《高等数学版课后答案习题全(陈策提供)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学版课后答案习题全(陈策提供)（113页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1习题一习题一1. 下列函数是否相等,为什么?2222(1) ( ), ( );(2)sin (31),sin (31);1(3) ( ), ( )1.1f xxg xyxutx xf xg xxx解: (1)相等.因为两函数的定义域相同,都是实数集 R;由知两函数的对应法则也相同;所以2xx两函数相等. (2)相等. 因为两函数的定义域相同,都是实数集 R,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则 也相同,所以两函数相等. (3)不相等.因为函数的定义域是,而函数的定义域是实数集 R,两函数( )f x,1xxxR( )g x的定义域不同,所以两函数不相等. 2. 求下列函数的定义域211(
2、1)4arctan;(2)3;lg(1)(3); (4)arccos(2sin ).1yxyxxx xyyxx解: (1)要使函数有意义,必须即 400xx 4 0x x 所以函数的定义域是.(,0)(0,4U(2)要使函数有意义,必须即 30 lg(1)0 10x x x 3 0 1x x x 所以函数的定义域是-3,0)(0,1). (3)要使函数有意义,必须即 210x 1x 所以函数的定义域是.(, 1)( 1,1)(1,) UU(4)要使函数有意义,必须2即 12sin1x 11sin22x即或,(k 为整数).2 2 66kxk572 2 66kxk也即 (k 为整数).66kxk
3、所以函数的定义域是, k 为整数.,66kk3. 求函数的定义域与值域.1sin,00,0xyx x 解: 由已知显然有函数的定义域为(-,+),又当时,可以是不为零的任意实数,此时,0x 1 x可以取遍-1,1上所有的值,所以函数的值域为-1,1.1sinx4. 没,求1( )1xf xx1(0),(),( ).ffxfx解: ,1 0(0)11 0f1 ()1(),1 ()1xxfxxx 1111( ).111xxfxx x5.设,求.1,10( )1,02xf xxx (1)f x解: 1,1101,01(1).(1) 1,012,13xxf xxxxx 6. 设,求和.( )2 , (
4、 )lnxf xg xxx( ( ), ( ( ),( ( )f g xg f xf f x( ( )g g x解: ( )ln( ( )22,g xxxf g x( ( )( )ln( )2ln2( ln2) 2 ,xxxg f xf xf xx( )2( ( )22 , ( ( )( )ln ( )ln ln( ln ).xf xf f x g g xg xg xxxxx 7. 证明:和互为反函数.3( )21f xx31( )2xg x证:由解得,321yx31 2yx3故函数的反函数是,这与是同一个函3( )21f xx31()2xyxR31( )2xg x数,所以和互为反函数.3(
5、)21f xx31( )2xg x8. 求下列函数的反函数及其定义域:2531(1); (2)ln(2) 1;1 (3)3; (4)1 cos,0,.xxyyxx yyx x 解: (1)由解得,1 1xyx1 1yxy所以函数的反函数为.1 1xyx1(1)1xyxx (2)由得,ln(2) 1yx1e2yx所以,函数的反函数为.ln(2) 1yx1e2()xyx R(3)由解得253xy31(log5)2xy所以,函数的反函数为.253xy31(log5)(0)2yxx (4)由得,又,故.31 cosyx 3cos1xy0,x3arccos1xy又由得,1cos1x 301 cos2x
6、即,故可得反函数的定义域为0,2,所以,函数的反函02y31 cos,0,yx x 数为.3arccos1(02)yxx 9. 判断下列函数在定义域内的有界性及单调性:2(1); (2)ln1xyyxxx解: (1)函数的定义域为(-,+), 当时,有,当时,有,0x 201x x0x 21 122xx xx故有.即函数有上界.(,),x 1 2y 21xyx又因为函数为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函21xyx数必有下界,因而函数有界.21xyx4又由知,当且时,而121212 122222 1212()(1) 11(1)(1)xxxxx xyyxxxx12xx
7、121x x 12yy当且时,.12xx121x x 12yy故函数在定义域内不单调.21xyx (2)函数的定义域为(0,+),且,使.10,0MxQ12;e0MxMx2ln xM取,则有,012max ,xx x0012lnln2xxxxMM所以函数在定义域内是无界的.lnyxx又当时,有120xx12120,lnln0xxxx故.1211221212(ln)(ln)()(lnln)0yyxxxxxxxx即当时,恒有,所以函数在内单调递增.120xx12yylnyxx(0,)10. 判断下列函数的奇偶性:22(1) ( )11;(2)eesin .xxf xxxyx 解: (1)()1 (
8、)1 ()11( )fxxxxxf x Q是偶函数.( )11f xxx(2)222222()eesin()eesin(eesin )( )xxxxxxfxxxxf x Q函数是奇函数.22eesinxxyx11. 设定义在(-,+)上,证明:( )f x(1) 为偶函数; (2)为奇函数.( )()f xfx( )()f xfx证: (1)设,则,( )( )()F xf xfx(,)x 有()()( )( )Fxfxf xF x故为偶函数.( )()f xfx(2)设则,( )( )(),G xf xfx(,)x 有()()() ( )()( )Gxfxfxf xfxG x 5故为奇函数.
9、( )()f xfx12. 某厂生产某种产品,年销售量为 106件,每批生产需要准备费 103元,而每件的年库存费为 0.05 元,如果销售是均匀的,求准备费与库存费之和的总费用与年销售批数之间的函数(销售 均匀是指商品库存数为批量的一半). 解: 设年销售批数为 x, 则准备费为 103x;又每批有产品件,库存数为件,库存费为元.610 x610 2x6100.052x设总费用为,则.6 3100.05102yxx13. 邮局规定国内的平信,每 20g 付邮资 0.80 元,不足 20 g 按 20 g 计算,信件重量不得超过 2kg,试确定邮资 y 与重量 x 的关系.解: 当 x 能被
10、20 整除,即时,邮资;2020xx0.802025xxy 当 x 不能被 20 整除时,即时,由题意知邮资.2020xx0.80120xy综上所述有,02000;2520200.80,02000.1202020xxxx yxxxx 且且其中,分别表示不超过,的最大整数.20x 120x20x120x14. 已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角=40,如图所示.当过水断面 ABCD 的面积为定 值 S0时,求湿周 L(L=AB+BC+CD)与水深 h 之间的函数关系式,并指明其定义域.图 1-1 解: 011()(2 cot)(cot)22Sh ADBChhBCBCh BCh从而 .0cotSBC
11、hh000()22cotsinsin2cos2cos40 sinsin40LABBCCDABCD ShhBChhSShhhh oo6由得定义域为.00,cot0ShBChh0(0,tan40 )So15. 下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的?51 2241 2(1)(1) ;(2)sin (12 );1(3)(1 10) ;(4).1 arcsin2xyxyxyyx解: (1)是由复合而成.1 24(1)yx1 24,1yuux (2)是由复合而成.2sin (12 )yx2,sin ,12yu uv vx (3)是由复合而成.51 2(1 10)xy1 52,1,10 ,wyuuv vw
12、x (4)是由复合而成.1 1 arcsin2yx1,1,arcsin,2yuuv vw wx 16. 证明:211(1)arcsinhln(1); (2)arctanhln, 1121xxxxxxx 证: (1)由得eesinh2xx yx2e2 e10xxy 解方程得,2e2 e10xxy 2e1xyy因为,所以,e0x2e1xyy2ln(1)xyy所以的反函数是sinhyx2arcsinhln(1)().yxxxx (2)由得,得;eetanheexxxxyx21e1xy y1112ln,ln121yyxxyy又由得,101y y11y 所以函数的反函数为tanhyx11arctanhl
13、n ( 11).21xyxxx 17. 写出下列数列的通项公式,并观察其变化趋势: 1 2 3 457 9(1) 0,; (2) 1,0, 3,0,5,0, 7,0,; (3)3,.3 4 5 635 7 LLL解: 当时,.1(1),1nnxnn 1nx ,1(2)cos2nnxn7当 n 无限增大时,有三种变化趋势:趋向于,趋向于 0,趋向于.,当 n 无限增大时,变化趁势有两种,分别趋于 1,-1.21(3)( 1)21n nnxn 18. 对下列数列求,并对给定的确定正整数,使对所有,有limnnax ( )N( )nN:nxa1(1)sin,0.001; (2)2,0.0001.2nnnxxnnn解: ,要使,只须.取,则(1)lim0nnax 0 110sin2nnxnn1n1N 当时,必有.nN0nx当时,或大于 1000 的整数.0.001110000.001N,要使(2)lim0nnax 0 221022
