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1、发散性思维在高中数学教学中的培养浦北县寨圩中学浦北县寨圩中学 曹智勤曹智勤【摘要摘要】：在中学数学教学中,教师应充分发掘数学教学内容中的发散点,引导学生不拘泥于常规思维模式,对同一问题从多方位、多层面进行思考,培养学生思维流畅性,训练学生思维的独特性,从而有效提高学生发散性思维的能力.【关键词关键词】： 数学教学数学教学 发散思维发散思维 流畅流畅 变通变通 独特独特心理学认为:发散性思维是一种沿着不同方向、不同角度、对同一问题寻求多种答案的思维方式.它具有三个基本特性:一是思维的流畅性,二是思维的变通性,三是思维的独特性.发散性思维是创造性思维中重要的思维方法,任何发明、任何科学理论的创立,
2、首先建立在发散思维的基础上。培养学生的发散性思维是形成创造性能力的关键，应当体现在让学生独立地分析、解决问题的课堂教学过程中。在中学数学教学中，教师应充分发掘数学教学内容中的发散点，引导学生不拘泥于常规思维模式，对同一问题从多方位、多层面进行思考，培养学生思维流畅性，训练学生思维的独特性，从而有效提高学生发散性思维的能力。以下就培养学生的发散性思维的意义和途径谈谈自己的一些浅见，以求教于同行。一、 培养学生发散性思维的意义1.培养学生发散性思维是提高学生学习积极性的有效措施我们在教学中如果让学生多考虑一些方法灵活多样或答案不唯一的发散性问题，并在教师指导下做一些探究试验和民主讨论，使学生在解决
3、问题的过程中得到一些意外的收获，那么就会使所学的数学知识“活起来”，解决问题的方法多起来，使学生真正领悟到主动学习的愉悦，有利于发展学生直觉思维，培养他们的参与意识，从而提高学习数学的积极性。2.培养学生发散性思维是提高学生创造能力的根本保证我国著名的数学家徐利治先生说过：“任何一位科学家的创造能力，可用如下公式来估计：创造能力知识量发散思维能力”。美国心理学家吉尔密特也认为：发散思维是从所给的信息中产生信息，其着重点是从同一来源中产生各种各样的为数众多的输出，并且发生转移作用。这两种观点从不同侧面说明了同一个问题：发散性思维的优劣是决定学生创造性能力大小的重要因素。教师在数学教学过程中对学生
4、的思考方向进行适当的引导，使他们从不同的角度、不同的方向来寻求多种解决问题的方法，对于提高学生的创造性能力有很大的作用。二、培养学生发散思维的途径1、一题多解，灵活思维一题多解，就是启发和引导学生从不同角度、不同思路，运用不同的方法和不同的运算过程去分析、解答同一道数学题，它属于解题的策略问题。在数学教学中，教师若能抓住一切有利时机，经常有意识地启发、引导学生在所学的知识范围内，尽可能地提出不同的新构想，追求更好、更简、更巧、更美的解法，这不仅有利于对基础知识的纵横联系和沟通，而且也有利于培养学生的发散思维能力和创新精神。例 1. 椭圆的焦点是，椭圆上一点满足22 12516xy 12FF、P
5、，下面结论正确的是（ ）12PFPFA. 点有两个 B. 点有四个PPC. 点不一定存在 D. 点一定不存在PP解法一：以为直径构造圆，12FF22:9O xy联立方程组可求得圆与椭圆不可能有交点。故选 DO解法二：计算的取值范围，由 ，12cosFPF12cos0FPF得出 不可能成立 故选 D1290FPF12PFPF解法三：设， ，12PFF12PFPF，12| 6cos6sin6 2sin()6 24PFPF而 即，不可能成立。故选 D12| 210PFPFa106 2解法四：由题知，1 2max121()3 4122PF FSFFb ，12PFPF1 22tan164PF FSb而
6、不可能成立， 故选 D1216解法五：设，(5cos ,4sin )P由无解， 故选 D120PF PFuuu r uuu r27cos9 “一题多解”模式，在一定程度上可以很好地吸引学生从多角度进行观察、思考、联想、概括并获得多种解题途径，从而使他们既开阔了视野，又增添了兴趣，也感受到数学的美妙，更培养了发散思维的灵活性。2、一题多变，广阔思维例 2. 求函数在上的最大值和最小值2( )23f xxx2,2分析：对称轴，1x 当时，当时，1x min( )4f x 2x max( )5f x变式 1：求函数在上的最大值和最小值2( )23f xxx2, 1分析：由在上单调递减，( )f x2
7、, 1当时，当时，1x min( )0f x2x max( )5f x变式 2：求函数在上的最大值( )()f xx xa 1,1x分析：本题属于轴动区间定的类型题，可按对称轴与定义域区间的位置关系， 由数形结合可得在上的最大值( )f x 1,12max(1),2( ),224 1,2aaaf xaaa 变式 3：求函数在上的最小值2( )23f xxx,1a a 分析：本题属于轴定区间动的类型题，按对称轴与定义域区间的位置关系，由 数形结合可得在上的最小值( )f x ,1a a 2min24,0 ( )4,0123,1aa f xaaaa 变式 4：已知函数在区间上的值域是，求2 ( )
8、2xf xx , m n3 ,3 m n的值,m n分析：对称轴，可讨论 1 与的大小关系，通过分类讨论可求得1x ,2mnmn4,0mn 变式 5：求函数的值域( )cos2sinf xxx分析：，令，2( )cos2sin2sinsin1f xxxxx sintx则问题转化为求在的值域，221ytt 1,1t 易得的值域为( )f x92,8解决一元二次函数的区间最值问题，关键是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。本例通过不断变形，既对一元二次函数的区间最值进行了探讨，又从中渗透了分类讨论思想、转化与化归思想、数形结合思想。一个问题，若能引导鼓励学生从不同的角度出发，多方探求，将会
9、使学生思维宽广，培养了思维的广阔性。3、一题多探，深刻思维传统的封闭题条件完备，有固定的思路，答案唯一，学生通过模仿就可以掌握，但这从一定程度上抑制了学生的创新灵感。而开放探索性问题的特征是题目的条件不充分或没有确定的思路、结论，所以其解题策略往往是多样的，答案也不唯一。它为学生提供了更多的交流与合作的机会，为充分发挥学生的主体作用创造了条件。例 3. 已知是两个不同的平面，是平面及外的两条不同直线，给, ,m n出四个论断：，以其中三个论断作mnnm为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题 分析：题目的条件和结论都没有给出，这是一道综合开放题，以其中三个论断作为条件，余下一个论
10、断作为结论，有 4 个命题。 但根据线线、线面、面面垂直关系，可知只有两个命题是正确的，即，或。数学开放题由于具有探索性和多样性，不同的问题有不同的解题策略，需要不断研究和推敲，常常要不循常规，勇于创新，考虑的问题存在着多种可能性。这样有利于培养思维的独创性、多向性和灵活性，从而提高了学生的创新思维能力。4、一题多用，独特思维一题多用，就是利用题目的结论,借题发挥,达到解决多个数学问题的目的。例 4. 已知,且，求证：, ,a b mRabama bmb分析：这道题可以通过求差比较法得到证明，但我们思考问题不能只停留在表面，要善于联想、归纳、创新，不断提高自己的思维素质。例如它有什么应用呢？根
11、据结论的结构特征，改变一下考察问题的角度，可获得如下应用：（1）斜率问题， 即两点、连线的斜率大于两点、( , )b a(,)mm( , )b a连线的斜率，其中,且；(0,0), ,a b mRab（2）浓度问题，即个单位溶液中有个单位溶质，其浓度小于加入个单位bam溶质后的浓度；（3）建筑物的采光度问题，建筑学上规定:民用建筑的采光度等于窗户面积与地面面积之比，但窗户面积必须小于地面面积，采光度越大说明采光条件越好，即增加同样的窗户面积与地面面积后，我们可知采光条件变好了。本例通过对结论的结构特征的观察，通过转化使结论中的数量关系获得了几何解释，问题变得直观形象，使学生易于观察到问题的本质，都体现了数学归纳的思想。综上所述，在高中数学教学中，我们要在多方面重视培养学生的发散思维能力，使学生在解题时做到“举一反三、融会贯通”。当然，在思维向某一方向发散的过程中，仍然需要集中思维的配合，需要合乎逻辑的分析、严谨有序的推理，在多种途径、多种方法中，也需要比较判断，获得一种最简捷、最科学的方案与结果，使思维的发散与集中和谐配合，逐步形成稳定的思维水平和创新能力。
