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1、摘 要Brown 运动的极限定理(Limit Theorem of Brownian Motion)是概率论极限理论的一个重要分支，对 Brown 运动以及与 Brown 运动相关随机过程轨道的性质的研究是一个广泛研究的课题.本文目的是研究布朗运动增量在一定条件下的极限定理，推广了前人的一些主要结果.本文的研究内容组织如下：第一章为绪论，介绍了 Brown 运动的有关发展历史及已有的研究结果.第二章为预备知识，介绍了一些记号与基本概念.第三章至第四章为本文研究的主要结果.在第三章，我们研究了布朗运动增量在Hlder 范数下的 C-R 型局部泛函极限定理.第四章，研究了 Brown 运动增量在H
2、lder 范数下关于容度的收敛速率. ,. .r pCq s第五章，对本文工作总结及展望.关键词：Brown 运动；Hlder 范数；容度；收敛速率；AbstractLimit Theorem of Brownian motion is an important branch of Probability Limit Theorem. The topic on the path properties of Brownian motion and its relative stochastic process is widely researched. The purpose of this p
3、aper is to study Limit Theorem of Brownian motion and increments of a Brownian sheet under certain conditions. Some important results of predecessors are extended and improved. The content of this paper is organized as follows:The first chapter is an introduction which presents the development histo
4、ry and the existing research results of Brownian motion.The second chapter is preliminary knowledge which introduces signs and some basic concepts.The main results can be seen from chapter three to chapter four. The third chapter studies the theorem of C-R local functional limit for increments of a
5、Brownian motion in Hlder norm. The forth chapter discusses the convergence rate of increments of a Brownian motion about the capacity of in Hlder norm.,. .r pCq sThe fifth chapter summarizes the content of this paper and makes the prospect.Key words: Brownian motion; Hlder norm; Capacity; The rate o
6、f convergence; 第一章 引言1.1 Brown 运动发展过程及有关应用Brown 运动(Brownian motion，简称 BM)在数学学科上也可以称为维纳过程，Brown 运动作为具有连续时间参数和连续状态空间的一个随机过程，是随机过程学科中的最简单的、最基本的、最常见的随机过程之一.许多随机过程可看成 Brown 运动的推广或者泛函.Brown 运动作为物理现象，首先由英国生物学家 Robert Brown 在 1827 年观察花粉微粒在液面上的“无规则运动”而提出，后来才由德耳索作出了正确的定性分析.在1905 年，爱恩斯坦首次对这种“无规则运动”现象的物理规律，建立了一
7、种数学模型，这一模型的问世使这一理论有了明显的发展.最后在Smoluchowski，Fokker，Planck，Burger，Furth，Ublenbeck 等著名学者的努力下，这方面的理论工作得以迅速发展起来了.但在数学方面，由于缺少精确描述，因而进展较为缓慢，一直到了 1918 年才由 Wiener 提出了在 Brown 运动空间上定义测度与积分的精确且严格的数学定义，定义表明了 Brown 运动是一种独立增量过程，是一个具有连续时间参数和连续状态空间的随机过程.它是随机过程中最简单，最重要的特例，许多不同类型的重要随机过程都可以看做它的泛函或某种意义下的推广，这些工作推动了 Brown
8、运动研究的快速发展，并逐渐令其渗透到概率论的各个分支中，使之成为现代概率理论的重要篇章.在当今迅猛发展的时期，伴随着科学技术的快速发展和普及，又特别是计算机科学的广大应用，对 Brown 运动性质的探讨和研究意义深远且已取得了质的飞跃，从应用角度来看，工程技术，经济管理等广泛领域中都有“噪声”与涨落现象存在，它们往往涉及 Brown 运动，也就需要 Brown 运动的理论；又由于 Brown 运动与热传导方程有密切联系，使它成为概率论与分析联系的重要纽带.目前，六十年代中以来发展起来的 Brown 运动的极限定理已广泛地出现在多个领域中，如物理学、经济数学、通信理论、金融学、与数理统计等等学科
9、.比如最经典的，也是较为突出的贡献就是将 Brown 运动与股票价格行为联系在一起，进而建立起 Brown 运动的股票价格数学理论模型，这是二十一世纪的一项具有突破性的重要意义的创新课题，给历史翻开了崭新的一页.当代资本市场理论的核心假设之一是 Brown 运动假设，市场理论认为证券期货价格具有随机性上下波动的特性，因此对 Brown 运动性质的研究在现代金融数学中起举足轻重的作用.因此诸多专家和学者对 Brown 运动及其相关的轨道性质进行了深入的研究.可见，对 Brown 运动的性质进行深入研究意义非常重大，这不仅极大的丰富了概率论的知识体系，而且为其实际应用提供了强而有力的理论指导.Br
10、own 运动的极限定理已经成为概率论极限理论学科中的一个比较热门的研究课题.国内外许多的概率论工作者纷纷对 Brown 运动的轨道的极限性质进行了广泛深入地研究.一些与 Brown 运动有关的随机过程，比如广义 Brown 运动1-2、Guass 过程3-4、扩散过程5-6、稳定过程7等的极限性质亦被大量研究.对 Brown 运动轨道性质的研究是 Brown 运动的极限定理主要研究内容之一，比如研究 Brown 运动在一定的假设条件下的连续模定理8-9、Brown 运动 Strassen 重对数律10-11，或者 Brown 运动增量有多大12以及增量有多小13的问题，还有一些泛函极限定理问题
11、14-15等等.布朗运动的极限定理作为一门广泛研究的课题，随着人们的不断深入研究，将会有更多新结果.1.2 与本文研究有关的结果对 Brown 运动的轨道性质的研究是 Brown 运动极限定理的重要内容，发展至今已有几十年的历史.在这几十年里，随着研究的不断深入，研究成果不断丰富和完善起来，对它的研究既深化和丰富了极限理论学科中经典理论的重要的基本结果，同时也开拓了对其他随机过程重对数律的研究.后来，对 Brown 运动增量的极限定理也做了许多研究，其中最重要的内容是Csrg-Rvsz 有关研究结果，我们介绍如下：设是-维标准 Brown 运动，记 0BB tt;d. 0000ddCTfCTR
12、f,;设不减函数，满足：: 00ua ,(1) ；0uau u,(2) 非减；uu a(3) .log/limlogloguuu a u 对 1-维 Brown 运动，Csrg 和 Rvsz12-13得到如下结果.如果满足(1)、(2)，则得到ua， ， (1-2-1) 00limsupsupsup1uuu ut u as aB tsB t . .a s与， ， (1-2-2) 00liminfsupsup1uuuut u as aB tsB t . .a s其中且. 1/2log2loguu uuuaa1/22log8logu u uuu a a 若(3)也成立，则(1-2-1)与(1-2-
13、2)的上下极限可换为极限.(1-2-1)泛函版本已被Rvsz10给出.Rvsz 结果如下：命题命题 1.2.1 若条件(1)、(2)成立，则， (1-2-3) 0,1/limsupsup,0uu utaut uK . .a s且对所有，有K， (1-2-4)0,1/limsupinf,0uutauut u . .a s其中：， ut usB uta sB ut,01t 0 1s, 1200 1d1dKCtt, ;后来，危启才将结果推广到 Hlder 范数情形15，结论如下：命题命题 1.2.2 若条件(1)、(2)成立，则， (1-2-5) 0,1/limsupsup,0uu utaut uK
14、 . .a s且对任意，有K， (1-2-6)0,1/limsupinf,0uutauut u . .a s若条件(3)成立，则有， (1-2-7)0,1/liminf,0uuutaut u . .a s后来，高付清、王清华16研究了命题 1.2.1 的收敛速率，其结果如下.命题命题 1.2.3 设条件(1)、(2)成立，则对任意，有K 10d1tt， ， (1-2-8) 0,1/logliminf 2loginf,uuutauuuut uba . .a s其中，是正常数，精确值见 Ciesielski 和 Taylor17. 1/2120/ 21ddcb tt dc更进一步，若条件(3)成立，则， (1-2-9) 0,1/loglim2loginf,uuutauuuut uba . .a s特别在(1)、(2)成立时， (1-2-10) 1/200loglog liminfinfsup1uuuut u as aduuu aB tsB tc a . .a s若(3)成立，则， (1-2-11) 1/200loglog liminfsup1uuuut u as aduuu aB tsB tc a . .a s不久，高付清
