数学【专题十】化归思想

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1、1数 学专题十【专题十】化归思想化归思想【考情分析】化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已 知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想.等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简 单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法.【知识交汇】化归思想的核心，是以可变的观点对所要解决的问题进行变形，就是在解决数学问题时，不是对问题进 行直接进攻，而是采取迂回的战术，通过变形把要解决的问题，化归为某个已经解决的问题。从而求得原问 题的解决。化归思想不同于一般所讲的“转化”或“变换”。它的基本形式有：化未知为已知；化

2、难为易， 化繁为简；化高维为低维；化抽象为具体；化非规范性问题为规范性问题；化数为形，化形为数； ；化曲为直；化实际问题为数学问题；化综合为单一；化一般为特殊等。 匈牙利著名数学家罗莎彼得在他的名著无穷的玩艺中，通过一个十分生动而有趣的笑话，来说明 数学家是如何用化归的思想方法来解题的。有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶，水龙头、 水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放在 煤气灶上。”提问者肯定了这一回答，但是，他又追问道：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经 有了足够的水，那么你又应该怎样去做？”这时被提问者一定会大声而

3、有把握地回答说：“点燃煤气，再把 水壶放上去。”但是更完善的回答应该是这样的：“只有物理学家才会按照刚才所说的办法去做，而数学家 会回答：只须把水壶中的水倒掉，问题就化归为前面所说的问题了”。化归思想是指问题之间的相互转化。前苏联著名数学家 C.A.雅诺夫斯卡娅，有一次向奥林匹克竞赛参加者 发表了什么叫解题的演讲，她的答案显得惊人地简单，完全出乎人的意料：“解题就是把题归结为已经 解决过的问题” ，这句话实际上就是体现了化归思想。因此化归的常用模式为 转化对 象 目 标解答【思想方法】一、将未知的问题转化归结为已知的知识【例 1】设若方程中的 cosx 有两个不同的),0( 1coscos2)

4、(2xxxxf)2(cos)(xkxf符号,求实数 k 的取值范围。【分析】令 cosx=t,则由得方程) 1 , 1(t)2(cos)(xkxf) 1 ( , 012)1 (22ktkt中的 cosx 有两个不同的符号，等价于关于 t 的方程(1)在有异号两根,设)2(cos)(xkxf) 1 , 1(t问题 A问题 B问题 A 的解答问题 B 的解答2数 学专题十,则原问题又等价于, 由此可得12)1 (2)(2ktkttg 0) 1 (0) 1(0)0(ggg210 k【评注】将未知的问题向已知的知识转化，并使未知和已知的知识发生联系，使之能用熟悉的知识和方 法解决新的问题。这种转化经常

5、可达到事半功倍的效果。例如要求空间两条异面直线所成的角，只须通过作 平行线转化成大家所熟悉的两相交直线所成的角。又如复杂的三角函数的最值问题有时也可以通过换元转化 为熟悉的二次函数最值问题，再如还可以用三角法解决几何量的最值问题等等。 二、数形之间的转化【例 3】讨论方程的实数解的个数.2|23|xxa aR分析分析: :此题若从代数的角度去解恐怕是无从下手,我们不妨利用数 形结合来考虑看会怎么样？此题可转化为求函数2|23|yxx图象与函数图象的交点个数的问题.ya解解: :作出函数的图象,如右图所示,函数2|23|yxxya为水平直线,由图形可知:当时,解的个数是; 当或时,解的个数是0a

6、 00a 4a ; 2当时,解的个数是; 当时, 解的个数为 3;04a44a 【评注】注意数形的相互转化，使数形达到和谐的统一，以增强直观性和形象性及深刻了解数学的内涵，便 于发现和解决实质问题。某些代数问题、三角问题，往往潜在着几何背景，而借助其背景图形的性质，可使 那些抽象的概念，复杂的数量关系几何直观，以便于探求解题思路或找到问题的结论。 三、特殊与一般的相互转化在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆上，则xOyABC( 4 0)A ，(4 0)C，B22 1259xy_sinsin sinAC B解析：这里顶点是椭圆上的动点，所以、不易确定。但根据“一般成立特殊一定成立”Bsi

7、n Asin BsinC 可将这个一般性的问题转化化归为点在特殊位置（椭圆短轴端点）来处理较易。B 当然：注意到 A、C 是两焦点，利用正弦定理，进行数形转化也能取得很好的效果.答案：顶点取椭圆短轴端点，即 ，则，B(0,3)B3sinsincos25BAC4sin25B，3424sin2sincos2225525BBBsinsin sinAC B5 4 点评：象这种“特殊与一般的相互转化”在高考的选择题和填空题中经常应用。【评注评注】对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题，可先用特殊情形探求解题思路或命题结论，再在一 般情况下给出证明，这不失为一种解题的明智之举。3数 学专题十四、正与反的

8、相互转化若下列方程：，=0 中至少有一个方程03442aaxx0) 1(22axaxaaxx222有实根. 试求实数 a 的取值范围. 分析：分析：三个方程至少有一个方程有实根的反面情况有一种：三个方程均没有实数. 先求出反面情况时 a 的范围，取所得范围的补集就是正面情况的答案. 解：解：设三个方程均无实根，则有 . 0)2(44, 04) 1(, 0)34(4162 322 22 1aaaaaa解得. 123. 02,311,21 23aaaaa即或所以当时，三个方程至少有一个方程有实根.231aa或【评注】对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较难的问题，可先攻其反面，从而使正面问题得以解

9、决。五、实际问题向数学问题的转化归结【例 6】某厂家拟在 2009 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年x促销费用万元满足（为常数） ，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是 1 万件. 0()m m 31kxmk已知 2009 年生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）（1）将 2009 年该产品的利润y万元表示为年促销费用万元的函数；m（2）该厂家 2009 年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大

10、？解：（1）由题意可知，当时，即，0m1x13k2k，每件产品的销售价格为元.231xm8 161.5x x2009 年的利润 )168(1685 . 1 mxxxxymmmx)123(8484)0(29)1(116mmm4数 学专题十（2）时，.0m 16(1)2 1681mm，当且仅当，即时，.82921y 1611mm3m max21y答：该厂家 2009 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大，最大为 21 万元.【评注】将实际问题转化为数学问题，使之能用数学理论解决具体的实际问题。解答数学应用问题。要善于 调整应用题中的条件关系和题型结构，使问题化难为易，化繁为简。若有些较复杂

11、的应用题采用直接设元列 方程转化较困难，则可合理地设置间接未知数来设法进行转化，以寻求解决问题的新途径。【专题演练】1若不等式对一切均成立，试求实数的取值范围。243xpxxp04px2. 方程 y=x33x=a 有相异三个解，求 a 的取值范围.3. 曲线 y=1+ (2x2)与直线 y=r(x2)+4 有两个交点时，实数 r 的取值范围24x.4. 为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为 2 米的无盖长方体沉淀箱（如图） ，污水从 A 孔流入， 经沉淀后从 B 孔流出，设箱体的长度为 a 米，高度为 b 米，已知流出的水中该杂 质的质量分数与 a、b 的乘积 ab 成反比，现有制箱材料

12、 60 平方米，问当 a、b 各 为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B 孔的面积忽略不 计）？化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种 函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想.等价转化总是将抽象 转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法.【参考答案】1. 解解: Q243xpxxp2(1)430xpxx令，则要使它对均有，只要有( )g p 2(1)43xpxx04p( )0g p 或。(0)0(4)0gg 3x1x 5数 学专题十2. 解：解：.提示：f

13、(x)=3x23=3(x1)(x+1)易确定 f(1)=2 是极大值，f(1)=2 是极小值.当2a2 时有 三个相异交点.3. 解：解析：方程 y=1+的曲线为半圆，y=r(x2)+4 为过（2，4）的直线.24x答案：（43,1254. 解法一：设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为 y，则由条件 y=(k0 为比例系数)其中 a、babk满足 2a+4b+2ab=60 要求 y 的最小值，只须求 ab 的最大值. 由(a+2)(b+1)=32(a0,b0)且 ab=30(a+2b)应用重要不等式 a+2b=(a+2)+(2b+2)4124)22)(2(2baab18，当且仅当 a=2b 时等号成立 将 a=2b 代入得 a=6,b=3. 故当且仅当 a=6,b=3 时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.解法二：由 2a+4b+2ab=60,得,aab230记(0a30)则要求 y 的最小值只须求 u 的最大值.aaaabu2)30(由，令 u=0 得 a=622)2()2(64 aau且当 0a6 时，u0，当 6u30 时 u0,在 a=6 时取最大值，此时 b=3.aaau2)30(从而当且仅当 a=6，b=3 时,y=取最小值.abk