中学代数研究【0772】

《中学代数研究【0772】》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中学代数研究【0772】（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、- 1 - 西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷类别： 网教专业：数学与应用数学 ( 数学教育 ) 2016年 12 月课程名称【编号】：中学代数研究【 0772 】 A卷大作业满分：100 分1. 请给出自然数（皮亚诺）公理。 （15分）解：皮亚诺公理，也称皮亚诺公式，是数学家皮亚诺（皮阿罗）提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下： 0 是自然数； 每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a ，a 也是自然数 （数 a 的后继数a 就是紧接在这个数后面的整数（a+1） 。例如，1=2 ，2=3

2、 等等。 ）可是仅有这两个公理还不够完整地描述自然数， 因为满足这两条的有可能不是自然数系统。比如考虑由 0, 1 构成的数字系统，其中1 的后继为 0。这不符合我们对于自然数系统的期望，因为它只包含有限个数。因此，我们要对自然数结构再做一下限制： 0 不是任何自然数的后继数；但这里面的漏洞防不胜防，此时仍不能排除如下的反例：数字系统 0, 1, 2, 3，其中 3 的后继是 3。看来，我们设置的公理还不够严密。我们还得再加一条。如果 b、c 的后继数都是自然数a，那么 b = c ；最后，为了排除一些自然数中不应存在的数（如 0.3 ） ，同时也为了满足一会儿制定运算规则的需要，我们加上最后

3、一条公理。 设 S? N，且满足 2 个条件（ i ）0S； （ii ）如果 nS，那么 n S。则 S是全体自然数的集合，即S=N 。(这条公理也叫归纳公理，保证了数学归纳法的正确性) 注：归纳公理可以用来证明0 是唯一不是后继数的自然数，因为令命题为“n=0 或 n 为其它数的后继数”，那么满足归纳公设的条件。若将只考虑正整数，则公理中的0 要换成 1，自然数要换成正整数。2. 请给出实数的三种不同定义。 （15 分）解：3. 试证不是一个有理数（ 15 分）- 2 - 4. 试画出以下不等式链的几何解释。 （15 分）)0,0(2211222 bababaabba中学代数研究13“调和平

4、均数” “几何平均数” “算术平均数” “均方根数 ”oab2baab2211222babaabbaA BEF二维均值不等式的几何解释5. 已知一数列的三项分别是321,aaa，试给出该数列的通项表达式。 （15 分）解：由拉格朗日插值公式得， )23)(13()2)(1()32)(12()3)(1()31)(21 ()3)(2()(321nnannannanf，即2)2)(1(1)2)(1(2)3)(2()(321nnannannanf6. 请给出数系（自然数、有理数、实数、复数）的教学建议。（25分）解：中学数系的扩充主要有三次： 自然数有理数实数复数，数系发展的动因很复杂， 有的可能来自

5、于数学内部，有的可能来自于数学外部。在数学中，对于数系扩充要按如下 规则进行：在新的数集中，原有的主要运算律仍成立，同时在新的数集中使得原来某种不 可能问题变得可解。 一、教学建议 教学方法：教法主要采用问题驱动教学法。 设置问题串的目的：通过设置问题串，让学生形成认知冲突；通过设置问题串，引领 学生追溯历史，提炼数系扩充的原则；通过设置问题串，帮助学生合乎情理的建立新的认 知结构，让数学理论自然诞生在学生的思想中，教师仅起到“助产士”的作用。 教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。数学教学应根据具体的教学 内容，注意使学生在获得间接经验的同时也能够有机会获得直接经验，即从学生实际

6、出发， 创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流等，获得数 学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，促使学生主动地、富有个性地学习, 不断提高发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力。 在数学教学活动中，教师要把基本理念转化为自己的教学行为, 处理好教师讲授与学生 自主学习的关系，注重启发学生积极思考；发扬教学民主，当好学生数学活动的组织者、 引导者、合作者；激发学生的学习潜能，鼓励学生大胆创新与实践；创造性地使用教材， 积极开发、利用各种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习素材；关注学生的个体差异， 有效地实施有差异的教学，使每个学生都得到充分的发

7、展；合理地运用现代信息技术，有 条件的地区，要尽可能合理、有效地使用计算机和有关软件，提高教学效益。1. 数学教学活动要注重课程目标的整体实现，为使每个学生都受到良好的数学教育， 数学教学不仅要使学生获得数学的知识技能，而且要把知识技能、数学思考、问题解决、 情感态度四个方面目标有机结合， 整体实现课程目标。 课程目标的整体实现需要日积月累。 在日常的教学活动中，教师应努力挖掘教学内容中可能蕴涵的、与上述四个方面目标有关 的教育价值，通过长期的教学过程，逐渐实现课程的整体目标。因此，无论是设计、实施 课堂教学方案，还是组织各类教学活动，不仅要重视学生获得知识技能，而且要激发学生 的学习兴趣，通

8、过独立思考或者合作交流感悟数学的基本思想，引导学生在参与数 学活动的过程中积累基本经验，帮助学生形成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑 等良好的学习习惯。 2. 重视学生在学习活动中的主体地位 有效的数学教学活动是教师教与学生学的统一，应体现“以人为本”的理念，促进学生 的全面发展。 （1）学生是数学学习的主体，在积极参与学习活动的过程中不断得到发展。学生获得 知识，必须建立在自己思考的基础上，可以通过接受学习的方式，也可以通过自主探索等 方式；学生应用知识并逐步形成技能，离不开自己的实践； 学生在获得知识技能的过程中， 只有亲身参与教师精心设计的教学活动， 才能在数学思考、问题解决和情感

9、态度方面得到发展。 （2）教师应成为学生学习活动的组织者、引导者、合作者，为学生的发展提供良好的环 境和条件。教师的“组织”作用主要体现在两个方面：第一，教师应当准确把握教学内容 的数学实质和学生的实际情况，确定合理的教学目标，设计一个好的教学方案；第二，在 教学活动中，教师要选择适当的教学方式，因势利导、适时调控、努力营造师生互动、生- 3 - 生互动、生动活泼的课堂氛围，形成有效的学习活动。 教师的“引导”作用主要体现在：通过恰当的问题，或者准确、清晰、富有启发性 的讲授，引导学生积极思考、求知求真，激发学生的好奇心；通过恰当的归纳和示范，使 学生理解知识、掌握技能、积累经验、感悟思想；能

10、关注学生的差异，用不同层次的问题 或教学手段，引导每一个学生都能积极参与学习活动，提高教学活动的针对性和有效性。 教师与学生的“合作”主要体现在：教师以平等、尊重的态度鼓励学生积极参与教 学活动，启发学生共同探索，与学生一起感受成功和挫折、分享发现和成果。 （3）处理好学生主体地位和教师主导作用的关系。 好的教学活动，应是学生主体地位和教师主导作用的和谐统一。一方面，学生主体 地位的真正落实，依赖于教师主导作用的有效发挥；另一方面，有效发挥教师主导作用的 标志，是学生能够真正成为学习的主体，得到全面的发展。 实行启发式教学有助于落实学生的主体地位和发挥教师的主导作用。教师富有启发性 的讲授；创

11、设情境、设计问题，引导学生自主探索、合作交流；组织学生操作实验、观察 现象、提出猜想、推理论证等，都能有效地启发学生的思考，使学生成为学习的主体，逐 步学会学习。 3. 注重学生对基础知识、基本技能的理解和掌握 “知识技能”既是学生发展的基础性目标，又是落实“数学思考”“问题解决”“情感态度” 目标的载体。 （1）数学知识的教学，应注重学生对所学知识的理解，体会数学知识之间的关联。 学生掌握数学知识，不能依赖死记硬背，而应以理解为基础，并在知识的应用中不断巩固 和深化。为了帮助学生真正理解数学知识，教师应注重数学知识与学生生活经验的联系、 与学生学科知识的联系，组织学生开展实验、操作、尝试等活

12、动，引导学生进行观察、分 析，抽象概括，运用知识进行判断。教师还应揭示知识的数学实质及其体现的数学思想， 帮助学生理清相关知识之间的区别和联系等。 数学知识的教学，要注重知识的“生长点”与“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体 知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感 受数学的整体性，体会对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行 理解。 （2）在基本技能的教学中，不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤，还要使学生理解 程序和步骤的道理。例如，对于整数乘法计算，学生不仅要掌握如何进行计算，而且要知 道相应的算理；对于尺规作图，学生不仅要知道作

13、图的步骤，而且要能知道实施这些步骤 的理由。 基本技能的形成，需要一定量的训练，但要适度，不能依赖机械的重复操作，要注重训练 的实效性。教师应把握技能形成的阶段性，根据内容的要求和学生的实际，分层次地落实。 4. 感悟数学思想，积累数学活动经验 数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的 抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。学生在积极参与教学活动的过程中， 通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。 例如，分类是一种重要的数学思想。 学习数学的过程中经常会遇到分类问题，如数的分类， 图形的分类，代数式的分类，函数的分类等。在研究数学问题中，常常需要

14、通过分类讨论 解决问题，分类的过程就是对事物共性的抽象过程。教学活动中，要使学生逐步体会为什么要分类，如何分类，如何确定分类的标准，在分类的过程中如何认识对象的性质，如何 区别不同对象的不同性质。通过多次反复的思考和长时间的积累，使学生逐步感悟分类是 一种重要的思想。学会分类，可以有助于学习新的数学知识，有助于分析和解决新的数学 问题。 数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志。帮助学生积累数学活动经验是数学 教学的重要目标，是学生不断经历、体验各种数学活动过程的 结果。数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，是在数学学习活动过 程中逐步积累的。 教学中注重结合具体的学习内

15、容，设计有效的数学探究活动，使学生经历数学的发生发展 过程，是学生积累数学活动经验的重要途径。例如，在统计教学中， 设计有效的统计活动， 使学生经历完整的统计过程，包括收集数据、整理数据、展示数据、从数据中提取信息， 并利用这些信息说明问题。学生在这样的过程中，不断积累统计活动经验，加深理解统计 思想与方法。 “综合与实践”是积累数学活动经验的重要载体。在经历具体的“综合与实践”问题的过 程中，引导学生体验如何发现问题，如何选择适合自己完成的问题，如何把实际问题变成 数学问题，如何设计解决问题的方案， 如何选择合作的伙伴， 如何有效地呈现实践的成果， 让别人体会自己成果的价值。通过这样的教学活

16、动，学生会逐步积累运用数学解决问题的 经验。 5. 关注学生情感态度的发展 根据课程目标，广大教师要把落实情感态度的目标作为己任，努力把情感态度目标有机地 融合在数学教学过程之中。 设计教学方案、 进行课堂教学活动时， 应当经常考虑如下问题： 如何引导学生积极参与教学过程？如何组织学生探索，鼓励学生创新？如何引导学生感 受数学的价值？ 如何使他们愿意学，喜欢学，对数学感兴趣？如何让学生体验成功的喜悦，从而增强自 信心？ 如何引导学生善于与同伴合作交流，既能理解、尊重他人的意见，又能独立思考、大胆质 疑？ 如何让学生做自己能做的事，并对自己做的事情负责？如何帮助学生锻炼克服困难的意 志？ 如何培养学生良好的学习习惯？ 在教育教学活动中，教师要尊重学生，以强烈的责任心，严谨的治学态度，健全的人格感 染和影响学生；要不断提高自身的数学素养，善于挖掘教学内容的教育价值；要在教学实 践中善于用本标准的理念分析各种现象，恰当地进行养成教育。 6. 合理把握“综合与实践”的实施 “综合与实践”的实施是以问题为载体、以学生