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1、不同借贷利率下的投资组合的有效前沿不同借贷利率下的投资组合的有效前沿屠新曙1 巴曙松2 1. 湘潭大学商学院，湖南湘潭，411105 2. 北京大学中国经济研究中心，北京，100871摘摘 要：要：Sharp、Lintner 和 Mossin 发现的资本资产定价模型（CAPM）是一个一般均衡模型，不仅使人们提高了对市场行为的了解，而且还提供了实践上的便利，同时也为评估风险调整中的业绩提供了一种实用的方法。因此 CAPM 为投资组合分析的多方面的应用提供了一种原始的基础。然而，CAPM 假定投资者可以无限制地以同样的无风险利率借入和贷出，这在现实的市场运作中是无效的。事实上，投资者借入资金需要支
2、付比贷出或投资资金更高的利率。所以探讨不同利率下的投资组合问题在理论上和金融实践活动中都很有意义。本文研究了不同借贷利率下投资组合的有效前沿，并运用我们自己创立的一种几何方法给出了该有效前沿的方程。在本文中，我们首先把 Markowitz 模型的有效前沿用投资组合的权重向量表示出来7，然后将不同借贷利率下的资本市场线（CML）也用投资组合的权重向量表示出来，再由 CML 的定义就在 Markowitz 模型的有效前沿上分别求出不同借贷利率下资本市场线与 Markowitz 模型有效前沿的切点，同时也得到不同借贷利率下 CML 的斜率，这样我们就得到了不同借贷利率下投资组合的有效前沿。关键词：关
3、键词：市场投资组合，有效前沿，资本市场线1. 引言引言在二十世纪后半期，华尔街发生了两次数学革命，使数学规划和随机方程等数学工具和方法在 金融实践中的应用得到了很大的发展。1952 年，Harry.M.Markowitz 发表了著名的论文“Portfolio Selection” ，标志了华尔街第一次数学革命的开始 1。该论文提出的均值-方差分析首次定量地分析了投资组合中风险与收益之间的内在关系，使人们可以系统地描述和解决投资组合的最优化问题， 它在投资组合理论中具有关键作用。Markowitz 模型是规范性的它指明了投资者应该如何去行 动，这一行动需要解决如下隐含的问题：（1）证券的价格行为
4、；（2）投资者期望的风险-回报率 关系的类型；（3）衡量证券风险的适当方法。1964-1966 年，Sharp、Lintner 和 Mossin 分别独立地 发现了资本资产定价模型（CAPM） ，这是一个一般均衡模型，它试图为这些问题提供较为明确的 答案2-5。 CAPM 不仅使人们提高了对市场行为的了解，而且还提供了实践上的便利，同时也为评估风险 调整中的业绩提供了一种实用的方法。因此 CAPM 为投资组合分析的多方面的应用提供了一种原 始的基础。然而，CAPM 假定投资者可以无限制地以同样的无风险利率借入和贷出，这在现实的市 场运作中是无效的。金融中介机构在贷出资金时的利率会比借入时高，这
5、样投资者的利差中包括了 自身的边际利润和对信用风险的补偿增益，因此借入资金需要支付比贷出或投资资金更高的利率。 所以探讨不同利率下的投资组合问题在理论上和金融实践活动中都很有意义。 本文研究了不同借贷利率下投资组合的有效前沿，并运用我们自己创立的一种几何方法给出了 该有效前沿的方程。在本文中，我们首先把 Markowitz 模型的有效前沿用投资组合的权重向量表示 出来7，然后将不同借贷利率下的资本市场线（CML）也用投资组合的权重向量表示出来，再由 CML 的定义就在 Markowitz 模型的有效前沿上分别求出不同借贷利率下资本市场线与 Markowitz 模型有效前沿的切点，同时也得到不同
6、借贷利率下 CML 的斜率，这样我们就得到了不同借贷利率 下投资组合的有效前沿。我们的目标是开发一种理论，这种理论是不同借贷利率下的投资组合理论， 同时我们还提供计算不同借贷利率下投资组合有效前沿的算法工具。我们强调在算法上，不同借贷 利率下投资组合的有效前沿通常不能用简单的分析工具进行演算。2. Markowitz 模型的有效前沿模型的有效前沿6 投资组合的构建就是选择纳入投资组合的证券并确定其适当的权重，即各证券所占该投资组合 的比例。Markowitz 模型表明，构建投资组合的合理目标应是在给定的风险水平下形成一个具有最 高回报率的投资组合，或者是在给定的回报率水平下形成一个具有最小风险
7、的投资组合。具有这种 特征的投资组合叫做有效的投资组合，它们位于下列模型的解集合中。 1. .)(maxmin)(12niiT pT pxtsRXrEXXI其中，是第 种资产的预期回报率，是投资T nRRRR,21L)(iirER iT nxxxX,21L组合权重向量，是种资产间的协方差矩阵，和分别是投nnijn)(pprER )(2 pprVar资组合的期望回报率和回报率的方差。称为回报率的标准差，表示投资组合的回报率偏离ppr的幅度，被 Markowitz 用于度量投资组合的风险。 )(prE我们知道，模型的解集合在空间中是图 1 中的抛物线 AB，被称为投资组合的有有)(IppR效前沿效
8、前沿。图 1 有效前沿 由我们发表在中国管理科学 （2000 年第 3 期）的工作“求解投资组合最优权重的几何方法” 可知，这个有效前沿可由下列 n-2 个方程构成的线性方程组表示：(2.1)211, 222 , 211 , 2211, 2222121111, 1212111nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxaLLLLLLLLL其中nnnnjnnnnjnijninnnij ijRRRRa 1, 11,1,2, 1,2,2, 11,1njniRRRRbnnnnnnninnin iLL3.3. 不同借贷利率下的资本市场线（不同借贷利率下的资本市场线（CML）及投资组合的有
9、效前沿）及投资组合的有效前沿在 CAPM 的世界里，决定有效组合的风险与收益关系是一件简单的事情。图 2 以图形的方式生动地描述了它。代表无风险利率，有效组合落在从出发与原 Markowitz 模型有效前沿相切frfr的直线上。这条直线就是大家所知的资本市场线资本市场线（CML） ，它具有如下方程：(3.1)p MfM fprRrR在这里，和分别代表切点 M 的期望回报率与标准差。 MRM图 2 资本市场线 我们将（3.1）式改写为如下形式：(3.2)pfpkrR下面我们来讨论不同借贷利率下的资本市场线。假设投资者的借入利率为，贷出利率为1fr，2fr21ffrr则不同借贷利率下的资本市场线分
10、别是图 3 中的 CML1 和 CML2，它们的方程分别是：(3.3)pfpkrR11(3.4)pfpkrR22因此，要求出不同借贷利率下的资本市场线，我们只需求出它们的斜率和即可。1k2k将（3.3）转化为如下形式：(3.5)2(12 112 2 12 ffppprrRRk图 3将模型中的和代入（3.5） ，就得到：)(IRXRT pXXT p2(3.6)(212 12 12 1RXRXrrkXXTT ffT因为线性方程组(2.1)的秩是，所以它的基础解系的个数是 1，即都可由2n132,nxxxL表示（利用消元法可得） 。由于，因此也可由表示。将代入1x niix11nx1xnxxxxL,
11、321（3.6）式，就得到关于的一元二次方程，因为点是切点，所以只有一个根。由求根公式，1x1M1x就可求出和，然后就自然得到的值，这就得到点处的权重了，同时也由的1k1xnxxxL,321M1k值得到 CML1 方程。再由下面两式：(3.7)RXRT p(3.8)XXT p2我们就分别切点的期望回报率和方差、。1M1MR2 1M类似地，由方程（3.4）可得、CML2 方程及切点的期望回报率和方差、。2k2M2MR2 2M得到不同借贷利率下的资本市场线 CML1 和 CML2 后，我们就能确定不同借贷利率下投资组合的有效前沿，它就是图 3 中的实线，这是由两条直线（CML2 和 CML1）和一
12、段弧线FMCM12（）组成的折线。这时，投资者有三种可供投资选择的期望回报率：（1）当投资者的期望12MM回报率低于时，他就贷出无风险资产和投资于风险资产；（2）当投资者的期望回报率介于2MR和之间时，他就仅投资于风险资产；（3）当投资者的期望回报率高于时，他就借入2MR1MR1MR无风险资产并投资于风险资产。4. 算例算例为了说明不同借贷利率下投资组合有效前沿的具体算法，我们将考虑美国市场上三种主要的资 产类型：国际权益类、美国国内股票类和长期债券。这三类证券是被投资组合经理或大型的投资者 经常使用的，或是作为所考虑的资产类型的全体，或是作为所考虑的资产类型的重要部分，而其他 部分尚可扩充。
13、因此这些资产可以看作资产配置所产生的这一类实际效果的代表，同时又能清楚地 说明其应用过程。 表 41 表示这三类资产在 19261993 年间各自实现的年回报率和这些回报率的标准差以及这 些资产类型之间的相关性7。假设银行的存贷利率分别为 2.0%和 3.7%，则投资者的借贷利率分别 为 3.7%和 2.0%。表 41 三类风险资产的风险回报率数据（19261993 年）资产类型回报率平均值（%）回报标准差（%）相关性国际股票15.530.31.00.560.22U.S.股票12.320.50.561.00.14长期债券5.48.70.220.141.0由表 41，我们知道：，TR4 . 53
14、 .125 .15969.249942.57844.34769.757 . 825.4205 .2009.9183 .3023323223133131131221211222 33322 22222 111 即 6900.759690.249942.579690.24250.420844.3479942.57844.347090.918所以，方程组(2.1)变为方程：(4.1)5988. 5918.30552.3721xx因而1213122146. 08189. 012146. 11811. 0xxxxxx由于，因此方程（3.6）变为：%7 . 31fr(4.2)(4 . 769.131)(2
15、12 2 12 12 12 1RXRXkRXRXrrkXXTTTT ffT将、 和RTTxxxxxxX2146. 08189. 0,2146. 11811. 0,111321代入（4.2） ，就得到关于的一元二次方程：1x(4.3)09465.717002. 8)9675.141419.10()4309.6279556. 2(2 112 12 12 1kxkxk由求根公式，要使只有一个根，就必须满足：，即1x042acb(4.4)0)9465.717002. 8)(4309.6279556. 2(4)9675.141419.10(2 12 122 1kkk解之，得：或 1241. 02 1k3523. 01k同时，可得0553. 08171.1492844. 8)1241. 04309.6279556. 2(21241. 09675.141419.10 21abx将代入到和中，得：1x2x3x8308. 02146. 08189. 011139. 02146. 11811. 0121312xxxxxx因此，我们就得到切
