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1、1 23 届一 1. 线剪断前，整个系统处于平衡状态. 此时弹簧 S1的弹力F1=(mA+mB+mC)g (1)弹簧 S2的弹力 F2=mCg (2) 在线刚被剪断的时刻，各球尚未发生位移，弹簧的长度尚无变化，故F1、F2的大小尚未变化，但线的拉力消失. 设此时球 A、B、C的加速度的大小分别为aA、aB、aC，则有F1-mAg=mAaA(3)F2+mBg=mBaB(4) F2-mCg=mCaC(5) 解以上有关各式得，方向竖直向上(6) ，方向竖直向下(7) aC=0(8) 2. 开始时，磁铁静止不动，表明每一条磁铁受到另一条磁铁的磁力与它受到板的静摩擦力平衡. (i)从板突然竖直向下平移到
2、停下，板和磁铁的运动经历了两个阶段. 起初，板向下加速移动，板与磁铁有脱离接触的趋势，磁铁对板的正压力减小，并跟随板一起作加速度方向向下、速度向下的运动. 在这过程中，由于磁铁对板的正压力减小，最大静摩擦力亦减小. 向下的加速度愈大，磁铁的正压力愈小，最大静摩擦力也愈小 . 当板的加速度大到某一数值时，最大静摩擦力减小到小于磁力，于是磁铁沿着平板相向运动并吸在一起 . 接着，磁铁和板一起作加速度方向向上、速度向下的运动，直到停在A B 处 . 在这过程中，磁铁对板的正压力增大，最大静摩擦力亦增大，因两磁铁已碰在一起，磁力、接触处出现的弹力和可能存在的静摩擦力总是平衡的，两条磁铁吸在一起的状态不
3、再改变. (ii)从板突然竖直向上平移到停下，板和磁铁的运动也经历两个阶. 起初，板和磁铁一起作加速度方向向上、速度向上的运动，在这过程中，正压力增大，最大静摩擦力亦增大，作用于每个磁铁的磁力与静摩擦力始终保持平衡， 磁铁在水平方向不发生运动. 接着，磁铁和板一起作加速度力减小，向下的加速度愈大，磁铁的正压力愈小，最大静摩擦力也愈小. 当板的加速度大到某一数值时，最大静摩擦力减小到小于磁力，于是磁铁沿着平板相向运动并吸在一起. 二、1.2 (iii)2.f1，f4. 三、1.(i)通过对点电荷场强方向的分析，场强为零的P点只可能位于两点电荷之间. 设 P点的坐标为x0，则有(1) 已知 q2=
4、2q1(2) 由(1) 、(2) 两式解得(3) (ii)先考察点电荷q0被限制在沿 x 轴运动的情况 .q1、q2两点电荷在P点处产生的场强的大小分别为方向沿 x 轴正方向方向沿 x 轴负方向由于处合场强的方向沿x 轴的正方向，即指向P点. 由以上的讨论可知，在 x 轴上，在 P 点的两侧， 点电荷 q1和 q2产生的电场的合场强的方向都指向P点，带正电的点电荷在P点附近受到的电场力都指向P 点，所以当 q00 时，P点是 q0的稳定平衡位置 . 带负电的点电荷在P 点附近受到的电场力都背离P点，所以当q00 时， P点是 q0的不稳定平衡位置. 再考虑 q0被限制在沿垂直于x 轴的方向运动
5、的情况. 沿垂直于 x 轴的方向，在P点两侧附近，点电荷q1和 q2产生的电场的合场强沿垂直x 轴分量的方向都背离P点，因而带正电的点电荷在P点附近受到沿垂3 直 x 轴的分量的电场力都背离P 点. 所以，当 q00 时， P点是 q0的不稳定平衡位置. 带负电的点电荷在P点附近受到的电场力都指向P点，所以当q00 时， P点是 q0的稳定平衡位置 . 2.(ii)当 q0被限制在沿x 轴方向运动时，正确论证q00，P点是 q0的稳定平衡位置，占3 分；正确论证q00，P 点是 q0的不稳定平衡位置，占3 分.( 未列公式，定性分析正确的同样给分) 当 q0被限制在垂直于x 轴的方向运动时，正
6、确论证q00，P点是 q0的不稳定平衡位置，占2 分；正确论证 q00，P点是 q0的稳定平衡位置，占2 分. 2.8 分. 纵坐标标的数值或图线有错的都给0 分. 纵坐标的数值 .图线与参考解答不同， 正确的同样给分 . 四、开始时竖直细管内空气柱长度为L，压强为 H(以 cmHg为单位 ) ，注入少量水银后，气柱将因水银柱压力而缩短. 当管中水银柱长度为x 时，管内空气压强p=(H+x) ，根据玻意耳定律，此时空气柱长度(1) 空气柱上表面与管口的距离(2) 开始时 x 很小，由于 LH ，故即水银柱上表面低于管口，可继续注入水银，直至d=x( 即水银柱上表面与管口相平) 时为止 . 何时
7、水银柱表面与管口相平，可分下面两种情况讨论. 1. 水银柱表面与管口相平时，水银柱未进入水平管此时水银柱的长度xl ，由玻意耳定律有(H+x)(L-x)=HL (3) 由(3) 式可得 x=L-H (4) 4 由此可知，当l L -H 时，注入的水银柱的长度x 的最大值 xmax=L-H (5) 2. 水银柱表面与管口相平时，一部分水银进入水平管此时注入水银柱的长度xl ，由玻意耳定律有(H+l)(L-x)=HL (6) (7) (8) 由(8) 式得 l L-H，或 LH+l (9) (10) 即当 l L-H 时，注入水银柱的最大长度xxmax.由上讨论表明，当l L -H 时，可注入的水
8、银量为最大，这时水银柱的长度为xmax，即 (5) 式. 评分标准： ( 本题 20 分) 正确论证 l L -H 时，可注入的水银量最大，占13 分. 求出最大水银量占7 分. 若论证的方法与参考解答不同，只要正确，同样给分. 五、正、负电子绕它们连线的中点作半径为的圆周运动，电子的电荷量为e，正、负电子间的库仑力是电子作圆周运动所需的向心力，即(1) 正电子、负电子的动能分别为Ek+和 Ek-，有(2) 正、负电子间相互作用的势能(3) 电子偶素的总能量E=Ek+Ek-+Ep(4) 由(1) 、(2) 、(3) 、(4) 各式得(5) 根据量子化条件，n=1，2，3，(6) 5 (6) 式
9、表明， r 与量子数 n 有关 . 由(1) 和(6) 式得与量子数n 对应的定态r 为n=1，2，3，(7) 代入(5) 式得与量子数n 对应的定态的E值为n=1，2，3， (8) n=1 时，电子偶素的能量最小，对应于基态. 基态的能量为(9) n=2是第一激发态，与基态的能量差(10) 六、P被释放后，细绳的张力对D产生机械力矩，带动D和 A1作逆时针的加速转动. 通过两个轮子之间无相对运动的接触，A1带动 A2作顺时针的加速转动. 由于两个轮子的辐条切割磁场线，所以在 A1产生由周边沿辐条指向轴的电动势，在A2产生由轴沿辐条指向周边的电动势，经电阻R 构成闭合电路 .A1、A2中各辐条
10、上流有沿电动势方向的电流，在磁场中辐条受到安培力. 不难看出，安培力产生的电磁力矩是阻力矩，使A1、A2加速转动的势头减缓.A1、A2从起始的静止状态逐渐加速转动，电流随之逐渐增大，电磁阻力矩亦逐渐增大， 直至电磁阻力矩与机械力矩相等，D 、A1和 A2停止作加速转动， 均作匀角速转动， 此时 P匀速下落，设其速度为v，则 A1的角速度(1) A1带动 A2转动， A2的角速度 2与 A1的角速度 1之间的关系为1a1=2a2(2) A1中每根辐条产生的感应电动势均为(3) 轴与轮边之间的电动势就是A1中四条辐条电动势的并联，其数值见(3) 式. 同理， A2中，轴与轮边之间的电动势就是A2中
11、四条辐条电动势的并联，其数值为(4) A1中， 每根辐条的电阻为R1， 轴与轮功之间电阻是A1中四条辐条电阻的并联， 其数值为(5) A2中， 每根辐条的电阻为R2， 轴与轮功之间的电阻是A2中四条辐条电阻的并联， 其数值为(6) A1轮、 A2轮和电阻 R 构成串联回路，其中的电流为6 (7) 以(1) 至(6) 式代入 (7) 式，得(8) 当 P 匀速下降时，对整个系统来说，重力的功率等于所有电阻的焦耳热功率之和，即(9) 以(8) 式代入 (9) 式得(10) 七、1. 如图 1 所示，设筒内磁场的方向垂直纸面指向纸外，带电粒子 P 带正电，其速率为v.P 从小孔射入圆筒中因受到磁场的
12、作用力而偏离入射方向， 若与筒壁只发生一次碰撞，是不可能从小孔射出圆筒的. 但与筒壁碰撞两次，它就有可能从小孔射出. 在此情形中， P 在筒内的路径由三段等长、等半径的圆弧HM 、MN和 NH组成. 现考察其中一段圆弧MN ，如图 2 所示 . 由于P 沿筒的半径方向入射，OM 和 ON均与轨道相切，两者的夹角(1) 设圆弧的圆半径为r ，则有(2) 圆弧对轨道圆心O 所张的圆心角(3) 由几何关系得(4) 7 解(2) 、(3) 、(4) 式得(5) 2.P 由小孔射入到第一次与筒壁碰撞所通过的路径为s=r (6) 经历时间为(7) P 从射入小孔到射出小孔经历的时间为t=3t1(8) 由以
13、上有关各式得(9) 八、小球获得沿竖直向下的初速度v0后，由于细绳处于松弛状态，故从C点开始，小球沿竖直方向作初速度为v0、加速度为 g 的匀加速直线运动. 当小球运动到图1 中的 M点时，绳刚被拉直，匀加速直线运动终止， 此时绳与竖直方向的夹角为=30.在这过程中， 小球下落的距离(1) 细绳刚拉直时小球的速度v1满足下式：(2) 在细绳拉紧的瞬间，由于绳的伸长量可不计而且绳是非弹性的，故小球沿细绳方向的分速度v1cos 变为零，而与绳垂直的分速度保持不变，以后小球将从M点开始以初速度(3) 在竖直平面内作圆周运动，圆周的半径为2l ，圆心位于 A 点，如图 1 所示 . 由(1) 、(2)
14、 、(3) 式得(4) 当小球沿圆周运动到图中的N点时，其速度为v，细绳与水平方向的夹角为，由能量关系有(5) 用 FT表示绳对小球的拉力，有(6) 8 1.设在 =1时( 见图 2) ，绳开始松弛， FT=0，小球的速度v=u1. 以此代入 (5) 、(6) 两式得(7) (8) 由(4) 、(7) 、(8) 式和题设 v0的数值可求得1=45(9) (10) 即在 1=45时，绳开始松弛. 以 N1表示此时小球在圆周上的位置，此后，小球将脱离圆轨道从N1处以大小为 u1，方向与水平方向成45角的初速度作斜抛运动以 N1点为坐标原点，建立直角坐标系N1xy，x 轴水平向右， y 轴竖直向上
15、. 若以小球从 N1处抛出的时刻作为计时起点，小球在时刻t 的坐标分别为(11) (12) 由(11) 、(12) 式，注意到 (10) 式，可得小球的轨道方程：(13) AD面的横坐标为(14) 由(13) 、(14) 式可得小球通过AD所在竖直平面的纵坐标y=0 (15) 由此可见小球将在D点上方越过，然后打到DC边上， DC边的纵坐标为(16) 9 把(16) 式代入 (13) 式，解得小球与DC边撞击点的横坐标x=1.75l (17) 撞击点与 D点的距离为 l=x - 2lcos45 =0.35l(18) 2.设在 =2时，绳松弛， FT=0，小球的速度v=u2，以此代替 (5) 、
16、(6) 式中的 1、u1，得(19) (20) 以代入 (4) 式，与 (19) 、(20) 式联立，可解得2=90(21) (22) (22) 式表示小球到达圆周的最高点处时，绳中张力为0，随后绳子被拉紧，球速增大，绳中的拉力不断增加，拉力和重力沿绳子的分力之和等于小球沿圆周运动所需的向心力，小球将绕以D点为圆心， l 为半径的圆周打到梁上的C点. 注：(3) 式 2 分， (5) 、(6) 式各 1 分，(9) 、(10) 式各 3 分，得出小球不可能打在AD边上，给 3 分.得出小球能打在DC边上，给 2 分，正确求出小球打在DC边上的位置给2 分，求出 (21) 、(22) 式各占 3 分，得出小球能打在C 点，再给 2 分. 如果学生直接从抛物线方程和y=-(2 lsin45 -l)=-(-1)l求出 x=1.75l ，同样给分 . 不必证明不能撞击在 AD边上 . 九、1. 这是一个大尺度运
