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1、2013 年高水平大学自主选拔学业能力测试 Advanced Assessment for Admission（AAA） 数学 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的。 1已知 P 为三角形 ABC 内部任一点（不包括边界） ，且满足 ，则ABC 一定为( )()(2)0PBPA PBPAPCuu u vuu u v uu u vuu u vuuu vA直角三角形；B. 等边三角形；C. 等腰直角三角形；D. 等腰三角形 2圆锥的轴截面 SAB 是边长为 2 的等边三角形，O 为底面中心，M 为 SO 的中点，动点 P 在圆锥底面内
2、（包括圆周） 。若 AMMP，则 P 点 形成的轨迹的长度为_A. B. C. 3 D.77 23 2 3.设有一个体积为 54 的正四面体，若以它的四个面的中心为顶点做一个四 面体，则所作四面体的体积为_ A.1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数 n 时按下这个按键， 会等可能的将其替换为 0n1 中的任意一个数。如果初始时显示 2011，反 复按这个按键使得最终显示 0，那么这个过程中，9、99、999 都出现的概 率是 A . B. C. D.1 1041 1051 1061 1075已知，直线与,R 1sinsinsincosxy 1c
3、ossincoscosxy 的交点在直线上，则 。yx cossincinsso A.0 B.1. C-1 D.26设，则。lglglg111( )12141 8xxxf x 1( )( )_f xfxA 1 B 2 C 3 D 4 7 已知，则 1cos4544sincosA 4/5 B 3/5 C1 D -4/5 8顶点在同一球面上的正四棱柱中，则ABCDA B C D 12ABAA， 两点间的球面距离为（ ） AC，A B C D 2 42 29. 在平面直角坐标系内，将适合且使关于 t 的方程,3,3,xy xy没有实数根的点所成的集合记为 N，则由点集33421()(3)0xy tx
4、y txy( , )x yN 所成区域的面积为 。 A 81/4 B 83/4 C 81/5 D 83/5 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为 F1、F2，过椭圆的右焦点作一22 143xy条直线 l 交椭圆于点 P、Q，则F1PQ 内切圆面积的最大值是 A B C D 25 169 2516 259 16二、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 一设若时，且在区间上的最大2( )( ,)f xxbxc b cR2x ( )0f x ( )f x2,3 值为 1，求的最大值和最小值22bc二、已知椭圆 C：（） ，其离心率为，两准线之间的距离为。22221xy ab0ab4 525
5、 2 （1）求之值；, a b （2）设点 A 坐标为(6, 0)，B 为椭圆 C 上的动点，以 A 为直角顶点，作等腰直角 ABP（字母 A，B，P 按顺 时针方向排列） ，求 P 点的轨迹方程。三.（本小题满分 25 分）已知数列an中的相邻两项 a2k-1，a2k是关于 x 的方 程 x2（3k+2k）x+3k2 k =0 的两个根. （1）求数列an的前 2n 项和 S2n.（2）记 f（n）=21（nn sin|sin|+3） ，Tn= 21)2(1- aaf）（+ 43)3(1- aaf）（+ 65)4(1- aaf）（+ nnnfaa212) 1(1-）（，求证：61Tn245（
6、nN+）四、已知椭圆 过定点 A（1，0） ，且焦点在 x 轴上，椭圆与曲线12222 by ax的交点为 B、C。现有以 A 为焦点，过 B，C 且开口向左的抛物线，其yx顶点坐标为 M（m，0） ，当椭圆的离心率满足 时，求实数 m 的取1322 e值范围。五、已知从“神八”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为 ，某31植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一料种子，每次实验结 果相互独立。假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子 没有发芽，则称该次实验是失败的。若该研究所共进行四次实验，设 表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值（1）求随机变量 的
7、数学期望 E ；（2）记“关于 x 的不等式的解集是实数集 R”为事件 A，求事012 xx 件 A 发生的概率 P（A）。2013 年高水平大学自主选拔学业能力测试 全真模拟 数学 答案及详解答案及详解 1 解：因为，所以已知条件可改写为,2PBPAAB PBPAPCCBCAuuu ruu u ruu u ruu u vuu u vuu u vuu u vuuu v。容易得到此三角形为等腰三角形。 因此 选 D。()0ABCBCAuuu ruu u ruu u r2 解：建立空间直角坐标系。设 A(0,-1,0), B(0,1,0), (0,0,)3S，P(x,y,0).于是有由于 AMMP
8、，所以(0,0,)3 2M(0,1,),( , ,).23 23AMMPx yuuuu ruuu r，即，此为 P 点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内(0,1,)33( , ,)022x y3 4y 的长度为。 因此 选 B。2371 ( )4223. B 4. 答：61 10若计算器上显示 n 的时候按下按键，因此时共有 1n1 共 n 种选择，所以产生给定的数 m 的概率是 。如果计算器上的数在变化过程中除了1 n2011，999，99，9 和 0 以外，还产生了，则概率为12,na aaL，所以所求概率为 121111111 2011999999naaaL121111111 2011999
9、999npaaaL11111111112011201020091000999998LL11111111111 110099981098LL注意到1111111111111 12011201020091000999998 LL两式相除即得。61111 10001001010p 5解：由已知可知，可设两直线的交点为，且为方程00(,)xx,inssco，001sincosxx tt的两个根，即为方程2 0sinc(cos)sinos(cos)i0s nttx的两个根。因此，cos(sinsincos) 即0。cossincinsso6解： 。lglglglglglg1111111( )( )312
10、141 812141 8xxxxxxf xfx7 4 58 B9. 答：81 5令，原方程化为 2ut3321()(3)0.xy uxy uxy233221(3)4()523(53 )().xyxyxyxxyyxy xy 所给方程没有实根等价于方程无实根或有实根但均为负根，所以，或,3,3,(53 )()0xyxyxy xy ,3,3,(53 )()0,30.xyxyxy xyxy 点集 N 所成区域为图中阴影部分，其面积为12418136 3.2525ABOBCOSSS 10. 答：9 16因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的 2 倍，且F1PQ的周长是定值 8，所以只需求出F1
11、PQ 面积的最大值。设直线 l 方程为，与椭圆方程联立得，设，则1xmy2234690mymy11,P x y22,Q xy，于是1226 34myym 1 229 34y ym 。122 1212121 22211412234FPQmSF Fyyyyy y m 因为，所以内切圆半径22222 221111 11163491599611mmmmmm ，因此其面积最大值是。123 84FPQSr9 16二、解答题一 解：由题意函数图象为开口向上的抛物线，且在区间上的最大( )f x2,3值只能在闭端点取得，故有，从而且(2)(3)1ff5b38cb 若有实根，则，( )0f x 240bc 在区
12、间有即消去 c，解出2,2( 2)0, (2)0,22,2f f b 420, 420, 44,bc bc b 4,5 4,44,bbb 即，这时，且4b 4c 0 若无实根，则，将代入解得( )0f x 240bc 38cb 84b 综上54b所以，单调递减22222( 38)104864bcbbbb 故2222 minmax()32,()74bcbc注重分类讨论二、解：（1）设 c 为椭圆的焦半径，则。2425,54a cc a于是有 a5，b3。（2） 解法一：设 B 点坐标为，P 点坐标为。于是有( , )s t( , )x y6(6)ABstAPxyuuu ruuu r（，）, ，。
13、因为，所以有ABAPuuu ruuu r。 (A1 )6(6)(6)(6)0stxysxty（，），又因为 ABP 为等腰直角三角形，所以有 AB=AP，即 。 (A2 ) 222266stxy（）（）由（A1）推出，代入（A2） ，得22 2 26(6)6(6)tyt yssxx 226tx（）从而有 ，即（不合题意，舍去）或。 226ys（）6sy6sy代入椭圆方程，即得动点 P 的轨迹方程22661925xy（）（）。解法二： 设,，则以 A 为圆心，r 为半径的圆的参数方程11( ,)B x y( , ),P x yABr为。6cos sinxr yr 设 AB 与 x 轴正方向夹角为 ，B 点的参数表示为，116cossinxryr P 点的参数表示为.006cos(90)6sin,cossin(90)xrxr yryr
