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1、基于 MATLAB 的齿轮传动的优化设计蒋振江（重庆理工大学 汽车学院，重庆 400050）摘摘 要：要：齿轮优化设计在现代机械设计中占有非常重要的地位，本文研究了基于 MATLAB 平台建立齿轮最终传动的优化设计模型。实例证明，该方法在保证齿轮可靠度前提下可有效减小齿轮体积，并能更好适应产品要求。此方法简单、实用，易于设计人员掌握，并可应用于其它机械的优化设计。关键词：关键词：渐开线圆柱齿轮；最终传动；优化设计；MATLAB图书分类号：TH132.413 文件标识码：B0 引言最终传动是拖拉机主传动系的重要机构， 用于进一步增加传动系的传动比，起到增 扭减速的作用。履带拖拉机和某些轮式拖 拉
2、机的最终传动还可用于提高后桥的离地 间隙。最终传动一般采用外啮合圆柱齿轮 传动或行星齿轮传动。外啮合圆柱齿轮最 终传动有单级和双级传动。利用传统设计 或常规优化设计方法对拖拉机最终传动进 行设计已有不少论述，但这些设计方法将 应力和强度等视为确定性变量，并且安全 系数主要是根据设计人员的经验而定，缺 乏定量的数学基础，具有明显的不确定性， 故往往很难反映最终传动的真实工况。本 文仅就单级外啮合直齿圆柱齿轮的最终传 动进行优化设计。1 数学模型的建立1.1 目标函数和设计变量目标函数和设计变量拖拉机单级外啮合直齿圆柱齿轮最终传 动在满足设计要求和性能的条件下，从结 构紧凑、减轻重量、节省材料和降
3、低成本 考虑，应以机构的最小体积为设计目标。 在工作条件和材料选定的情况下，可用最 终传动主、从动齿轮体积之和来衡量。若 该体积最小，则整个装置的体积也最小。 由于最终传动的传动比较大（一般 i=46） ， 为使结构紧凑，通常选用齿数较少的主动 齿轮。为确保主动齿轮的强度和避免根切， 皆采用变位齿轮，常用角度变位和高度变 位。 若采用角度变位，主、从动齿轮的体积：122222 1111cos/cos*4Vr bm zb作者简介：蒋振江（作者简介：蒋振江（19851985 出生）出生） ，男，汉族，山东德州人，男，汉族，山东德州人，在读硕士生，研究方向：汽车电子在读硕士生，研究方向：汽车电子22
4、2222 2222cos/cos*4Vr bm zb式中：；啮合角20 *cosarccos()a a实际中心距： aaym标准中心距121()2am zz式中：y 为中心距变动系数；为从动齿2b轮宽，令。 为主动齿轮齿宽，考2bb1b虑到制造、装配误差和全齿宽啮合，通常取。其中，在拖拉机设计11.1bb21ziz中，最终传动比 i 预先由传动比分配确定， 因此，主、从动齿轮体积之和为：222 1x(1.1)4Vm bzi（）若齿轮副采用高度变位，即 则：20min3(2)0gzx综上所述，令设计变量：12341x , , ,TTx x x xm b z则目标函数为：22222 1234x(1
5、.1)cos 20/cos4Vix x xx（）1.2 约束条件约束条件以下公式见参考文献3 、 4 。（1）齿数条件 为满足传动比大、结构紧凑的要求，主 动齿轮的齿数通常取 。112 15z 3max(1)0gxzmin3(2)0gzx（2）模数条件 轮式拖拉机最终传动齿轮的模数，根据 统计资料取，且满足3 8mmm GB1356-78 的要求。(14)2 (5 )0sngmmdd或min1(4)0gmx（3）齿宽条件 由于最终传动齿轮受力大，且径向尺寸 受轮辋或离地间隙限制，为保证有足够的 强度，外啮合圆柱齿轮的最终传动常采用 较大的齿宽，但过宽易造成偏载，一般取 （为齿轮模数） 。b(7
6、 11)mm21(5)110xgx21(6)70xgx（4）啮合角条件 为保证齿顶不变尖，啮合角一般取 =2022。在编程中，以中心距变动 系数 y 替代，此时 y 值为 00.5。12y0.5()(cos/cos 1)zz34max(7)0.5(1)(0.93969/cos1)0gxixymin34(8)0.5(1)(0.93969/cos1)0gyxix（5）中心距限制条件 为保证轴承及最终传动装置相连接零件 有足够的安装位置，满足总体设计对地隙 的要求，齿轮中心距的上、下限应予以限 制，即。minmaxaaa120.5 ()cos20/cosam zz134max(9)0.469845(
7、1)/cos0gi x xxamin134(10) 0.469845(1)/cos0gai x xx(6）变位条件 为提高小齿轮强度、承载能力和防止根 切，使节点处于两对齿啮合区内，主动齿 轮径向变位系数应大于从动齿轮的变位1f系数，即。2f12ff总变位系数 12()2tanszzfinvinv渐开线函数tan0.0174533inv齿顶高降低系数 sfy22 11110.221(1tan)2.77tan 8.712afzzzh式中：为齿顶高系数，标准齿=1：ahah。21sfff若采用高度变位，。因此，0sf 21ff 变位条件为：1(11)20sgff（7）齿顶不变尖条件 采用较大的正变
8、位系数易引起齿顶变尖， 为避免齿顶变尖（）及齿轮厚过薄10as的现象，一般建议，10.25 0.4as。1(12)0.250ags主动齿轮齿顶厚:1 111 14tan()2aaafsdinvinvz齿顶压力角 ，基圆111arccos(/)abadd直径，齿顶圆直径11cosbdmz1112 (1)addmf（8）重叠系数条件许用值随齿轮机构的使用aa要求和制造精度而定，汽车拖拉机工业推 荐的重叠系数许用值为 1.11.2。1122(tantan)(tantan) 2aa azz，2 2 2arccos()b a ad d22cosbdmz2222 (1)addmf所以3124(13)7.2
9、25657/tan*tan(1)tan0aagxiix（9）主动齿轮的轴径条件 主动齿轮的轴径根据强度条件来确定：317.2() j sMdmm式中：为最终传动主动齿轮的计算jM扭矩，N*m ；为许用扭转应力，Mpa。 最终传动的主动齿轮结构有连轴齿轮和非连轴齿轮 2 种。若是非连轴齿轮，则值sd按标准花键外径圆整；若属连轴齿轮，则值按轴承内径系列圆整。sd（10）齿轮轮幅最小限制条件 为满足加工、热处理工艺要求和保证轮 幅有足够的强度，齿根圆和孔键槽之间的 最小距离应不小于 2.5m（模数） ，即应满足 下列条件，50nsddm为主动齿轮齿根112 (1.25)nddmx圆直径；若属连轴齿轮
10、，考虑切齿加工、 轴承装配及其它安装条件，应满足下列条 件。20nsddm所以 。(14)2 (5 )0sngmmdd或（11）强度条件 齿面接触强度条件 节点处齿面接触应力121 2()8.8sinj jjP zzbmz z式中：为计算圆周力,KN; ,jP1/jjPMr为主动齿轮节圆半径，为许用接触1rj应力，采用渗碳合金钢为材料、热处理后 齿面硬度 HRC5864, 心部硬度 HRC3548, 一般不超过 1.21.4Gpa。j22 12342(1)(15)8.81.20sinMigix x xx齿根弯曲强度条件 轮齿齿根弯曲应力：（Mpa）310j wsawPYYbm式中：Y 为齿形系
11、数，为应力校正系数，saY两系数根据齿数、变位系数从机械设计手册中查取；为许用弯曲应力，渗碳合w金钢材料，考虑到双齿啮合，取350370Mpa。w3 22 1232(16)103500saMgYYXX X2 MATLAB 优化工具箱Matlab 是美国 Mathworks 公司于 1967 年推出的用于科学计算的可视化软件包。 其方便、友好的用户环境、强大的扩展能 力便许多领域的科学计算和工程应用节省 时间、降低成本和提高效率。集数值计算、 符号运算、可视化建模、仿真和图形处理 等多种功能于一体，被广泛应用于机械设 计、自动控制和数理统计等工程领域。工 程人员通过使用 MATLAB 提供的工具
12、箱，可 以高效的求解复杂的工程问题。 MATLAB 优化工具箱提供了对各种问题 的一个完整的解决方案，广泛应用于线性 规划、二次规划、非线性优化、最小二乘 问题、非线性方程求解、多目标决策、最 小最大问题以及半无限问题。其函数表达 简洁，优化算法选择任意，参数设置自由， 相比于其它很多成熟的优化程序具有明显 的优越性。大多数机械优化设计问题属于非线性多变量约束最小化问题，约束条件 有等式和不等式约束，目标函数和约束函 数中有一个或多个为非线性函数。MATLAB 通过调用 function 函数来实现这一问题的 优化。优化问题可作下列描述：function 函数相应的调用格式为 ：x,fval,
13、exitflag,output,lambda,grad,hessian =fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,Ib,ub,myc on) 其中 x 为最优设计点，f 为目标函数在最优 点 x 的值，exitflag 是返回算法的终止标志， exitflag 0，目标函数不收敛； exitflag0，目标函数收敛。output 负责返 回优化结果信息，主要有迭代次数、最后 一次迭代计算次数、步长、算法、一阶导 数等 lambda 返回 lagrange 乘子值，grad 返 回目标函数在最优点 x 的梯度值，hessian 返回目标函数在最优点 x 的 hessian 矩阵。3
14、 MATLAB 优化程序设计(1 )建立目标函数的 m 文件，设其文件名 为 fun.m； function f=fun(x); f=(pi/4)*x(1).2*x(2)*x(3).2*(1.1+4.62*4.62)* 0.939692/(cos(x(4)*pi/180).2;(2)建立约束条件的 m 文件，设其文件名 mycon.m function c,ceq=mycon(x); i=4.62; M=900; c(1)=x(2)/x(1)-11; c(2)=7-x(2)/x(1); c(3)=0.5*(1+i)*x(3)*(cos(20*pi/180)/cos(x(4) *pi/180)-
15、1)-0.2; c(4)=0- 0.5*(1+i)*x(3)*cos(20*pi/180)/cos(x(4)*pi/1 80)-1; c(5)=0.469845*(1+i)*x(1)*x(3)/cos(x(4)*pi/1 80)-200; c(6)=195- 0.469845*(1+i)*x(1)*x(3)/cos(x(4)*pi/180); f(5)=x(3)*(1+i)/2*tan(20*pi/180)*(inv(x(4)* pi/180)-inv(20*pi/180); f(1)=sqrt(0.221*x(3)*x(3)*1+tan(x(4)*pi/180). 2+2.77*x(3)*tan(x(4)*pi/180)+8.71)-x(3)/2-1+f(5); c(7)=f(5)-2*f(1); d(1)=x(1)*x(3)*cos(20*pi/180); d(2)=x(1)*x(3)+2*x(1)*(1+f(1)-f(5); j(1)=acos(d(1)/d(2); s(1)=d(2)*(pi+4*f(1)*tan
