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1、第二讲第二讲 几何之圆与扇形几何之圆与扇形教学目标教学目标 组合图形的面积计算，除了直线型面积计算组合图形的面积计算，除了直线型面积计算“五大模型五大模型” （已在暑假班重点精讲）（已在暑假班重点精讲） ，跟，跟 圆有关的曲线型面积也是得别重要的组成部分。其中，尤以结合情境的曲线形面积计算为圆有关的曲线型面积也是得别重要的组成部分。其中，尤以结合情境的曲线形面积计算为 最常见考点。最常见考点。答案提示：地球赤道长：答案提示：地球赤道长：（千米）（千米） ，所以绳长，所以绳长 4019240192 千米；千米； 22 3.14 640040192r 一般我们会想对于一般我们会想对于 4 4 万多
2、千米来说，仅仅延长万多千米来说，仅仅延长 1 1 米，会有多大的间隔？即使有间隔，恐怕米，会有多大的间隔？即使有间隔，恐怕 也只能在显微镜下才能看见！让我们来计算一下吧！假如绳长加上也只能在显微镜下才能看见！让我们来计算一下吧！假如绳长加上 1 1 米变为米变为 4019200140192001 米，米， 则有：则有：（米）（米） ，大约为，大约为 1616 厘米，差不多有一支铅笔长。简厘米，差不多有一支铅笔长。简40192001 264000000.159 直不可思议！直不可思议！利用利用“加、减加、减”思想解答问题思想解答问题【例例 1】1】（资源杯试题资源杯试题）如图，两个正方形摆放在一
3、起，其）如图，两个正方形摆放在一起，其 中大正方形边长为中大正方形边长为 12，小正方形边长为，小正方形边长为 4，那么阴，那么阴 影部分面积是多少？（影部分面积是多少？（取取 3 3）分析：ABCDABF1361084SSS阴影面积梯形三角形圆巩固 （5 年级春季所学题目）计算下列各图阴影部分的面积。 （取 3）想想 挑挑 战战 吗吗 ？捆地球的绳子捆地球的绳子假设地球上即无山，又无海，完全像一个大圆球，现在想用一根很长很长的假设地球上即无山，又无海，完全像一个大圆球，现在想用一根很长很长的 绳子，沿着赤道用绳子捆上一圈，问绳长多少？如果绳长加上绳子，沿着赤道用绳子捆上一圈，问绳长多少？如果
4、绳长加上 1 1 米，绳子围成一米，绳子围成一 个大圆圈之后，就要离开赤道一段距离，形成围绕地球的一个等距离的圆环，问个大圆圈之后，就要离开赤道一段距离，形成围绕地球的一个等距离的圆环，问 圆环和地球之间的间隔有多大？（已知地球半径约为圆环和地球之间的间隔有多大？（已知地球半径约为 64006400 千米，千米，取取 3.143.14分析：因为是回忆之前学习过的内容，所以大部分题目教师只要帮助学生找到方法即可，过程可以课下完成！但对于（3） ，希望教师再次讲解！如果班上孩子多数没有学过，或忘记了，酌情讲解！（1）11 22阴影部分面积大圆面积小圆面积三角形面积22111424 4=10222
5、=（2）2231444 4+2416044阴影部分面积正方形个圆个圆=（+ ）（3）法 1：如右图所示，过 B 做 BD 垂直于 AC，我们就容易得到BD=AD=DC，所以 BD=3，三角形 ABC 的面积=362=9，阴影部分面积=扇形面积-三角形 ABC 的面积=4.53-9=4.5 ；法 2 ：直角三角形的三边有一个特殊的关系，那就是著名的勾股定 理：如右图所示，三角形 ABC 是直角三角形，最长边是 AC，较短 的两条边是 AB、BC，那么有.反之，222ACABBC若三角形中有，那么这个三角形就222ACABBC是直CB A 角三角形，且 AC 边为最大边，所对的角是直角.最经典的直
6、角三角形三边为：3、4、5 （）.222534在题目中，三角形 ABC 是等腰直角三角形，所以有 ，且 AB=BC，222ACABBC则，2222112 AB6AB18ABC=AB BCAB922，三角形的面积阴影部分面积=扇形面积-三角形 ABC 的面积=4.53-9=4.5 ；法 3：对称的补出另一半，很容易得到答案.（4）阴影部分面积= 一半小圆+ 一半中圆 + 三角形 一半大圆 ；因为 55=44+33 ，三角形是直角三角形，阴影面积为：342=6 .巩固 （5 年级春季所学题目） （西城区三帆中学选拔考题）如右图，两个正方形边长分别是 10 和 6，求阴影部分的面积。 （取 3）分析
7、：先通过正方形 BCDE 减去 1/4 圆得到月牙 BCD 的面积:661/43669；则阴影部分面积为三角形 ACD 的面积扣去月牙的面积，则为：1/2166939。巩固 （第三届兴趣杯）一个长方形的长为 9，宽为 6，一个半径为l 的圆在这个长方形内任意运动，在长方形内这圆无法运动到的部分，面积的和是多少？(取 3)分析：圆无法运动到的部分是右下图中角处的阴影部分面积的 4 倍，。1 1 41 11 【例例 2】2】（04 年我爱数学夏令营）已知小圆的面积均为年我爱数学夏令营）已知小圆的面积均为平方厘米，平方厘米，4则图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（则图中阴影部分的面积是多少平方厘米？
8、（取取 3.143.14）分析：由题意可得小圆的半径为分析：由题意可得小圆的半径为，正方形的边长为，正方形的边长为 2，阴影面积为：，阴影面积为：1 22242 0.434（-）=拓展 （华罗庚金杯数学邀请赛）如右图所示，用一块面积为 36 平方厘米铝板下料，可裁出七个同样大小的圆铝板。问余下的边角料的总面积是多少平方厘米？分析：由图可知大圆直径是小圆直径的 3 倍，所以每个小圆面积是大圆面积的，即 4 平1 9方厘米，所以余下的边角料的总面积是 8 平方厘米.【例例 3】3】如右图，求阴影部分的面积，其中如右图，求阴影部分的面积，其中 OABCOABC 是正方形是正方形. . （取取 3 3
9、）分析：关键在于求出正方形的面积，我们知道正方形是特殊的菱形，分析：关键在于求出正方形的面积，我们知道正方形是特殊的菱形， 菱形面积为对角线乘积的一半，所以正方形面积为菱形面积为对角线乘积的一半，所以正方形面积为 1818，阴影面积为，阴影面积为圆的面积减去正方形面积为圆的面积减去正方形面积为 9 9。也可以这样想，连接。也可以这样想，连接 OBOB，将上半部分移至下面，可形成，将上半部分移至下面，可形成1 4一个扇形减去三角形的阴影面积，这样也非常容易得到答案，其实有许多图形通过一个扇形减去三角形的阴影面积，这样也非常容易得到答案，其实有许多图形通过“割、割、 移、补移、补“简化计算，下面让
10、我们来看看吧！简化计算，下面让我们来看看吧！巩固 （5 年级春季学习的题目）右图是一个等腰直角三角形，直角边长 2 厘米图中阴影部分面积是多少平方厘米？（ 取 3）分析：如右下图添加辅助线，那么原图阴影部分可转化为下图中的阴影部分，过渡到下211=22 2=142 阴影面积一专题。拓展求右图中阴影部分的面积 （取 3）分析：法 1：我们只用将两个半径为 10 厘米的四分之一圆减去空白的、部分面积和即可，其中、面积相等易知、部分均是等腰直角三角形，但是部分的直角边 AB的长度未知单独求部分面积不易，于是我们将、部分平移至一起，如下右图所示，则、部分变为一个以 AC 为直角边的等腰直角三角形，而A
11、C 为四分之一圆的半径，所以有 AC=10两个四分之一圆的面积和为 150，而、部分的面积和为 1/21010=50，所以阴影部分的面积为 150-50=100(平方厘米)法 2：欲求图（1）中阴影部分的面积，可将左半图形绕 B 点逆时针方向旋转 180，使 A 与 C 重合，从而构成如右图（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.利用利用“割、补、移割、补、移”思想解答问题思想解答问题【例例 4】4】（小学数学奥林匹克初赛（小学数学奥林匹克初赛 B 卷）卷）如图，阴影部分的面积如图，阴影部分的面积 是多少？是多少？分析：将右边部分的空白平移，我们会发现分析
12、：将右边部分的空白平移，我们会发现两个空白部分恰好构成一两个空白部分恰好构成一 个边长为个边长为 4 的正方形，因而，阴影部分的面积为的正方形，因而，阴影部分的面积为 8 . .前铺 （5 年级春季所学题目）求右图中阴影部分的面积：分析：将右边部分的空白平移，可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为 55=25。巩固 （迎春杯竞赛试题）算图中阴影部分的面积(单位：分米)。（取 3）分析：将右边的扇形向左平移，如图所示。两个阴影部分拼成个直角梯形。(5+10)52=752=375(平方分米)拓展 （全国小学数学去奥林匹克）如右图所示，最外面是正方形为 4米，图中阴影部分的面积为 5
13、 平方厘米，那么最里面正方形的边长是多少？ 分析：将图形的阴影进行适当移动，可得右下图，我们可以得到阴影部分最顶端的小三角形为：，所以最小的正方形面积为 4，那么其边长为 2。54 441 【例例 5】5】右面图中阴影部分的面积右面图中阴影部分的面积( (单位：厘米单位：厘米) )。 （取取 3 3）分析：将图中左半叶阴影部分向右翻折，与右上部分的阴分析：将图中左半叶阴影部分向右翻折，与右上部分的阴 影合拼成斜边为影合拼成斜边为 4 4 厘米的等腰直角三角形。厘米的等腰直角三角形。 如右下图所示，即得：如右下图所示，即得：444=4(444=4(平方厘米平方厘米) )【例例 6】6】计算右图阴
14、影部分面积。计算右图阴影部分面积。 （取取 3 3）分析：法分析：法 1：扇形面积减去半个圆面积再减去三角形面积等于圆外阴：扇形面积减去半个圆面积再减去三角形面积等于圆外阴 影部分面积，半圆面积减去三角形面积等于圆内阴影部分面积，上面影部分面积，半圆面积减去三角形面积等于圆内阴影部分面积，上面 两个阴影部分面积的和既是阴影面积：（两个阴影部分面积的和既是阴影面积：（25-50-50）4=25/4。 法法 2：如右图，我们添加两条辅助线，而后发现可将圆：如右图，我们添加两条辅助线，而后发现可将圆 内弓形割补内弓形割补 到上部，那么阴影部分面积到上部，那么阴影部分面积=1/4 大圆大圆-正方形正方
15、形=1/4355-1/255=25/44355-1/255=25/4。注：正方形也是菱形，菱形面积是对角线乘积的一半。注：正方形也是菱形，菱形面积是对角线乘积的一半。巩固 （5 年级春季所学题目）计算右图阴影部分面积。 （取 3）分析：如右图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于下右图中 AB 弧所形成的弓形，其面积等于扇形 OAB 与三角形 OAB 的面积之差，即：。切割，拼移补齐是我221122142们求不规则图形面积的常用手段。【例例 7】7】如右图，有如右图，有 8 8 个半径为个半径为 1 1 厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连 成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心如果圆周率成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心如果圆周率 取取 3.14163.1416，那么花瓣图形的面积是多少平方厘米，那么花瓣图形的面积是多少平方厘米? ? （取取 3 3）分析：如右下图，添上部分辅助线，有花瓣的面积为分析：如右下图，添上部分辅助线，有花瓣的面积为 4 4 个边长为个边长为 2 2 的小正方的小正方形面积加上形面积加上 4 4 个个的面积减去
