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1、1解答题专项训练四解答题专项训练四1.2017南京检测如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别为BB1，AC的中点(1)求证：BF平面A1EC；(2)求证：平面A1EC平面ACC1A1.证明 (1)连接AC1交A1C于点O，连接OE，OF，在正三棱柱ABCA1B1C1中，四边形ACC1A1为平行四边形，所以OAOC1.又因为F为AC中点，所以OFCC1且OFCC1.1 2因为E为BB1中点，所以BECC1且BECC1.1 2所以BEOF且BEOF，所以四边形BEOF是平行四边形，所以BFOE.又BF平面A1EC，OE平面A1EC，所以BF平面A1EC.(2)由(1)知BFOE，因为AB
2、CB，F为AC中点，所以BFAC，所以OEAC.又因为AA1底面ABC，而BF底面ABC，2所以AA1BF.由BFOE，得OEAA1，而AA1，AC平面ACC1A1，且AA1ACA，所以OE平面ACC1A1.因为OE平面A1EC，所以平面A1EC平面ACC1A1.22017株洲市模拟如图，四棱锥PABCD的底面ABCD 是平行四边形，PA底面ABCD，PCD90，PAABAC2.(1)求证：ACCD；(2)点E是棱PC的中点，求点B到平面EAD的距离解 (1)证明：因为PA底面ABCD，所以PACD，因为PCD90，所以PCCD，所以CD平面PAC，所以CDAC.(2)因为PAABAC2，E为
3、PC的中点，所以AEPC，AE.2由(1)知AECD，所以AE平面PCD.作CFDE，交DE于点F，则CFAE，CF平面EAD.因为BCAD，所以点B与点C到平面EAD的距离相等，CF即为点C到平面EAD的距离在 RtECD中，CF.CECD DE2 262 33所以，点B到平面EAD的距离为.2 33332016浙江高考如图，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE平面ABC，ACB90，BEEFFC1，BC2，AC3.(1)求证：BF平面ACFD；(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值解 (1)证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示因为平面BCFE平面ABC，且ACBC，所以A
4、C平面BCK，因此BFAC.又因为EFBC，BEEFFC1，BC2，所以BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BFCK.所以BF平面ACFD.(2)因为BF平面ACK，所以BDF是直线BD与平面ACFD所成的角在 RtBFD中，BF，DF ，得 cosBDF，所以直线BD与平面ACFD所成角33 2217的余弦值为.217442017抚州市模拟如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，DAB30，PD平面ABCD，AD2，点E为AB上一点，且m，点F为PD的中点AE AB(1)若m ，证明：直线AF平面PEC；1 2(2)是否存在一个常数m，使得平面PED平面PAB？若存在，求出m的值
5、；若不存在，请说明理由解 (1)证明：作FMCD交PC于点M，连接ME.点F为PD的中点，FMCD.1 2m ，1 2AEABFM，1 2又FMCDAE，四边形AEMF为平行四边形，5AFEM.AF平面PEC，EM平面PEC，直线AF平面PEC.(2)存在常数m，使得平面PED平面PAB.32要使平面PED平面PAB，只需ABDE.此时ABAD2，DAB30，AEADcos30.3又PD平面ABCD，PDAB.PDDED，AB平面PDE.AB平面PAB，平面PDE平面PAB，因此m.AE AB3252015陕西高考如图 1，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBCADa，E是AD的中点
6、，O是AC与BE的交点将ABE沿 21 2BE折起到图 2 中A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE.(1)证明：CD平面A1OC；(2)当平面A1BE平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为 36，求a的值2解 (1)证明：在图 1 中，因为ABBCADa，E是AD的中点，BAD，所以1 2 2BEAC，即在图 2 中，BEA1O，BEOC，从而BE平面A1OC，又CDBE，所以CD平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE平面BCDE，且平面A1BE平面BCDEBE，又由(1)，A1OBE，所以A1O平面BCDE，即A1O是四棱锥A1BCDE的高6由图 1 知，A1OABa，2222平行四
7、边形BCDE的面积SBCABa2.从而四棱锥A1BCDE的体积为VSA1O a2aa3，由a336，得1 31 32226262a6.6如图，三棱柱ABCA1B1C1中，平面AA1B1B平面ABC，D是AC的中点(1)求证：B1C平面A1BD；(2)若A1ABACB60，ABBB1，AC2，BC1，求三棱锥A1ABD的体积解 (1)证明：连接AB1交A1B于点O，则O为AB1的中点，连接DO.D是AC的中点，DO为ACB1的中位线，ODB1C.又OD平面A1BD，B1C平面A1BD，B1C平面A1BD.(2)AC2，BC1，ACB60，AB2AC2BC22ACBCcosACB3，AB，且ABC
8、为直角三角形3取AB的中点M，连接A1M，7ABBB1AA1，A1AB60，ABA1为等边三角形，A1MAB，且A1M .3 2又平面AA1B1B平面ABC，平面AA1B1B平面ABCAB，A1M平面AA1B1B，A1M平面ABC.SABDSABC，1 234V三棱锥A 1ABDSABDA1M.1 3387如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是正三角形，点D是A1B1的中点，AC2，CC1.2(1)求三棱锥CBDC1的体积；(2)证明：A1CBC1.解 (1)由几何体可知VCBDC 1VDBCC1，过点D作DHC1B1于点H，8C1C平面A1B1C1，C1CDH，DH平面BCC1，DH是
9、三棱锥DBCC1的高，DH，32SBCC 1 2，1 222VCBDC 1VDBCC1 .1 332266(2)证明：取C1B1的中点E，连接A1E，CE，交BC1于点F，底面是正三角形，A1EB1C1，A1E平面C1B1BC，A1EBC1，在矩形C1B1BC和 RtC1CE中，C1C，C1E1，2在 RtBCC1中，BC2，CC1，2C1C BCC1E CC1C1CECBC1，C1BCECC1，又C1BCBC1C90，ECC1BC1C90，CFC190，CEBC1，又CEA1EE，BC1平面A1CE，A1CBC1.82017唐山模拟如图，四边形ABCD中，ABAD，ADBC，AD6，BC2A
10、B4，E，F分别在BC，AD上，EFAB.现将四边形ABCD沿EF折起，使平面ABEF平面EFDC.9(1)若BE1，是否在折叠后的线段AD上存在一点P，且，使得CP平面APPDABEF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；(2)求三棱锥ACDF的体积的最大值，并求此时点F到平面ACD的距离解 (1)AD上存在一点P，使得CP平面ABEF，此时 .3 2理由如下：当 时，可知 ，过点P作MPFD交AF于点M，连接EM，则有3 2AP3 2PDAP AD3 5MP FD ，AP AD3 5 又BE1，可得FD5，故MP3，又EC3，MPFDEC，故MP綊EC，故四边形MPCE为平行四边形，所以
11、CPME.又CP平面ABEF，ME平面ABEF，故CP平面ABEF.(2)设BEx，所以AFx(0x4)，FD6x，故V三棱锥ACDF 2(6x)x (x26x)，当x3 时，V三棱锥ACDF有最大值，1 31 21 3且最大值为 3，此时，EC1，AF3，FD3，DC2.2在 RtEFC中，FC，在 RtAFD中，AD3，52在 RtAFC中，AC.14在ACD中，cosADC ，故 sinADC AD2DC2AC2 2ADDC188142 3 2 2 21 2，1(12)23210SADCDADCsinADC 323.1 21 222323设点F到平面ACD的距离为h，由V三棱锥ACDFV三棱锥FADC，即 3 hS1 3ADC h3，1 33得h，故此时点F到平面ACD的距离为.33
