用 函数的导函 数
2、大于 0 和 小于 0 求解 函数 f（x） 的单调区间；（3）求出函 数 f（x）的 极值，再求出 f（4）和f（0） ，结合 函数的单调 性作出函数 图象的大致菁优网菁优网 2010-2013 菁优网形状，数形 结合可求得 实数 C 的范 围 解答：解：（1）由 f（x）=x3+3ax2+bx +a2，得： f（x）=3x2+6ax+b 因为 f（x）=x3+3ax2+bx+a2在 x=1时有极值 O，所以， 即，解得：或当 a=1，b=3 时，f（x）=x3+3x2+3x+ 1，f（x）=3x2+6x+3=3（x2+2x+1） =3（x+1）20所以函数 f（x）=x3+3x2+3x+
3、1 在（，+）上为增函数，不满足在菁优网菁优网 2010-2013 菁优网x=1 时有极值 O，应舍 掉， 所以，常数 a，b 的值分 别为 a=2，b=9； （2）当 a=2，b=9 时， f（x）=x3+6x2+9x+ 4，f（x）=3x2+12x+9 ， 由3x2+12x+9 0，得：x3 或x1，由3x2+12x+9 0，得：3x1所以，函数 f（x）=x3+6x2+9x+ 4 的增区间为（，3） ，（1，+） 减区间为（3，1） （3）当 f（x）=x3+6x2+9x+ 4 时， 由（2）知函 数的增区间为（，3） ，菁优网菁优网 2010-2013 菁优网（1，+） ，减区间为（3
4、，1） 又 f（4）=0，f（3）=4，f（1）=0，f（0） =4， 所以函数 f（x）=x3+6x2+9x+ 4 的大致图象 如图，若方程 f（x）=C 在区间4，0上有三个不 同的实根， 则函数 y=f（x）与 y=C 的图象 有三个不同 的交点， 由图象可知 方程 f（x） =C 在区间4，0上有三个不同的 实根时实数 C 的范围是 （0，4） 点评：本题考查了 利用导数研菁优网菁优网 2010-2013 菁优网究函数的单 调性和极值， 函数在某区 间上的导函 数大于 0，函 数在该区间 上为增函数， 函数在某区 间上的导函 数小于 0，函 数在该区间 上为减函数， 考查了数形 结合的解题 思想，同时 训练了函数 在极值点处 的导数等于 0，此题是中 档题菁优网菁优网 2010-2013 菁优网
