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1、1 1.(海淀 18.)（本小题满分 13 分）已知函数. ()求的单调区间；( )lnf xxx( )f x() 当时，求证：恒成立.1k ( )1f xkx(海淀 18.) ()定义域为-1 分0,-2 分( )ln1fxx令，得 -3 分( )0fx 1 ex 与的情况如下：-5 分( )fx( )f x所以的单调减区间为，单调增区间为-6 分( )f x1(0, )e1( ,)e()证明 1：设，-7 分1( )lng xxx0x -8 分22111( )xg xxxx与的情况如下：( )g x( )g xx(0,1)1(1,)( )fx0 ( )f x极小值所以， 即在时恒成立， -
2、 10 分( )(1)1g xg1ln1xx0x 所以，当时，1k 1ln xkx所以，即，ln1xxkx ln1xxkx所以，当时，有. -13 分1k ( )1f xkx证明 2：令-7 分( )( )(1)ln1g xf xkxxxkx-8 分( )ln1g xxk 令，得-9 分( )0g x 1ekx与的情况如下：( )g x( )g x-10 分的最小值为-11 分( )g x11(e)1 ekkg 当时，所以 故-12 分1k 1e1k11 e0k( )0g x 即当时，.-13 分1k ( )1f xkxx1(0, )e1 e1( ,)e( )fx0( )f x极小值x1(0,
3、e)k1ek1(e,)k( )fx0 ( )f x极小值22.(顺义一模 18).（本小题共 13 分）已知函数， （其中常数）( )xef xxa0a （）当时，求曲线在处的切线方程；1a (0,(0)f（）若存在实数使得不等式成立，求的取值范围.,2xa2( )f xea(顺义一模 18 答案).（本小题共 13 分）解：（）定义域|x xa当时，1a ( )1xef xx 2(2)( )(1)xexfxx，(0)1f (0)2f 曲线在处的切线方程为：.4 分(0,(0)f210xy （），令， 2(1)( )()xexafxxa( )0fx 1xa在递减，在递增. .8 分( )f x
4、(, ),( ,1)aa a(1,)a若存在实数使不等式成立，,2a2( )f xe只需在上成立，,2a2 min( )f xe若，即时，12a 01a12 min( )(1)af xf aee，即，.10 分12a 1a 01a若，即时，12a 12a2 2 min( )(2)2ef xfea解得，又，1a 12aa综上，的取值范围是 13 分a0,13. 3（西城一模 18 ） （本小题满分 13 分）已知函数，其中( )lnaf xxxaR（）当时，求函数的图象在点处的切线方程；2a ( )f x(1,(1)f（）如果对于任意，都有，求的取值范围(1,)x( )2f xx a（西城一模
5、18 答案） （本小题满分 13 分）（）解：由，得， 22( )lnf xxx212( )fxxx分所以 ，(1)3f 又因为 ，(1)2f 所以函数的图象在点处的切线方程为. 4( )f x(1,(1)f350xy分（）解：由 ，得，( )2f xx ln2axxx 即 . 6 分2ln2axxxx设函数，2( )ln2g xxxxx则 ， 8 分( )ln21g xxx因为，(1,)x所以，ln0x 210x 所以当时， 10 分(1,)x( )ln210g xxx 故函数在上单调递增，( )g x(1,)x所以当时，. 11 分(1,)x( )(1)1g xg 因为对于任意，都有成立，
6、(1,)x( )2f xx 所以对于任意，都有成立.(1,)x( )ag x所以. 13 分1a44. （丰台 18）已知曲线.( )xf xaxe(0)a （）求曲线在点（）处的切线；0,(0)f（）若存在实数使得，求的取值范围.0x0()0f xa解：（）因为，所以切点为（0，-1）.(0)1f ，( )xfxae(0)1fa所以曲线在点（）处的切线方程为：y=(a-1)x-1.-4 分0,(0)f（）因为 a0，由得，由得，所以函数( )0fxlnxa( )0fxlnxa在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为( )f x(,ln )a(ln ,)a ( )f x.(ln )lnfaa
7、aa因为存在使得，所以，所以.-13 分0x0()0f xln0aaaae5.(朝阳一模 18)本小题满分 13 分）5设函数( )lnf xx，( )1g xax，aR，记( )( )( )F xf xg x.（）求曲线在ex 处的切线方程；( )yf x（）求函数( )F x的单调区间；（）当时，若函数( )F x没有零点，求a的取值范围.0a (朝阳一模 18 答案).解：(I)1( )fxx ，则函数( )f x在ex 处的切线的斜率为1 ek .又，(e)1f所以函数( )f x在ex 处的切线方程为,即1 eyx4 分 11(e)eyx （）( )ln1F xxax， 11( )a
8、xF xaxx ， （0x ）.当时，( )0F x，( )F x在区间(0,)上单调递增；0a当时，令，解得；令，解得.0a ( )0F x1xa( )0F x10xa综上所述，当时，函数的增区间是；0a( )F x(0,)当时，函数的增区间是，减区间是. 9 分0a ( )F x1(0, )a1( ,)a（）依题意，函数( )F x没有零点，即( )ln10F xxax 无解.由（）知，当0a 时，函数( )F x在区间1(0, )a上为增函数,区间1( ,)a 上为减函数，由于，只需111( )ln1ln20Faaaaa ，(1)10Fa 解得2ea.所以实数a的取值范围为21(,)e
9、. 13 分6. (石景山区 18 题)已知函数22( )2ln (0)f xxax a（）若在处取得极值，求实数的值；( )f x1x a（）求函数的单调区间； ( )f x6（）若在上没有零点，求实数的取值范围( )f x1 e，a6.解：（）的定义域为. 122( )2ln (0)f xxax a(0)，分22( )2afxxx2222xa x2()()xa xa x . 2 分Q在处取得极值，( )f x1x ，解得或（舍）. 3 分(1)0f 1a 1a 当时，；，1a 0 1x，( )0fx1x，( )0fx所以的值为 . 4 分a1（）令，解得或（舍）. 5 分( )0fxxax
10、a 当在内变化时，的变化情况如下：x(0)， ( )fxf x，x(0)a，a()a ，( )fx0( )f x极小值由上表知的单调递增区间为，单调递减区间为. 8 分( )f x()a ，(0)a，（）要使在上没有零点，只需在上或，( )f x1 e，1 e，min( )0f xmax( )0f x又，只须在区间上.(1)10f 1 e，min( )0f x（）当时，在区间上单调递减，ae( )f x1 e，22 min( )( )20f xf eea解得 与矛盾. 10 分202eaae（） 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，1ae( )f x1)a，(a e，2 min( )(
11、)(12ln )0f xf aaa解得， 0ae所以. 12 分1ae7（）当时，在区间上单调递增，满足题意.01a( )f x1 e，min( )(1)0f xf综上，的取值范围为. 13 分a0ae7. (2013 北京文 18)（本小题共 13 分）已知函数.2( )sincosf xxxxx（）若曲线在点)处与直线相切，求与的值。( )yf x( ,( )a f aybab（）若曲线与直线 有两个不同的交点，求的取值范围。( )yf xybb18解：由，得.2( )sincosf xxxxx( )(2cos )fxxx（I）因为曲线在点处与直线相切，所以( )yf x( ,( )a f ayb( )(2cos )0faaa，解得，.( )bf a0a (0)1bf（II）令，得. ( )0fx0x 与的情况如下：( )f x( )fx(,0)0(0,)( )0( )1xfxf x Z所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，是( )f x
