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1、1解答题专项训练四解答题专项训练四1.2017南京检测如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,E,F分别为BB1,AC的中点(1)求证:BF平面A1EC;(2)求证:平面A1EC平面ACC1A1.证明 (1)连接AC1交A1C于点O,连接OE,OF,在正三棱柱ABCA1B1C1中,四边形ACC1A1为平行四边形,所以OAOC1.又因为F为AC中点,所以OFCC1且OFCC1.1 2因为E为BB1中点,所以BECC1且BECC1.1 2所以BEOF且BEOF,所以四边形BEOF是平行四边形,所以BFOE.又BF平面A1EC,OE平面A1EC,所以BF平面A1EC.(2)由(1)知BFOE,因为AB
2、CB,F为AC中点,所以BFAC,所以OEAC.又因为AA1底面ABC,而BF底面ABC,2所以AA1BF.由BFOE,得OEAA1,而AA1,AC平面ACC1A1,且AA1ACA,所以OE平面ACC1A1.因为OE平面A1EC,所以平面A1EC平面ACC1A1.22017株洲市模拟如图,四棱锥PABCD的底面ABCD 是平行四边形,PA底面ABCD,PCD90,PAABAC2.(1)求证:ACCD;(2)点E是棱PC的中点,求点B到平面EAD的距离解 (1)证明:因为PA底面ABCD,所以PACD,因为PCD90,所以PCCD,所以CD平面PAC,所以CDAC.(2)因为PAABAC2,E为
3、PC的中点,所以AEPC,AE.2由(1)知AECD,所以AE平面PCD.作CFDE,交DE于点F,则CFAE,CF平面EAD.因为BCAD,所以点B与点C到平面EAD的距离相等,CF即为点C到平面EAD的距离在 RtECD中,CF.CECD DE2 262 33所以,点B到平面EAD的距离为.2 33332016浙江高考如图,在三棱台ABCDEF中,平面BCFE平面ABC,ACB90,BEEFFC1,BC2,AC3.(1)求证:BF平面ACFD;(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值解 (1)证明:延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示因为平面BCFE平面ABC,且ACBC,所以A
4、C平面BCK,因此BFAC.又因为EFBC,BEEFFC1,BC2,所以BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BFCK.所以BF平面ACFD.(2)因为BF平面ACK,所以BDF是直线BD与平面ACFD所成的角在 RtBFD中,BF,DF ,得 cosBDF,所以直线BD与平面ACFD所成角33 2217的余弦值为.217442017抚州市模拟如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,DAB30,PD平面ABCD,AD2,点E为AB上一点,且m,点F为PD的中点AE AB(1)若m ,证明:直线AF平面PEC;1 2(2)是否存在一个常数m,使得平面PED平面PAB?若存在,求出m的值
5、;若不存在,请说明理由解 (1)证明:作FMCD交PC于点M,连接ME.点F为PD的中点,FMCD.1 2m ,1 2AEABFM,1 2又FMCDAE,四边形AEMF为平行四边形,5AFEM.AF平面PEC,EM平面PEC,直线AF平面PEC.(2)存在常数m,使得平面PED平面PAB.32要使平面PED平面PAB,只需ABDE.此时ABAD2,DAB30,AEADcos30.3又PD平面ABCD,PDAB.PDDED,AB平面PDE.AB平面PAB,平面PDE平面PAB,因此m.AE AB3252015陕西高考如图 1,在直角梯形ABCD中,ADBC,BAD,ABBCADa,E是AD的中点
6、,O是AC与BE的交点将ABE沿 21 2BE折起到图 2 中A1BE的位置,得到四棱锥A1BCDE.(1)证明:CD平面A1OC;(2)当平面A1BE平面BCDE时,四棱锥A1BCDE的体积为 36,求a的值2解 (1)证明:在图 1 中,因为ABBCADa,E是AD的中点,BAD,所以1 2 2BEAC,即在图 2 中,BEA1O,BEOC,从而BE平面A1OC,又CDBE,所以CD平面A1OC.(2)由已知,平面A1BE平面BCDE,且平面A1BE平面BCDEBE,又由(1),A1OBE,所以A1O平面BCDE,即A1O是四棱锥A1BCDE的高6由图 1 知,A1OABa,2222平行四
7、边形BCDE的面积SBCABa2.从而四棱锥A1BCDE的体积为VSA1O a2aa3,由a336,得1 31 32226262a6.6如图,三棱柱ABCA1B1C1中,平面AA1B1B平面ABC,D是AC的中点(1)求证:B1C平面A1BD;(2)若A1ABACB60,ABBB1,AC2,BC1,求三棱锥A1ABD的体积解 (1)证明:连接AB1交A1B于点O,则O为AB1的中点,连接DO.D是AC的中点,DO为ACB1的中位线,ODB1C.又OD平面A1BD,B1C平面A1BD,B1C平面A1BD.(2)AC2,BC1,ACB60,AB2AC2BC22ACBCcosACB3,AB,且ABC
8、为直角三角形3取AB的中点M,连接A1M,7ABBB1AA1,A1AB60,ABA1为等边三角形,A1MAB,且A1M .3 2又平面AA1B1B平面ABC,平面AA1B1B平面ABCAB,A1M平面AA1B1B,A1M平面ABC.SABDSABC,1 234V三棱锥A 1ABDSABDA1M.1 3387如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面是正三角形,点D是A1B1的中点,AC2,CC1.2(1)求三棱锥CBDC1的体积;(2)证明:A1CBC1.解 (1)由几何体可知VCBDC 1VDBCC1,过点D作DHC1B1于点H,8C1C平面A1B1C1,C1CDH,DH平面BCC1,DH是
9、三棱锥DBCC1的高,DH,32SBCC 1 2,1 222VCBDC 1VDBCC1 .1 332266(2)证明:取C1B1的中点E,连接A1E,CE,交BC1于点F,底面是正三角形,A1EB1C1,A1E平面C1B1BC,A1EBC1,在矩形C1B1BC和 RtC1CE中,C1C,C1E1,2在 RtBCC1中,BC2,CC1,2C1C BCC1E CC1C1CECBC1,C1BCECC1,又C1BCBC1C90,ECC1BC1C90,CFC190,CEBC1,又CEA1EE,BC1平面A1CE,A1CBC1.82017唐山模拟如图,四边形ABCD中,ABAD,ADBC,AD6,BC2A
10、B4,E,F分别在BC,AD上,EFAB.现将四边形ABCD沿EF折起,使平面ABEF平面EFDC.9(1)若BE1,是否在折叠后的线段AD上存在一点P,且,使得CP平面APPDABEF?若存在,求出的值;若不存在,说明理由;(2)求三棱锥ACDF的体积的最大值,并求此时点F到平面ACD的距离解 (1)AD上存在一点P,使得CP平面ABEF,此时 .3 2理由如下:当 时,可知 ,过点P作MPFD交AF于点M,连接EM,则有3 2AP3 2PDAP AD3 5MP FD ,AP AD3 5 又BE1,可得FD5,故MP3,又EC3,MPFDEC,故MP綊EC,故四边形MPCE为平行四边形,所以
11、CPME.又CP平面ABEF,ME平面ABEF,故CP平面ABEF.(2)设BEx,所以AFx(0x4),FD6x,故V三棱锥ACDF 2(6x)x (x26x),当x3 时,V三棱锥ACDF有最大值,1 31 21 3且最大值为 3,此时,EC1,AF3,FD3,DC2.2在 RtEFC中,FC,在 RtAFD中,AD3,52在 RtAFC中,AC.14在ACD中,cosADC ,故 sinADC AD2DC2AC2 2ADDC188142 3 2 2 21 2,1(12)23210SADCDADCsinADC 323.1 21 222323设点F到平面ACD的距离为h,由V三棱锥ACDFV三棱锥FADC,即 3 hS1 3ADC h3,1 33得h,故此时点F到平面ACD的距离为.33