《习题6-3不定积分的计算》由会员分享，可在线阅读，更多相关《习题6-3不定积分的计算（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、0习习 题题 6.36.31 求下列不定积分：；dx xx()()112；23 1122x xxdx ()()；x dx xxx()() ()12323；dx xxxx()()2224445；3 13xdx；dx xx421；xx xxdx4254 54 ；x xxdx331 56 ；x xdx241；dx x41；dx xxx()()2211；x x xdx231 1 ()；x xxdx2222 1 ()；1 177 x xxdx()；x xxdx9105222()。x xdxnn31221()解解（1）= =dx xx()()112dxxxx 2) 1(1 ) 1)(1(1 21。111l
2、n412(1)xCxx（2）dxxxx ) 1)(1(3222设 =+，则 ) 1)(1(3222 xxx 12 xBAx 12 xDCx，于是 32) 1)() 1)(22xxDCxxBAx， 3200DBCADBCA1解得 。所以23,23, 1, 1DBCA=dxxxx ) 1)(1(3222 dxxxdxxx xx 11 11 23 112222。2211313lnlnarctan21412xxxCxx（3）x dx xxx()() ()12323设 32)3()2)(1(xxxx，则 2)2(21xC xB xA32)3()3(3xF xE xD3332)3)(1()3)(2)(1(
3、)3()2(xxCxxxBxxA。xxxFxxxExxxD2222)2)(1()3()2)(1()3()2)(1(令，得到；令，得到；令，得到；再比1x 1 8A 2x 2C 3x 3 2F 较等式两边、的系数与常数项，得到5x4x。0 13121101085427361240ABD ABCDEABCDEF 于是解得 ，即23,413,841, 2, 5,81FEDCBA32)3()2)(1(xxxx。322)3(23 )3(413 )2(2 )3(841 25 ) 1(81 xxxxxx所以 x dx xxx()() ()12323。414021(3)2133ln8(1)(2)24(3)4(
4、3)xCxxxxx2（4）222)54)(44(xxxxdx2222222)54(1 )54)(44(1 )54)(44(1 xxxxxxxxxx，2222)54(1 541 441 xxxxxx所以=222)54)(44(xxxxdx22)2(1 )2()2arctan(21 xxdxx。2123arctan(2)22(45)2xxCxxx （5）3 13xdx= 123 1) 1( 211ln12 112222xxdx xxxxdxdxxxx x。2121ln1ln(1)3arctan23xxxxC（6）解一：=dx xx421dxxxxxxx ) 1)(1() 1() 1( 212233
5、= 1) 1( 212xxdxx1) 1( 212xxdxx= 141 1) 1( 41222xxdx xxxxd141 1) 1( 41222xxdx xxxxd。221112121lnarctanarctan412 333xxxxCxx解二：1)1 ( 21 1)1 ( 21 124224224xxdxx xxdxx xxdx111111arctanln412 33xxxxCxx。2221111lnarctan412 33xxxCxxx3注：本题的答案也可以写成 。2221113lnarctan4112 3xxxCxxx（7） dxxxxx 454524=，454524 xxxx 4802
6、152 xxx所以 。dxxxxx 454524 32152180ln432xxxxC（8）dxxxx 65133，622 41 ) 1(411)6)(1(7516512233 xxx xxxxx xxx所以。323211(1)4321lnarctan56864 2323xxxdxxCxxxx（9）。x xdx24122111111lnarctan211412xdxxCxxx(10) =dx x41dx x41 dxxxxxxx1221 421221 4222 dxxxxxxxxx121121 411212ln822222。222212ln(arctan( 21)arctan( 21)8421
7、xxxxCxx(11) dx xxx()()2211dxxx xxx 11122。2222211111121lnlnarctan21212133xxdxxxxCxxxx4(12) x x xdx231 1 ()xdxdxxxxdxxxxxx 1) 1() 1(3233323331ln31 1xxdxxx3321ln31 11 11 31 xxdxxxx x 332221ln31 121 1) 1( 611ln31 xx xxdx xxxxdx3 2 31112111ln1ln(1)arctanln36333xxxxxCx。221121ln1ln(1)lnarctan3633xxxxxC(13)
8、 =x xxdx2222 1 ()dxxxxxx222) 1(11 dxxxxxx xx22222) 1(1 23 ) 1(12 21 11=221 22113 24212arctanarctan2(1)2 31333 33xxxCxxxx。24211arctan133xxCxx(14) 1 177 x xxdx()dxxxx )1 (177 dxxx7612dxx177172 xdx。72lnln 17xxC(15) x xxdx9105222()22552510510) 1(1 ) 1( 51 )22()22( 101 xxd xxxxd5 5 105105111arctan(1)10(2
9、2)10(22)10xxCxxxx 。5 5 10521arctan(1)10(22)10xxCxx 5(16) =x xdxnn31221()11 21 ) 1(2122 22nnn nnxdxndxxx n。2221111arctan2121212nnn n nnnxdxxxCn xnxn xn 在什么条件下，的原函数仍是有理函数？f xaxbxc x x( )() 221解解 可化为部分分式 ，于是 f xaxbxc x x( )() 2212) 1(1xC xB xA，cbxaxCxxBxxA22) 1() 1(要使的原函数为有理函数，必须，由此可得 f xaxbxc x x( )()
10、 2210, 0BA。0, 0ca 设是一个次多项式，求pxn( )n。dxaxxpnn 1)()(解解 由于=，所以pxn( ) nkkk naxkap0)( )(!)(dxaxxpnn 1)()( 1 0)()(!)(knnkk n axdx kap。( )( )10( )( )1ln!() ()!knn nn n k kpapaxaCk nkxan 求下列不定积分：；x xdx24；)(xbaxdx；dx xxx221；x x xdx241 1 ；xx xxdx 11 11；x xdx 1 16；dx xx()1；dx xx421；dx xx4。dxxx382) 1()4(；dx xx(
11、)()2123；dx xx144解解（1）=x xdx24dxxxxxxd422142242213124(24 )212xxxC。1(1) 246xxC（2）不妨设，ba 。)(xbaxdx22)2()2(baxabdx2arcsinxabCba注：本题也可令，解得tbtax22sincos。2arcsin()()dxxaCbxxa bx（3） dx xxx221 222221231)1 ( 2111xxdxxxxxddx xxxx。21721(23) 1arcsin485xxxxC （4）=x x xdx241 1 2)()(12112222xxxxddx xxxx。2411lnxxCx 注
12、：这里假设，当时可得到相同的答案。0x0x（5）=xx xxdx 11 111)11(222xxdxdxxx7。2222111(1)1ln1222xxdxxx xxxC 注：本题也可通过作变换来求解。11 xxt（6）=。x xdx 1 122211ln1 1xdxxxxC x 注：本题也可通过作变换来求解。11 xxt（7）=dx xx()1cxxxxdx)1 (21ln41)21(2。 2ln( 1)xxC（8）设 ，则txtandx xx421tdtt ttdt tttdtsinsinsin1 sincos sectansec424342。2 2 33112113sinsin3xcxCttx （9）设，于是dttdxtxxt3444，则dx xx4dtttttdtt）（1114423。244244ln1244ln1tttcxxxC（）（10）设，于是 dtttdxttxxxt232333 )1 (15 14 14 ，则=dxxx382) 1()4(dttdxtttt4 23223 2 53 )1 (15 25)1 (。5 53334 25251xtcCx（11）设，于是 dtttdxttxxxt232333 )1 (
