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1、欢迎光临 中学数学信息网下载 资料浙江省瓯海中学徐进光中学数学信息网系列资料 WWW.ZXSX.COM版权所有 中学数学信息网用二分法求方程的近似解一课的教学设计厦门松柏中学林国伙（一）三维目标一、知识与技能：理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法。二、过程与方法：让学生能够初步了解逼近思想，极限思想，培养学生探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力。探究与活动，适当借助现代化的计算工具解决问题。三、情感态度与价值观通过具体实例的探究，归纳概括所发现的结论或规律，体会从具体到一般的认知过程。（二）教学重点能够借用计算器，用二分法求相应方程的近似解，使学生体会函数的零点与方程根之
2、间的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识。（三）教学难点方程近似解所在初始区间的确定在利用二分法求方程的近似解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难。（四）教学方法游戏导入推出课题实践探究总结提炼学生感悟（五）教具准备多媒体课件、信息技术工具计算器、电脑Excel 和几何画板软件等。（六）教学过程,一、创设情景，引入新课师：大家看过李咏主持的幸运52节目吗？先来看一段录像。师：同学们，这里是林老师主持的幸运52节目现场，下面进行商品价格竞猜。（师手拿一款手机）生 1：（猜师手中一款手机的价格）。师：你猜这件商品的价格，是如何想？生 1：先初步估算一个价格，如果
3、高了再每隔十元降低报价。生 2：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；,师：是按照生1 那样每隔10 米，还是按照生3 那样来检测呢？生：（齐答）按照生3 那样来检测。师：生 2 的回答，我们可以用一个动态过程来展示一下（展示多媒体课件，区间逼近法）。上述动态过程，每次都将所给区间一分为二，进行比较后得到新的区间，再一分为二，如此下去，逐步逼近商品的价格。这种思想就是二分法。师：在现实生活中我们也常常利用这种方法。譬如，翻字典查英语单词( 类似二分法 ) ；再譬如，一条电缆上有15 个接点，现某一接点发
4、生故障，如何可以尽快找到故障接点？二、讲解新课师：我们体会到了二分法在实际生活中的用处，其实它在数学中也有很大的用处。欢迎光临 中学数学信息网下载 资料浙江省瓯海中学徐进光中学数学信息网系列资料 WWW.ZXSX.COM版权所有 中学数学信息网（多媒体）能否求解方程：?062ln; 732;013;01232xxxxxxxx生 3：方程0122xx的解可用求根公式来解。师：那方程0133xx呢？这个方程我们不会解。但我们了解了二分法的思想，能否有助于求它的近似解。合作探究： 求方程0133xx的一个近似解？（精确到0.1 ）（探究离不开问题，问题教学有赖于教师对问题情景的创设，以及问题的呈现方
5、式）生 3：方程0)(xf的根就是函数)(xf的零点，作出函数13)(3xxxf的图象， 并根据 f(0)0,可得出根所在区间 (0,1) ；师：很好，下面的问题是如何找出函数的零点？合作探究： 学生先按四人小组探究。（倡导学生积极交流、勇于探索的学习方式，有助于发挥学生学习的主动性）生 4：如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值。师：如何有效缩小根所在的区间？生 4：通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。合作探究： （学生 2 人一组互相配合，一人按计算器，一人记录过程。四人小组中的两组比较缩小零点所在范围的结果。）生 5：取区间 (0,1
6、)的中点 0.5, 用计算器算得625.0)5.0(f, 因为0)5.0()0(ff, 所以零点在区间 (0,0.5)内。再取区间 (0,0.5)的中点 0.25, 用计算器算得23438.0)25.0(f, 因为0)5.0()25.0(ff, 所以零点在区间(0.25,0.5)内。师：用图例演示根所在区间不断被缩小的过程，加深学生对上述方法的理解。师：引发学生思考在有效缩小根所在区间时，到什么时候才能达到所要求的精确度。师：由于 (0,1) (0,0.5) (0.25,0.5),所以零点所在的范围越来越小。如果重复上述步骤，在一定精确度下，我们可以在有限次重复上述步骤后，将所得的零点所在区间
7、内的任一点作为函数零点的近似值。特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值。师：下面请同学们再操作3 步， 2 人一组互相配合，一人按计算器，一人记录过程师：（实物展台展示学生计算情况）师：（用计算机展示用二分法逐步逼近零点，进而得到零点近似值）：师：当精确度为0.1 时, 由于 |0.375 -0.3125|=0.06250.1, 所以方程的近似解为3 .01x1、二分法的概念：（多媒体投影幻灯片）师:给定精确度 ，能否总结用二分法求函数)(xf零点近似值的步骤? 生 6:( 口答 , 多媒体投影幻灯片) 欢迎光临 中学数学信息网下载 资料浙江省瓯海中学徐进光中学数学信息网系列资料 WWW.
8、ZXSX.COM版权所有 中学数学信息网2、用二分法求函数)(xf零点近似值的步骤如下：3、例题剖析 ： 利用计算器，求方程732xx的近似解（精确度0.1 ）. ( 本例鼓励学生自行尝试，让学生体验解题遇阻时的困惑以及解决问题的快乐。此例让学生体会用二分法来求方程近似解的完整过程。) 师：估计方程的根在什么范围内？生：（无语）师：判断某根所在区间的方法是估值或画图象（部分学生跟着说出方法）师：那，现在我们可以画出哪些函数的图象？8642-2-5510g x = -3 x+7f x = 2x42-2-4-55f x = 2x+3x -7生 7：作函数xxf2)(和73)(xxf师：你们发现了什
9、么？生（齐答）：图象有一个交点；师：这意味着什么？生 7： 在两个函数图象的交点处，函数值相等。 因此，这个点的横坐标就是方程732xx的解。从图象上可以发现，这个方程有惟一解，且在区间（1，2）内。师：判断出了根所在区间后接下去怎么办？生 8：利用函数；师：哪个函数？怎么算出近似解来？生 8：原方程即0732xx，令732)(xxfx,)(xf在 R上是单调增函数。用计算器作出732)(xxfx的对应值表和画图象观察图表可知：0)2()1(ff，说明这个函数在区间（1，2）内有零点0x. 取区间 (1,2) 的中点1x1.5, 用计算器算得33.0)5.1(f, 因为0)5.1()1(ff,
10、 所以零点0x (1,1.5)。再取 (1,1.5)的中点 1.25, 用计算器算得87.0)25.1 (f, 因为0)5 .1()25.1(ff, 所以零点0x(1.25,1.5)内。同理可得 : 0x (1.375,1.5), 0x (1.375,1.4375) 因为 |1.375-1.4375|=0.06250.1 ，所以原方程的近似解为x1.4 欢迎光临 中学数学信息网下载 资料浙江省瓯海中学徐进光中学数学信息网系列资料 WWW.ZXSX.COM版权所有 中学数学信息网师：上一节课我们已经知道，函树62ln)(xxxf在区间（ 2，3）内有零点，我们进一步 的 问 题 是 ， 如 何
11、找 出 这 个 零 点 ？ 函 数)(xf的 零 点 就 是 方 程0)(xf的 根 ， 方 程062lnxx我们不会解。但是，我们有了二分法，现在就能求它的近似解。三、巩固反馈：1）精确到的一个正的近似解？（求方程1.0062lnxx2）的根的个数为用二分法判断方程22xx（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3) 下列图象中，不能用二分法求函数零点的是（）x y O （A）x y O （ B）x y O（C）xyO（D四、课堂小结师：请同学们回顾一下本节课的教学过程，你觉得你已经掌握了哪些知识？（生总结，并可以互相交流讨论，师投影显示本课重点知识）1、二分法是一种求一元方程近似解的通
12、法。2、利用二分法来解一元方程近似解的操作步骤。3、可以利用函数的图象来判断方程根的个数。师：在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座。虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月。（多媒体投影幻灯片）我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程求解的问题。约公元50 100年编成的九章算术，就以算法形式给出了求一次方程、二次方程和正系数三次方程根的具体方法；7 世纪隋唐的王孝通、11 世纪北宋贾宪、13 世纪，南宋数学家秦九韶都有很大的贡献。国外数学家对方程求解亦有很多研究。如阿拉伯数学家花拉子米、意大利数学家塔尔塔利亚、意大
13、利数学家卡尔达诺等。虽然指数方程、对数方程等超越方程和五次以上的高次代数方程不能用代数运算求解，但其数值解法却随着现代计算技术的发展得到了广泛的运用，如二分法、牛顿法、弦截法等。师: 求函数零点的二分法, 对函数图象是连续不间断的一类函数的变号零点都有效。如果一种计算方法对某一类问题都有效，计算可以一步一步地进行，每一步都能得到唯一的结果，我们常把这一类问题的求解过程叫做解决这一类问题的一种算法。算法是刻板的、机械的，有时要进行大量的重复计算，但它的优点是一种通法，只要按部就班地去做，总会算出结果。更大的优点是，它可以让计算机来实现。例如我们可以编写程序，快速地求出一个函数的零点。有兴趣的同学试一试。五、布置作业1、必修 1 第 102 页习题 3、4、5 2006 年 11 月 5 日
