数列的函数理解：①数列是一种特殊的函数其特殊性主要表现在其定义域和值域上数列可以看作一个“定义域为正整数集 N*或其有限子集{1，2，3，…，n}“的函数，其中的”{1，2，3，…，n}“不能省略②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法;b图像法;c.解析法其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，a(n+1)，…简记为{an}，项数有限的数列为“有穷数列”(finite sequence)，项数无限的数列为“无穷数列”(infinite sequence)数列的各项都是正数的为正项数列;从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列;如：1，2，3，4，5，6，7;从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列;如：8，7，6，5，4，3，2，1;从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列; 各项呈周期性变化的数列叫做周期数列(如三角函数);各项相等的数列叫做常数列(如：2，2，2，2，2，2，2，2，2)。
通项公式：数列的第 N 项 an 与项的序数 n 之间的关系可以用一个公式 an=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式(注：通项公式不唯一)递推公式：如果数列{an}的第 n 项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式数列中项的总数为数列的项数特别地，数列可以看成以正整数集 N*(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数 an=f(n)如果可以用一个公式来表示，则它的通项公式是 a(n)=f(n).并非所有的数列都能写出它的通项公式例如：π 的不同近似值，根据精确的程度，可形成一个数列3，3.1，3.14，3.141，…它没有通项公式数列中的项必须是数，它可以是实数，也可以是复数用符号{an}表示数列，只不过是“借用”集合的符号，它们之间有本质上的区别：1.集合中的元素是互异的，而数列中的项可以是相同的2.集合中的元素是无序的，而数列中的项必须按一定顺序排列，也就是必须是有序的表示方法如果数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式如an=(-1)^(n+1)+1数列通项公式的特点：(1)有些数列的通项公式可以有不同形式，即不唯一。
2)有些数列没有通项公式如果数列{an}的第 n 项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式如 an=2a(n-1)+1 (n>1)数列递推公式的特点：(1)有些数列的递推公式可以有不同形式，即不唯一2)有些数列没有递推公式等差数列定义一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列(arithmetic sequence)，这个常数叫做等差数列的公差(common difference)，公差通常用字母 d 表示，前 N 项和用Sn 表示缩写等差数列可以缩写为 A.P.(Arithmetic Progression)等差中项由三个数 a，A，b 组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列这时，A 叫做 a 与 b 的等差中项(arithmetic mean)有关系：A=(a+b)/2通项公式an=a1+(n-1)da1=S1(n=1)时an=Sn-S(n-1) (n≥2)时an=kn+b(k,b 为常数)前 n 项和倒序相加法推导前 n 项和公式：Sn=a1+a2+a3······+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d] ①Sn=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d] ②由①+②得 2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)(n 个)=n(a1+an)固 Sn=n(a1+an)/2等差数列的前 n 项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：Sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2Sn=(d/2)*n^2+(a1-d/2)n性质且任意两项 am，an 的关系为：an=am+(n-m)d它可以看作等差数列广义的通项公式。
从等差数列的定义、通项公式，前 n 项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…，n}若 m，n，p，q∈N*，且 m+n=p+q，则有am+an=ap+aqS2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)(an+1)Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…成等差数列，等等前 n 项和=(首项+末项)×项数÷2项数=(末项-首项)÷公差+1首项=2×前 n 和÷项数-末项末项=2×前 n 和÷项数-首项设 a1,a2,a3 为等差数列则 a2 为等差中项，则 2 倍的 a2 等于 a1+a3，即 2a2=a1+a3应用日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级若为等差数列，且有 an=m,am=n.则 a(m+n)=0其于数学的中的应用，可举例：快速算出从 23 到 132 之间 6 的整倍数有多少个算法不止一种，这里介绍用数列算令等差数列首项 a1=24(24 为 6 的 4 倍)，等差 d=6,;于是令 an = 24+(n-1)*60 时，则可把 an 看作自变量 n 的函数，点(n,an)是曲线 y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。
2)求和公式：Sn=nA1(q=1)Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=(a1-a1q^n)/(1-q)=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即 A-Aq^n)(前提：q 不等于 1)任意两项 am，an 的关系为 an=am·q^(n-m)(3)从等比数列的定义、通项公式、前 n 项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…，n}(4)等比中项：aq·ap=ar^2，ar 则为 ap，aq 等比中项记 πn=a1·a2…an，则有 π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底对数后构成一个等差数列;反之，以任一个正数 C 为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂 Can，则是等比数列在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的等和数列定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和对一个数列，如果其任意的连续 k(k≥2)项的和都相等，我们就把此数列叫做等和数列性质必定是循环数列证明：对任意正整数 n，有 an + an+1 + … + an+k-1 = an+1 + an+2 + … + an+k， 所以对任意正整数 n，an = an+k，如果这个数列有 n+k 项的话。
练习1、下面一列整数中(每个字母或括号都代表一个整数)，任意相临的 3 个整数的和都是 20，则 x+y+z=? x，2，()，()，()，4，()，y，()，()，z2.(2004 年湖南省理科实验班联合招生考试数学卷第 2 试第三题) 圆周上放着 120 个正数(不一定是整数)，今知其中任何相连的 35 个数的和都是 200.证明：这些数中的每一个数都不超过 30.(旁注：题目中“相连”即“相临”之意) 答案： 第 1 题 ： x=14,y=2,z=2 ， 故： x+y+z=18 ; 第 2 题 ： (120,35)=5 ，使 5 个数为一组，每 7 组的和是 200，那么每组有 200/7<30 所以每一个数都不超过 30列的通项求法一般有an=Sn-Sn-1 (n≥2)累和法(an-an-1=... an-1 - an-2=... a2-a1=...将以上各项相加可得 an )累乘法逐商全乘法(对于后一项与前一项商中含有未知数的数列)化归法(将数列变形，使原数列的倒数或与某同一常数的和成等差或等比数列)特殊数列的通项的写法1,2,3,4,5,6,7,8....... ---------an=n1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8......-------an=1/n2，4，6，8，10，12，14.......-------an=2n1,3,5,7,9,11,13,15.....-------an=2n-1-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)^n1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)^(n+1)1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1....------an=[(-1)^(n+1)+1]/21,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0......-------an=cos(n-1)π/2=sinnπ/2 9,99,999,9999,99999,......... ------an=(10^n)-11,11,111,1111,11111.......--------an=[(10^n)-1]/9衍生 n,nn,nnn,nnnn,nnnnn......---------an=[(10^n)-1]*n/9,n 为 1-9 的整数1，4，9，16，25，36，49，.......------an=n^21,2,4,8,16,32......--------an=2^(n-1)前 N 项和公式的求法(一)1.等差数列：通项公式 an=a1+(n-1)d 首项 a1，公差 d, an 第 n 项数ak=ak+(n-k)d ak 为第 k 项数若 a,A,b 构成等差数列 则 A=(a+b)/22.等差数列前 n 项和:设等差数列的前 n 项和为 Sn即 Sn=a1+a2+...+an;那么 Sn=na1+n(n-1)d/2=dn^2(即 n 的 2 次方) /2+(a1-d/2)n还有以下的求和方法： 1,不完全归纳法 2 累加法 3 倒序相加法(二)1.等比数列:通项公式 an=a1*q^(n-1)(即 q 的 n-1 次方) a1 为首项，an 为第 n 项an=a1*q^(n-1),am=a1*q^(m-1)则 an/am=q^(n-m)(1)an=am*q^(n-m)(2)a,G,b 若构成等比中项，则 G^2=ab (a,b,G 不等于 0)(3)若 m+n=p+q 则 am×an=ap×aq2.等比数列前 n 项和设 a1,a2,a3...an 构成等比数列前 n 项和 Sn=a1+a2+a3...anSn=a1+a1*q+a1*q^2+....a1*q^(n-2)+a1*q^(n-1)(这个公式虽然是最基本公式，但一部分题目中求前 n 项和是很难用下面那个公式推导的,这时可能要直接从基本公式推导过去，所以希望这个公式也要理解) Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q);注： q 不等于 1;Sn=na1 注:q=1求和一般有以下 5 个方法： 1,完全归纳法(即数学归纳法) 2 累乘法 3 错位相减法 4 倒序求和法 5 裂项相消法。