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1、实验五实验五 连续系统分析连续系统分析 一、实验目的一、实验目的 深刻理解连续时间系统的系统函数在分析连续系统的时域特性、 频域特性及稳定性中的重要作用及意义，掌握根据系统函数的零极点设计简单的滤波器的方法。掌握利用 MATLAB分析连续系统的时域响应、频响特性和零极点的基本方法。 二、二、 实验原理实验原理 MATLAB 提供了许多可用于分析线性时不变连续系统的函数，主要包含有系统函数、系统时域响应、系统频域响应等分析函数。 1. 1. 连续系统的时域响应连续系统的时域响应 连续时间 LTI 系统可用如下的线性常系数微分方程来描述： 。 已知输入信号x(t)以及系统初始状态，就可以求出系统的
2、响应。MATLAB 提供了微分方程的数值计算的函数，可以计算上述n阶微分方程描述的连续系统的响应，包括系统的单位冲激响应、单位阶跃响应、零输入响应、零状态响应和完全响应。 在调用 MATLAB 函数时，需要利用连续系统对应的系数函数。对微分方程进行 Laplace变换即可得系统函数： 在 MATLAB 中可使用向量和向量分别保存分母多项式和分子多项式的系数： 这些系数均按s的降幂直至s0 排列。 (1) 连续系统的单位冲激响应h(t)的计算 impulse(sys)计算并画出系统的冲激响应。参数：sys 可由函数 tf(b,a)获得。其中：)()( )()(01)1( 1)(tyatyatya
3、tyan nn n )()( )()(01)1( 1)(txbtxbtxbtxbm mm m )0(,),0( ),0()1(nyyy011 1011 1 )()()(asasasabsbsbsb sXsYsHn nn nm mm m ,011aaaaann,011bbbbbmmh=impulse(sys, t): 计算并画出系统在向量 t 定义的区间上的冲激响应，向量 h h 保存对应区间的系统冲激响应的输出值。 (2) 连续系统的单位阶跃响应g(t)的计算 step(sys): 计算并画出系统的阶跃响应。参数：sys 可由函数 tf(b,a)获得。其中： g=step(sys, t): 计
4、算并画出系统在向量 t 定义的区间上的阶跃响应， 向量 g 保存对应区间的系统阶跃响应的输出值。 (3) 连续系统的零状态响应y(t)的计算 lsim(sys, x, t) 计算并画出系统的零状态响应。参数: sys 可由函数 tf(b,a)获得, x 为输入信号， t 为定义的时间向量。 2 2连续系统的系统函数零极点分析连续系统的系统函数零极点分析 连续 LTI 系统的系统函数H(s)可以表示为部分分式形式： 设，且H(s)的极点pi全部为单极点，则： 系统函数H(s)的极点pi决定了冲激响应h(t)的基本形式， 而零点和极点共同确定了冲激响应h(t)的幅值。 MATLAB 中提供了 ro
5、ots 函数计算系统的零极点，提供了 pzmap 函数绘制连续系统的零极点分布图。 ,011aaaaann,011bbbbbmm,011aaaaann,011bbbbbmm).()().()( )()()(2121nm pspspszszszsksDsNsHnm niii psksH1)()()(1tuekthtpniii ik3 3连续系统的频率响应连续系统的频率响应 若连续因果 LTI 连续系统的系统函数H(s)的极点全部位于S左半平面，则系统的频率响应可由H(s)求出，即 MATLAB 中 freqs 函数可以分析连续系统的频响，格式如下： H=freqs(b,a,w): 计算系统在指定
6、频率点向量 w 上的频响 H；w 为频率点向量。 H,w=freqs(b,a) : 自动选取 200 个频率点计算频率响应。 三、实验内容三、实验内容 1. 已知描述连续系统的微分方程为，输入，初始状态，计算该系统的响应，并与理论结果比较，列出系统响应分析的步骤。 源代码 a=1 10; b=2; A B C D=tf2ss(b,a); sys=ss(A,B,C,D); t=0:0.001:5; xt=t0; sta=1; y=lsim(sys,xt,t,sta); subplot(3,1,1); plot(t,y); xlabel(t); title(系统完全响应 y(t); subplot
7、(3,1,2); plot(t,y,-b); )(j je)j ()()j ( HsHHs)(2)(10d)(dtxtytty)()(tutx1)0(yhold on yt=4/5*exp(-10*t)+1/5; plot(t,yt,:r); legend(数值计算,理论计算); hold off xlabel(t); subplot(3,1,3); k=y-yt; plot(t,k); k(1) title(误差); 运行结果 结果分析 理论值 y(t)=0.8*exp(-10t)*u(t)+0.2 程序运行出的结果与理论预期结果相差较大误差随时间增大而变小，初始值相差最大，终值基本相同。
8、2. 已知连续时间系统的系统函数为，求输入分别为，时，系统地输出，并与理论结果比较。 源代码 a=1,3,2,0; b=4,1; sys=tf(b,a); t=0:0.001:5; x1=t0; x2=(sin(t).*(t0); x3=(exp(-t).*(t0); y1=lsim(sys,x1,t); y2=lsim(sys,x2,t); y3=lsim(sys,x3,t); subplot(3,1,1); plot(t,y1); xlabel(t); title(X(t)=u(t); subplot(3,1,2); plot(t,y2); xlabel(t); title(X(t)=si
9、nt*u(t); subplot(3,1,3); plot(t,y3); xlabel(t); title(X(t)=exp(-t)u(t); sssssH2314)(23)(tx)(tu)(sinttu)(tuet)(ty运行结果 结果分析 理论值 1（t）=5/4+0.5*t*u(t)+7/4*exp(-2*t) *u(t)-3*exp(-t) *u(t); 2（t）=0.5+1.5*exp(-t) *u(t)-0.7*exp(-2*t) *u(t)-1.3*cos(t) *u(t)+0.1*sin(t) *u(t) 3（t）=0.5-4*exp(-t) *u(t)+7/2*exp(-2*
10、t) *u(t)+3*t.*exp(-t) *u(t); 误差值分析： 可见误差小于103，计算值与理论值几乎重合。 3. 研究具有以下零极点的连续系统： (a) 1 个极点 s=0.1，增益 k=1。 (b) 1 个极点 s=0，增益 k=1。 (c) 2 个共轭极点，增益 k=1。 (d) 2 个共轭极点，增益 k=1。 (e) 零点在，极点在，增益 k=1。 (e) 零点在，极点在，增益 k=1。 完成下列任务： （1）利用 zpk 和 tf 命令建立系统的系统函数，画出系统的零极点图。 （2）分析系统是否稳定。若稳定，画出系统的幅频特性曲线。 （3）画出系统的冲激响应波形。 （4）详细
11、列出根据零极点分析系统特性的过程。 5js55 . 0js5 . 0s51 . 0js5 . 0s51 . 0js源代码 （以（e）为例） (零极点图) b=1,-0.5;a=conv(1,-0.1+5j,1,-0.1-5j); z=roots(b); p=roots(a); sys=tf(b,a); pzmap(sys) （幅频响应） b=1,-0.5;a=conv(1,-0.1+5j,1,-0.1-5j); H,w=freqs(b,a); plot(w,abs(H); xlabel(Frequency(rad/s); ylabel(Amplitude); title(Magnitude r
12、esponse); （冲击响应） b=1,-0.5;a=conv(1,-0.1+5j,1,-0.1-5j); sys=tf(b,a); t=0:0.1:10; h=impulse(sys,t); plot(h); xlabel(t); title(h(t) 运行结果 (a) (b) 零 极 点 图幅 频 特 性冲 激 响 应因果稳定系统 因果稳定系统 (c) (d) 零 极 点 图幅 频 特 性冲 激 响 应因果稳定系统 因果稳定系统 (e) (e) 零 极 点 图幅 频 特 性冲 激 响 应因果稳定系统 因果非稳定 结果分析 (a)(e)均为因果稳定系统，他们的极点都在 jw轴左侧。当且仅当
13、 H（s）的全部极点都位于 s 平面的左半平面时，一个具有有理系统函数 H（s）的因果系统才是稳定的。 4. 根据连续系统零极点对系统幅频特性的影响设计下面系统。 在 S 平面上配置零极点，并使用 freqs 命令绘出相应的幅频特性曲线，重复该过程直至找到满足下面指标的零极点。 (1) 设计一个具有 2 个零点，2 个极点，实系数的高通滤波器，满足 (2) 设计一个具有实系数的低通滤波器，满足 （1）设计步骤 mmsHmsHnbmanmnmjssHmnjmppspsssH65.152, 2 . 1)(0872.188, 8 . 0)(100, 1,)()()(100)()0(,)()(2222
14、22, 1 212314,153188nm取 m=-170,n=314 根据计算结果，可以得到 127496340)(22ssssH源代码 。；100,2 . 1)(8 . 00)0(jHjH。；10, 1 . 0)(,2 . 1)(8 . 0jHjHb=1 0 0; a=1 340 127496; H,w=freqs(b,a); plot(w,abs(H); xlabel(Frequency(rad/s); ylabel(Amplitude); title(Magnitude response); 运行结果 （2）设计步骤 csHsHcb cbckjssHckjnmppspsk cbssks
15、H 222222222, 1 212, 2 . 1)(, 8 . 0)()()1 (1)()(,)()(根据计算结果，可以得到 10310)(2sssH源代码 b=10; a=1 3 10; H,w=freqs(b,a); plot(w,abs(H); xlabel(Frequency(rad/s); ylabel(Amplitude); title(Magnitude response); 运行结果 结果分析： 设计的滤波器特性满足要求 四四、思考题、思考题 1、系统函数的零极点对系统频率特性有何影响？ 解： （1） 极 点 主 要 影 响 系 统 频 率 特 性 的 峰 值 ， 如 果 极 点 越 靠 近 单 位 圆 或 jw 轴 ， 那 么 其 峰 值就越尖锐。 （2） 零点主要影响系统频
