《2018版高考数学一轮复习第九章解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第2课时范围最值问题理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高考数学一轮复习第九章解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第2课时范围最值问题理（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第第 2 2 课时课时 范围、最值问题范围、最值问题题型一 范围问题例 1 (2015天津)已知椭圆1(ab0)的左焦点为F(c,0)，离心率为，点x2 a2y2 b233M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2y2截得的线段的长为c，|FM|.b2 44 33(1)求直线FM的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范2围解 (1)由已知，有 ，c2 a21 3又由a2b2c2，可得a23c2，b22c2.设直线FM的斜率为k(k0)，F(c,0)，则直线FM的方程为yk(xc)由已知，有222，(kck21)(c 2)(
2、b 2)解得k.33(2)由(1)得椭圆方程为1，直线FM的方程为y(xc)，两个方程联立，消去x2 3c2y2 2c233y，整理得 3x22cx5c20，解得xc或xc.5 3因为点M在第一象限，可得M的坐标为.(c，2 33c)由|FM| .cc2(2 33c0)24 33解得c1，所以椭圆的方程为1.x2 3y2 2(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，得t，即直线FP的方程为yt(x1)(x1)，与椭圆方程联立，y x1Error!消去y，整理得 2x23t2(x1)26，又由已知，得t ，62x2 3x122解得 x1 或1x0.3 22设直线OP的斜率为m，得m ，
3、即ymx(x0)，与椭圆方程联立，整理得m2 .y x2 x22 3当x时，有yt(x1)0，(3 2，1)因此m0，于是m ，得m.2 x22 3(23，2 33)当x(1,0)时，有yt(x1)0.因此m0，于是m ，2 x22 3得m.(，2 33)综上，直线OP的斜率的取值范围是.(，2 33) (23，2 33)思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
4、(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围(2016黄冈模拟)已知椭圆C：1(ab0)与双曲线y21 的离心x2 a2y2 b2x2 3率互为倒数，且直线xy20 经过椭圆的右顶点(1)求椭圆C的标准方程；(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，求OMN面积的取值范围解 (1)双曲线的离心率为，2 33椭圆的离心率e .c a32又直线xy20 经过椭圆的右顶点，右顶点为(2,0)，即a2，c，b1，3椭圆方程为y21.x2 4(2)由
5、题意可设直线的方程为ykxm(k0，m0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)3联立Error!消去y，并整理得(14k2)x28kmx4(m21)0，则x1x2，x1x2，8km 14k24m21 14k2于是y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2.又直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，故y1 x1y2 x2k2x1x2kmx1x2m2 x1x2k2m20.8k2m2 14k2由m0 得k2 ，解得k .1 41 2又由64k2m216(14k2)(m21)16(4k2m21)0，得 00)过点F(0,1)，圆心M的轨迹为C.6(1)求轨迹C的方程；(2)设P
6、为直线l：xy20 上的点，过点P作曲线C的两条切线PA，PB，当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|BF|的最小值解 (1)依题意，由圆过定点F可知轨迹C的方程为x24y.(2)抛物线C的方程为x24y，即yx2，求导得yx.1 41 2设A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中y1，y2)，x2 1 4x2 2 4则切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，1 21 2所以切线PA的方程为yy1(xx1)，x1 2即yxy1，即x1x2y2y10.x1 2x2 1 2同理可得切线PB的方程为x2x2y2y20.因为切线PA，PB均过点
7、P(x0，y0)，所以x1x02y02y10，x2x02y02y20，所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0x2y02y0 的两组解所以直线AB的方程为x0x2y2y00.(3)由抛物线定义可知|AF|y11，|BF|y21，所以|AF|BF|(y11)(y21)y1y2(y1y2)1，联立方程Error!消去x整理得y2(2y0x)yy0，2 02 0由一元二次方程根与系数的关系可得y1y2x2y0，y1y2y，2 02 0所以|AF|BF|y1y2(y1y2)1yx2y01.2 02 0又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0y02，所以yx2y012y2y052(y0 )2 ，2
8、02 02 01 29 2所以当y0 时，|AF|BF|取得最小值，且最小值为 .1 29 21(2016昆明两区七校调研)过抛物线y2x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且直线l的倾斜角，点A在x轴上方，则|FA|的取值范围是( ) 47A( ，1 B( ，)1 41 4C( ，) D( ，11 21 422答案 D解析 记点A的横坐标是x1，则有|AF|x1 ( |AF|cos ) |AF|cos ，1 41 41 41 2|AF|(1cos ) ，|AF|.1 21 21cos 由0，b0)的左，右焦点，对于左支上任意一点Px2 a2y2 b2都有|PF2|28a|PF1|(a为实半
9、轴长)，则此双曲线的离心率e的取值范围是( )A(1，) B(2,3C(1,3 D(1,2答案 C解析 由P是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义，得|PF2|2a|PF1|，所以|PF1|4a8a，|PF2|2 |PF1|4a2 |PF1|所以|PF1|2a，|PF2|4a，在PF1F2中，|PF1|PF2|F1F2|，即 2a4a2c，所以e 3.c a8又e1，所以 10 得m22， ，1 m21 21 m21 21 ，即e ，而 00，b0)x2 a2y2 b2由已知得a，c2，3又a2b2c2，得b21，双曲线C的方程为y21.x2 3(2)联立Error!整理得(13k2)x26km
10、x3m230.直线与双曲线有两个不同的交点，Error!可得m23k21 且k2 ，1 3设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为B(x0，y0)，则x1x2，x0，6km 13k2x1x2 23km 13k2y0kx0m.m 13k2由题意，ABMN，kAB (k0，m0)m 13k21 3km 13k21 k整理得 3k24m1，将代入，得m24m0，m4.又 3k24m10(k0)，即m .1 4m的取值范围是(4，)(1 4，0)8已知椭圆C1：1(ab0)的右顶点为A(1,0)，过C1的焦点且垂直长轴的弦长为 1.y2 a2x2 b2(1)求椭圆C1的方程；(2)设点P在抛
11、物线C2：yx2h(hR R)上，C2在点P处的切线与C1交于点M，N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值11解 (1)由题意，得Error!从而Error!因此，所求的椭圆C1的方程为x21.y2 4(2)如图，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(t，t2h)，则抛物线C2在点P处的切线斜率为yError!.直线MN的方程为y2txt2h.将上式代入椭圆C1的方程中，得 4x2(2txt2h)240，即 4(1t2)x24t(t2h)x(t2h)240.因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点，所以式中的116t42(h2)t2h240.设线段MN的中点的横坐标是x
12、3，则x3.x1x2 2tt2h 21t2设线段PA的中点的横坐标是x4，则x4.t1 2由题意，得x3x4，即t2(1h)t10.由式中的2(1h)240，得h1 或h3.当h3 时，h2b0)的左，右焦点分别为F1，F2，离心率x2 a2y2 b2为e1；双曲线C2：1 的左，右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2，且x2 a2y2 b232|F2F4|1.312(1)求C1，C2的方程；(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值解 (1)因为e1e2，所以 ，即a4b4a4，因此a22b2，从而32
13、a2b2aa2b2a323 4F2(b,0)，F4(b,0)，于是bb|F2F4|1，所以b1，a22.333故C1，C2的方程分别为y21，y21.x2 2x2 2(2)因为AB不垂直于y轴，且过点F1(1,0)，故可设直线AB的方程为xmy1.由Error!得(m22)y22my10.易知此方程的判别式大于 0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是上述方程的两个实根，所以y1y2，y1y2.2m m221 m22因此x1x2m(y1y2)2，4 m22于是AB的中点为M(，)，2 m22m m22故直线PQ的斜率为 ，PQ的方程为yx，m 2m 2即mx2y0.由Error
14、!得(2m2)x24，所以 2m20，且x2，y2，4 2m2m2 2m213从而|PQ|22.x2y2m24 2m2设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以 2d.|mx12y1|mx22y2|m24因为点A，B在直线mx2y0 的异侧，所以(mx12y1)(mx22y2)0，于是|mx12y1|mx22y2|mx12y1mx22y2|，从而 2d.m22|y1y2|m24又因为|y1y2|y1y224y1y2，2 2 1m2m22所以 2d.2 2 1m2m24故四边形APBQ的面积S |PQ|2d1 22.2 2 1m22m2213 2m2而 02m22，故当m0 时，S取得最小值 2.综上所述，四边形APBQ面积的最小值为 2.
