《2018年高中数学 第一章 三角函数 1.4.3 单位圆与you导公式教案 北师大版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年高中数学 第一章 三角函数 1.4.3 单位圆与you导公式教案 北师大版必修4（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、11.4.31.4.3 单位圆与诱导公式单位圆与诱导公式整体设计整体设计 教学分析教学分析本节教学内容的安排是学生学过的三角函数定义等知识的延续和拓展.根据上一节任意 角的正弦、余弦函数的定义，我们知道某角的三角函数值是由该角的终边上点的坐标给出 的.我们根据这一点，即三角函数的定义，结合角 的终边与角 +，-，- 的终 边的对称性，找出这些角的三角函数值与角 的三角函数值之间的关系，并利用这些关系 求一些角的三角函数值，化简一些三角函数式，即我们不仅要探索出这些关系式，还要掌 握并能利用它们解决一些简单的问题.诱导公式是求三角函数值的基本方法，求三角函数值是三角函数中的重要问题之一.诱 导公
2、式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求 0-90角的三角函数值问题.诱 导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化的思想方法，反映了从特殊到一般 的数学归纳思维形式，这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力、,掌握数学的思想 方法具有重大的意义.在本节诱导公式的学习中，关键是紧紧抓住单位圆这一图形工具，充分利用数形结合 思想，将化归思想贯穿始终，这些典型的数学思想，无论在本节中的分析导入,还是利用诱 导公式将求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，都清晰地得到体现.在教学中 注意数学思想渗透于知识的传授之中，让学生了解化归思想，形成初步的化归意识，特别 是在本课时的几个
3、转化问题引入后，为什么确定 180+ 角为第一研究对象，- 角为第 二研究对象，正是化归思想的运用.本节内容的重点是诱导公式的推导及运用，在公式的推 导中，首先确定 180+ 角、- 角的终边与角 的终边有何位置关系，找出它们与单 位圆交点的坐标，由正弦函数、余弦函数的定义得出结论.另外，运用公式进行一般的化简， 实际上也是熟悉公式、巩固公式的一种方法，因此它同样属于本课时的重点之一.本节课教学方法主要采用了引导、观察、分析、归纳、讨论、类比发现法，在教案设 计过程中，一是立足于知识的发生、发展形成过程，不断创设问题情境，让学生从已有的 知识及感知中去观察、分析、总结公式的特点提炼公式的含义；
4、二是力求以学生为主体， 对课本上内容进行重新处理，特别是通过设疑和学生间互相讨论，以及画图思考来引导学 生发展思维，获取新知识，形成技能.这样既注重学生的认知结构培养，也体现数学教学是 数学思维活动过程的教学；三是注重数学思想方法，如数形结合、化归、类比等数学思想 方法，把握数学中最本质的东西，为学生进一步学习数学奠定坚实的基础. 三维目标三维目标 1.通过学生的探究，明确三角函数的诱导公式的来龙去脉，理解诱导公式的推导过程；培 养学生的逻辑推理能力及运算能力，渗透转化及分类讨论的思想. 2.通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归 纳推理思维方式，并通过基
5、础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决 问题的实践能力. 3.通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识 及学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辩证唯 物主义思想，提高分析问题和解决问题的能力,体会数学式子的简洁美、对称美以及数学式 子变化的无穷魅力. 重点难点重点难点 教学重点：诱导公式的推导及灵活运用，如三角函数式的求值、化简和证明等. 教学难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识.2课时安排课时安排 2 课时 教学过程教学过程 第第 1 1 课时课时 导入新课导入新课思路 1.(复习引入)我们
6、前面利用单位圆得到了任意角的正弦、余弦函数，周期函数， 最小正周期等概念.它在转化任意角的三角函数中所起的作用是什么呢？从周期函数的概念 中我们知道正弦、,余弦函数值每隔 2 就会重复出现，那么在单位圆中是怎样体现的呢？ 有什么内在的联系呢？由此引入新课.思路 2.在单位圆中，216角的终边 OP 在第三象限内，将 OP 反向延长，与单位圆交 于 P点，则在 090之间找到一个角 =216-180=36.由于OPM OPM，所以有 MP=MP.又因为 sin216=MP，sin36=MP，而 MP 与 MP的长 度相同、方向相反，所以有 sin216=-sin36.这样便把求 sin216的值
7、的问题，转化为 可查表的 36角的三角函数求值问题.你能把以上几何变换的过程，用三角关系式表示出 来吗？由此引入新课. 或者从猜想中引入：比如学生根据上节所求，会得到以下结果：sin65sin621，cos65-cos6-21；sin32sin323，cos32-cos3-23,等等.教师由此发问:观察角65与6角的关系会得到什么结论？把角6、65放到单位圆中又有什么发现呢？让学生在强烈的探求欲望中展开新课，这也是一种很不错的选择. 推进新课推进新课 新知探究新知探究 提出问题提出问题 让学生回忆任意角的正弦、余弦函数是怎样定义的？ 观察单位圆，角 与 - 的正弦、余弦函数值具有怎样的关系？
8、观察单位圆，角 与-，2- 的正弦、余弦函数值具有怎样的关系？ 观察单位圆，角 与 + 的正弦、余弦函数值具有怎样的关系？ 活动活动: :教师在唤起学生对任意角的正弦、余弦函数定义的回忆后，指导学生画出单位圆，并在单位圆中画出角3、32，思考分析它们的关系.图 1教师与学生一起观察图 1，MOP=3,MOP=32,在直角坐标系的单位圆中，点 P 与点3P关于 y 轴对称，它们的坐标分别为(21，23)、(-21，23)，即它们的纵坐标相等，横坐标的绝对值相等且符号相反.sin3223sin3，cos32-23-cos3.这很自然地引起学生的猜想：对任意的角 与 - 是否也具有这种关系呢？教师引
9、导学 生做进一步探究.教师出示课件，将 的终边绕单位圆一周，让学生在动态中思考 与 - 的关系.让学生观察图 2，或由学生在单位圆中，作MOP=,MOP-.不难 看出，点 P(a,b)和 点 P(-a,b)关于 y 轴对称.因此，它们的纵坐标相等，横坐标的绝对值相等且符号相反， 即sin(-)=sin, cos（-)=-cos.图 2有了上述探究过程的经历，学生会想到用类比的思想方法来进一步探究角 与- ，2- 的正弦、余弦函数值的关系.教师演示课件，让学生在动态中感知 与- 的 位置关系(如图 4).在引导学生观察图 3 时，可让学生自己独立探究、归纳发现公式，体验 在自己的发现中成功的愉悦
10、感，以提高数学学习的自信心和进一步探究的欲望.事实上，在 单位圆中，作MOP=,MOP-(或 2-)，不难看出，点 P(a,b)和 P(a,-b)关 于 x 轴对称.因此，它们的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反,即sin(-)=-sin,sin(2-)=-sin, cos(-)=cos,cos(2-)=cos.图 34图 4同样学生可自主探究角 与 + 的正弦、余弦函数值的关系.教师演示课件，动态 的表示出 与 + 的位置关系(如图 6).然后引导学生观察图 5，在单位圆中，作 MOP,MOP+，不难看出，点 P(a,b)和 P(-a,-b)关于原点对称.因此，它 们的横坐标绝对值相等
11、且符号相反，纵坐标绝对值相等且符号相反,即sin(+)=-sin, cos（+)=-cos.图 5图 6通过以上探究，我们得到了三组公式，这给我们的三角函数求值、化简、证明带来了 极大便利.教师与学生一起观察分析公式的结构特征，找出记忆的诀窍，强调无论 是锐 角还是任意角，公式均成立；可以这样概括说明记忆：-,2- 的三角函数值5等于 的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号.或者进一步简记为： “函数名不变，符号看象限” ，点拨、引导学生注意公式中 的任意性. 讨论结果讨论结果:略. 应用示例应用示例 例 1 求下列各角的三角函数值：(1)sin(-47); (2)cos32;
12、 (3)cos(-631).活动活动: :本例是直接运用公式的题目，目的是让学生熟悉公式，初步体会公式的简单应用.通 过练习,加深对公式的理解，逐步达到正确熟练的公式应用.解答时可让学生观察题目中角 的范围，对照公式找出哪个公式适合解决这个问题，可让学生独立解答，对个别有困难的 学生教师对其适时的点拨引导.解解: :(1)sin(-47)=-sin47=-sin(2-4)=-(-sin4)=sin4=22(2)cos32=cos（-3)=-cos3=-21（3)cos(-631)=cos631=cos（4+6)=cos（+6)=-cos6=-23.点评:利用公式可把任意角的三角函数转化为锐角的
13、三角函数，一般可按下列步骤进行： 任意负角的三角函数任意正角的三角函数0-2 三角函数锐角三角函数，这种变化 体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法.教师应提醒学生注意：这仅仅是一种转 化模式或求解思路，不要记诵这个步骤.在实际解题中只要灵活地应用公式求解，明确先用 哪个公式、后用哪个公式是没有什么固定要求的，否则就违背了学习的本质要义，解题就 成了死解题、解死题，可谓题目解了千千万万，一到考试不得分，其学习当然也就成了死 学习，越学越不得要领，结果把自己本来的灵活学成了呆板.如本例(1)完全可以这样来解：sin(-47)=sin(-2+4)=sin4=22.变式训练变式训练利用公式求下
14、列三角函数值：(1)cos(-51015); (2)sin(-317).解解: :(1)cos(-51015)= cos51015=cos(360+15015)=cos15015=cos(180-2945)=-cos2945=-0.868 2.(2)sin(-317)=sin(3-32)=sin3=23例 2 化简)180cos()180sin()360sin()180cos( oooo活动活动: :教师引导学生认真仔细观察题目，题中四个三角函数是对诱导公式进一步的复习和巩 固，重点训练学生对知识的掌握程度和应用的灵活程度.可适时地提醒学生注意，利用诱导 公式时尽可能将角统一，从而达到化简的目
15、的.本例可由学生自己完成，教师也可在学生解 完此题后让学生变化题目，进行一题多变.如可在 180及 360的前面添加偶数 n 或奇数6n 或整数(此时需要分类讨论)n；亦或将角 前面的“+、-”进行变化，这样可达到一题 多用的目的，提高学生的兴趣，长此以往学生就能达到解一题会一片，就能融会贯通而灵 活多变，达到我们常说的“越学越省劲,越学越聪明”的境界. 解解: :sin(-180)=sin-(180+)=sin(180+)=-(-sin)=sin, cos(-180-)=cos-(180+)=cos(180+)=-cos,cos(180+)=-cos, sin(360+)=sin.所以，原式=)cos(sinsincos =1.点评点评: :运用诱导公式时可首先将负角化为正角，这有利于解题的简洁. 变式训练变式训练化简 cos315+sin(-30)+sin225+cos480. 解解: :cos315+sin(-30)+sin225+cos480=cos(360-45)-sin30+sin(180+45)+cos(360+120)=cos(-45)-
