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1、习题 25 1 求解下列微分方程：（1）；0)()23(2232dyyxdxyxyyx解 这里，因此原方程不是恰当方程，由于xxQyxxyP2,32322，3)(1 xQ yP Q于是原方程有积分因子.xdxeex33)(将它乘原方程两边，得到一个恰当方程，0)()23(223323dyyxedxyxyyxexx改写为，0)()23(2333223dyydxyedyexydxxxexxx即.0)31()(3332yedyexdxx由此可求得通积分.Cyeyexxx3332 31（2）；0)(22dyxyxydx解 把方程改写为.0)()(22dyyxxdyydx容易观察出一个积分因子为，将它乘
2、原方程两边，得221 yx .022dyyxxdyydx即.0)(arctandyxyd从而原方程的通积分为.Cyxyarctan（3）；0) 1(2223dyyxdxxy解 这里，因此原方程不是恰当方程，由于222,6xyxQxyyP，yyP xQ P2)(1于是原方程有积分因子.2)2(1)(yexdxy 将它乘原方程两边，得，01)2(22dyydyxxydx从而原方程的通积分为.Cyyx12（4）；0)(2223dyxyxdxy解 把方程改写为.02)2(223dyxdyxydxy不难看出，前一组有积分因子和通积分，因而它有更一般的积分因子，前一yx21Cxy2 )(1212xygyx
3、组有积分因子和通积分，故它有更一般的积分因子.为使关系式21 xCy )(122ygx)(1)(122212ygxxygyx成立，可取，.1)(21xygyyg1)(2从而得到原方程的积分因子，以它乘方程的两端，得到yx21.02222 dyyxxydydxy从而原方程的通积分为.Cxyy2 2ln此外，原方程还有解.0, 0yx2 证明方程0),(),(dyyxQdxyxP有形如的积分因子的充要条件是),(yx),(yxfyPxQxQ yP并写出这个积分因子，然后将结果应用到下述各种情形，得出存在每一种类型积分因子的充要条件：（1）； （2）；)(yx )(22yx （3）； （4）；)(x
4、y)(xy（5）.)(yx证明 方程有积分因子的充要条件是),(yx.)(yP xQ xQyP令，则有),(yx，),()(yxyP xQ xddQyddP 即满足下列微分方程),(yxxQyPyxyP xQdd),()(由于上式左端只与有关，所以右端亦然，因此微分方程有形如的积分因子的),(yx),(yx充要条件是.),(yxfyPxQxQ yP求解式得.dyyxfeyx),(),(将此结果应用到下列各种情形，有（1）具有形式的积分因子的充要条件：)(22yx .)(yxfPQxQ yPm（2）具有形式的积分因子的充要条件：)(yx .)(22yxfyPxQxQ yP（3）具有形式的积分因子
5、的充要条件：)(xy.)(xyfxPyQxQ yP（4）具有形式的积分因子的充要条件：)(xy.)(2xyfxPQxyxQ yP （5）具有形式的积分因子的充要条件：)(yx.)( yxfyP xQxQ yP 5 设函数，都是连续可微的，而且，是),(yxP),(yxQ),(1yx),(2yx),(1yx),(2yx微分方程0),(),(dyyxQdxyxP的两个积分因子，不恒为常数.试证明：是方程的一个通积分.证明 因为),(),(21 yxyx Cyxyx),(),(21 ，是微分方程的两个积分因子，所以),(1yx),(2yx，),(),(),(111yxdUdyyxQdxyxP，),(),(),(222yxdUdyyxQdxyxP从而有 ，QP QP yU xU 1111:，QP QP yU xU 2222:故，则与函数相关，即.又且不恒为常数.又0),(),(21yxDUUD1U2U)(12UU2121 dUdU21 ，令，所以，)(1 )(1 21121 UdUUdU dUdU )()(11 1UU)()(11 1 21UU而是方程的一个通积分.故是方程的一个通积分.CU)(1C21
