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1、20122012 年全国中考数学试题分类解析汇编年全国中考数学试题分类解析汇编(159(159 套套 6363 专题）专题）专题专题 2323：二次函数的应用（实际问题）：二次函数的应用（实际问题）一、选择题一、选择题1. （2012 四川资阳四川资阳 3 分）分）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的2y=ax +bx+c2ax +bx+c5x515【答案答案】D。【考点考点】二次函数与不等式（组），二次函数的性质。【分析分析】利用二次函数的对称性，可得出图象与 x 轴的另一个交点坐标，结合图象可得出的2ax +bx+c 1212ss tt其实际意义是刹车后到 t2时间内的平均速到 t
2、1时间内的度小于刹车后平均速度。【考点考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质和应用，不等式的应用。【分析分析】 （1）描点作图即可。（2）首先判断函数为二次函数。用待定系数法，由所给的任意三点即可求出函数解析式。（3）将函数解析式表示成顶点式（或用公式求） ，即可求得答案。（4）求出与，用差值法比较大小。11s t22s t5. （2012 江苏常州江苏常州 7 分）分）某商场购进一批 L 型服装（数量足够多） ，进价为 40 元/件，以 60 元/件销售，每天销售 20 件。根据市场调研，若每件每降 1 元，则每天销售数量比原来多 3 件。现商场决定对
3、L 型服装开展降价促销活动，每件降价 x 元（x 为正整数） 。在促销期间，商场要想每天获得最大销售利润，每件降价多少元？每天最大销售毛利润为多少？（注：每件服装销售毛利润指每件服装的销售价与进货价的差）【答案答案】解：根据题意，商场每天的销售毛利润 Z=（6040x） （203x）=3x240x+400当时，函数 Z 取得最大值。b402x=62a33x 为正整数，且， 22766633 且且且且且且且且且为数为数为数（3）由y=10x2+700x可知抛物线开口向下，当时，利润y有最大值，700x35210 此时，销售单价为300010（x10）=2750元，答：公司应将最低销售单价调整为
4、2750 元。【考点考点】二次函数的应用。【分析分析】 （1）设件数为 x，则销售单价为 3000-10（x-10）元，根据销售单价恰好为 2600 元，列方程求解。（2）由利润y=销售单价件数，及销售单价均不低于2600元，按0x10，10x50，x50三种情况列出函数关系式。（3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确定销售单价。12. （2012 湖南岳阳湖南岳阳 10 分）分）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为 6dm，锅深 3dm，锅盖高 1dm（锅口直径与
5、锅盖直径视为相同） ，建立直接坐标系如图所示，如果把锅纵断面的抛物线的记为 C1，把锅盖纵断面的抛物线记为 C2（1）求 C1和 C2的解析式；（2）如图，过点 B 作直线 BE：y=x1 交 C1于点 E（2，） ，连接 OE、BC，在 x 轴上求一点1 35 3P，使以点 P、B、C 为顶点的PBC 与BOE 相似，求出 P 点的坐标；（3）如果（2）中的直线 BE 保持不变，抛物线 C1或 C2上是否存在一点 Q，使得EBQ 的面积最大？若存在，求出 Q 的坐标和EBQ 面积的最大值；若不存在，请说明理由【答案答案】解：（1）抛物线 C1、C2都过点 A（3，0） 、B（3，0） ，设它
6、们的解析式为：y=a（x3） （x+3） 。抛物线 C1 还经过 D（0，3） ，3=a（03） （0+3） ，解得 a=。1 3抛物线 C1：y=（x3） （x+3） ，即 y=x23（3x3） 。1 31 3抛物线 C2还经过 A（0，1） ，1=a（03） （0+3） ，a=1 9抛物线 C2：y=（x3） （x+3） ，即 y=x2+1（3x3） 。1 91 9（2）直线 BE：y=x1 必过（0，1） ，CBO=EBO（tanCBO=tanEBO=） 。1 31 3由 E 点坐标可知：tanAOE，即AOECBO，1 3它们的补角EOBCBx。若以点 P、B、C 为顶点的PBC 与B
7、OE 相似，只需考虑两种情况：CBP1=EBO，且 OB：BE=BP1：BC，由已知和勾股定理，得 OB=3，BE=，BC=。5 10 3103：=BP1：，5 10 310得：BP1=，OP1=OBBP1=。P1（，0）9 56 56 5P2BC=EBO，且 BC：BP2=OB：BE，即：BP2=3：，得：BP2=，OP2=BP2OB=。P2（，0） 105 10 350 923 923 9综上所述，符合条件的 P 点有：P1（，0） 、P2（，0） 。6 523 9（3）如图，作直线 l直线 BE，设直线 l：y=x+b。1 3当直线 l 与抛物线 C1只有一个交点时：x+b=x23，即：
8、x2x（3b+9）=0。1 31 3由=（1）24（3b+9）=0。得。37b=12此时，。135x=y=212且该交点 Q2（） 。135 212 且过点 Q2作 Q2FBE 于点 F，则由 BE：y=x1 可用相似得 Q2F 的斜率为3，1 3设 Q2F：y=3xm。将 Q2（）代入，可得。135 212 且17m=12Q2F：y=3x。17 12联立 BE 和 Q2F，解得。F（） 。125x=y=824且125 824 且Q2到直线 BE：y=x1 的距离 Q2F：。1 3221135255 10+2812248 当直线 l 与抛物线 C2只有一个交点时：x+b=x2+1，即：x2+3
9、x+9b9=0。1 31 9由=324（9b9）=0。得。3b=4此时，。该交点 Q1（） 。33x=y=24且33 24 且同上方法可得 Q1到直线 BE：y=x1 的距离：。1 327 10 40，5 1027 1025 1027 1010=0840404020 提出新问题提出新问题若矩形的面积为 1，则该矩形的周长有无最大值或最小值？若有，最大（小）值是多少？ 分析问题分析问题若设该矩形的一边长为 x，周长为 y，则 y 与 x 的函数关系式为：，问题就转化1y2(x) x0x为研究该函数的最大（小）值了.解决问题解决问题借鉴我们已有的研究函数的经验，探索函数的最大（小）值.1y2(x)
10、 x0x（1）实践操作：填写下表，并用描点法画出函数的图象：1y2(x) x0xx1 41 31 21234y（2）观察猜想：观察该函数的图象，猜想当 x= 时，函数有最 值1y2(x) x0x（填“大”或“小”） ，是 .（3）推理论证：问题背景中提到，通过配方可求二次函数的最大值，请你尝试21sxx x02 通过配方求函数的最大（小）值，以证明你的猜想. 提示：当时，1y2(x) x0xx02x( x)【答案答案】解：（1）填表如下：x1 41 31 21234y182263545263182（2）1，小，4。 （3）证明：，222 22111y2 ( x)2 ( x)22 2( x)4(
11、 x)( x)x 当时，y 的最小值是 4，即 x =1 时，y 的最小值是 4。1x0x【考点考点】二次函数的最值，配方法的应用。【分析分析】 （1）分别把表中 x 的值代入所得函数关系式求出 y 的对应值填入表中，并画出函数图象即可。（2）根据（1）中函数图象的顶点坐标直接得出结论即可。（3）利用配方法把原式化为平方的形式，再求出其最值即可。14. （2012 四川巴中四川巴中 9 分）分）某商品的进价为每件 50 元，售价为每件 60 元，每个月可卖出 200 件。如果每件商品的售价上涨 1 元，则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于 72 元） 。设每件商品的售价上涨 x 元（x为整
12、数） ，每个月的销售利润为 y 元，（1）求 y 与 x 的函数关系式，并直接写出 x 的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？【答案答案】解：（1）设每件商品的售价上涨 x 元（x 为正整数） ，则每件商品的利润为：（6050x）元，总销量为：（200-10x）件，商品利润为：y=（6050x） （20010x）=10x2100x2000。原售价为每件 60 元，每件售价不能高于 72 元，0x12。（2）y=10x2100x2000=10（x5）2+2250，当 x=5 时，最大月利润 y=2250。答：每件商品的售价定为 5 元时，每个月可
13、获得最大利润，最大月利润是 2250 元。【考点考点】二次函数的应用，二次函数的最值。【分析分析】 （1）根据题意，得出每件商品的利润以及商品总的销量，即可得出 y 与 x 的函数关系式。（2）根据题意利用配方法得出二次函数的顶点形式（或用公式法） ，从而得出当 x=5 时得出 y的最大值。15. （20122012 辽宁锦州辽宁锦州 1010 分）分）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是 20 元.调查发现：销售单价是 30 元时，月销售量是 230 件，而销售单价每上涨 1 元，月销售量就减少 10 件，但每件玩具售价不能高于 40 元. 设每件玩具的销售单价上涨了 x 元时（x
14、 为正整数） ，月销售利润为 y 元.（1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围.（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为 2520 元？（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？【答案答案】解：（1）依题意得2y(30x20)(23010x)10x130x2300 自变量 x 的取值范围是：0x10 且 x 为正整数。（2）当 y=2520 时，得，210x130x23002520解得 x1=2,x2=11（不合题意，舍去） 。当 x=2 时，30+x=32。每件玩具的售价定为 32 元时，月销售利润恰为 2520 元。（3） 2
15、2y10x130x230010(x6.5)2722.5 a=-100 当 x=6.5 时，y有最大值为 2722.5 。 0x10 且 x 为正整数，当 x=6 时，30+x=36,y=2720， 当 x=7 时，30+x=37,y=2720。每件玩具的售价定为 36 元或 37 元时，每个月可获得最大利润。最大的月利润是 2720 元。【考点考点】二次函数的应用，二次函数的最值，解一元二次方程。【分析分析】 （1）根据销售利润=销售量销售单价即可得 y 与 x 的函数关系式。因为 x 为正整数，所以x0；因为每件玩具售价不能高于 40 元，所以 x4030=10。故自变量 x 的取值范围是：0x10 且 x 为正整数。（2）求出函数值等于 2520 时自变量 x 的值即可。（3）将函数式化为顶点式即可求。16. （2012 河北省河北省 9 分）分）某
