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1、- 1 -排序不等式探究：设，自点沿边依次取个点，沿边也依次取AOBOOAn12,nA AALOB个点选取某个点与某个点连结，得到n12,nB BBL(1,2, )iA inL(1,2, )iB inL这样一一搭配，一共可以得到个三角形问：边上的点与边上的点如何ijAOBVnOAOB一一搭配，才能使得到的个三角形面积之和最大？如何一一搭配，才能使得到的个三角nn形的面积之和最小？排序不等式(sequence inequality)，又称排序原理设有两个有序数组及，是的任一naaaL2112nbbbL12,nc ccL12,nb bbL排列，则12111 1221 122nnnnnnnaba b
2、a ba ca ca caba ba bLLL即 反序和乱序和顺序和当且仅当或时反序和等于顺序和naaaL21nbbbL21证明：证明：不妨设在乱序和中时（若，则考虑） ，且在和 S 中含有项Sninnin1ni，()kna b kn则： nknnjnjnnna ba ba ba b事实上，左右=()()0 nnkniaabb由此可知，当时，调换（）中与位置nin 11knikin iSaba ba bLLninnbni（其余不动） ，所得新和调整好及后，接着再仿上调整与，又得1SSnanb1na1nb如此至多经次调整得顺序和21SS1nnnbababaL22111212niin iaba b
3、a bL这就证得“顺序和不小于乱序和” 显然，当或时naaaL21nbbbL21中等号成立反之，若它们不全相等，则必存在及 k，使这时中不等ni, nnjnkbbaa- 2 -号成立因而对这个排列中不等号成立类似地可证“乱序和不小于反序和” 说明：说明：排序不等式又称排序原理，是一个很强的不等式，许多重要不等式可以借助排序不等式得到证明其关键是找出两组有序数组利用排序不等式可以证明平均不等式，还可证明下述重要不等式：切比雪夫不等式：切比雪夫不等式：若， ，则naaaL21nbbbL211 1221212nnnnaba ba baaabbb nnnLLL例题讲解例题讲解例例 1 1：有 10 人
4、各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第个人的水桶需要分，(1,2,10)i i Lit假定这些各不相同问只有一个水龙头时，应如何安排 10 人大顺序，使他们等候的总时间it最少？这个最少的总时间等于多少？例例 2 2：对，比较的大小Rcba,accbbacba222333与例例 3 3：，求证：Rcba,222222222222abbccaabcabccabbccaab例例 4：在中，试证：ABC32aAbBcC abc- 3 -例例 5 5：设是互不相同的自然数，试证naaa,21L2 12211122naaannLL课后练习课后练习1设、，求证：abcR23bac acb cba2设、为正数，
5、求证： （1997 年xyz222222 0zxxyyz xyyzzx江苏冬令营）3设、为正数，求证： （1963 年波兰abc333abcabcbcacab数学奥林匹克）4已知为正数，用排序不等式证明：, ,a b c3332222()()()()abca bcb accab5设为正数，求证：123,a a a233112 123 312a aa aa aaaaaaa6设都是正数，求证： 12,nx xxL2222 112 12 231nn n nxxxxxxxxxxxLL7已知为任何两两互异的正整数，证明对任意正整数，均有：12,na aaLn2 111nn kiia kk（第 20 届 IMO 试题）8设是正数的一个排列，求证nbbb,21Lnaaa,21L1212nnaaanbbbL- 4 -（1935 年匈牙利数学奥林匹克）9设正数、的乘积，证明abc1abc 3331113 ()()()2abcbcacab（第 36 届 IMO 试题）点评：此题除使用排序不等式证明外，还可以使用柯西不等式或平均不等式证明10设、是实数（） 且，ixiy1,2,inL12nxxxL12nyyyL是的任一排列，证明：12,nz zzLnyyy,21L2211()()nniiii iixyxz（第 17 届 IMO 试题）
