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1、第 3 讲 函数方程思想与建模（高中版）（第课时）函数方程思想与建模统计模型几何模型函数模型不等式模型方程模型重点重点：1函数的性质；2函数方程思想；3构造模型解决纯数学问题；4构造模型解 决现实世界中的实际问题。 难点难点：构造模型解决现实世界中的实际问题。1能从题目中收集和处理信息； 2能把现实世界中的实际问题抽象和简化成数学问题； 3能综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题。函数是中学数学的主线内容，综合性极强，它涉及代数的方程、不等式、数列，以及三角 甚至几何问题。对函数方程思想的考查往往都是间接和隐蔽的。函数的相关知识几乎全部出现 在考题中，增强对生产与生活中的实际问题的考查力度。
2、 近年来高考十分重视对应用问题的考查，题数明显增加，小题向大题转化；紧密联系当前 的市场经济和价值规律，应用题的信息来源真实可靠；涉及函数、数列、不等式等高中主要内 容，建模思想必将体现在其中。近年高考试题中应用题的考查情况一览表： 年度 1996 年 1997 年 1998 年 1999 年 2000 年 题号 23 22 11 22 16 22 6 13 21 问题情境 土地、人口 汽车运 费 分配方 案 污水处 理 作物间 作 机器原 理 税收 分配方 案 市场 经济 建模类型 方程不 等式 函数 排列组 合 函数不 等式 排列 数列 函数 排列 函数 分值 10 分 12 分 5 分
3、12 分 4 分 12 分 5 分 4 分 12 分 合计 10 分 12 分 17 分 16 分 21 分 神经网络神经网络准确记忆！重点难点重点难点好好把握！考纲要求考纲要求注意紧扣！命题预测命题预测仅供参考！函数思想就是将所研究的问题（包括表面看来的非函数问题）借助建立函数关系式（或构 造中间函数） ，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、并最终解决。 方程思想就是将数学与实际问题中的数量关系运用数学语言转化为方程或不等式模型加以 解决。 实际上函数和多元方程没有什么本质区别，例如函数，就可以看作二元方程)(xfy 。所以有时还可以实现函数与方程的互相转化，达到解决问题的目的。0)(
4、 yxf要深刻理解一般函数、的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图)(xfy )(1xfy 象变换） ，这是应用函数思想解题的基础。 数学模型：按广义的解释，数学概念、数学公 式以及由它们构成的算法系统都称之为数学模型。 数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的一 个近似的反映。数学模型可以是方程、函数或其它 数学式子，也可以是一个几何图形。数学建模思想 不仅是处理纯数学问题的一种经典方法，而且也是 处理各种实际问题的一般数学方法。 数学建模：把现实世界中的实际问题加以抽象 和简化，成为数学模型，进而求出模型的解，最后 验证模型的合理性（如果不合理，则应该修改假设， 重复建模过程）,并用该
5、数学模型所提供的解答来解 释现实问题，我们把数学知识的这一应用过程称为 数学建模。用数学建模解决问题的基本步骤如右边 的流程图。 对于实际应用问题，由于题目文字一般比较多， 提供的情景和术语可能比较陌生，陈述的顺序也可 能和平时不同，我们必须提高心理承受能力，保持 冷静。首先要理解题意，明确问题的实际背景，其 次要合理选择变量与参数，最后建立函数、方程或 不等式等数学模型，并应用相关知识求解。 对于实际问题，常用的模型有：方程不等式模型、函数模型、数列模型、概率统计模型、 几何模型、三角模型。 “建模”没有固定的模式，要想用好它，需要具备敏锐的观察能力、丰富的联想能力和创 造性思维能力，故有一
6、定的难度。用好建模思想解题的关键有二：一是要有明确的建模方向， 即为什么目的而建模；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合。 一一. . 利用函数方程思想分析问题利用函数方程思想分析问题 利用函数思想可以对方程、不等式、参数的取值范围、数列的通项与前 n 项和之类的问题 加以分析。 例例关于 x 的不等式 232x3x+a2a30 ，当 0x1 时恒成立，求实数 a 的取值范 围。分析：设，则 t1,3 ，原不等式可化为 a2a32t2+t , t1,3 ，它等价于xt3 a2a3 大于 f(t)=2t2+t 在1,3上的最大值。 解：设 ， 0x1 ， t1,3 ，xt3 原不等式可
7、化为 a2a32t2+t , t1,3 ，设 ，则其图像开口向上，顶点横坐标为 ，tttf22)(41 )2(21x考点热点考点热点一定掌握！通过 通不过 实际问题 抽象、简化、明确变量与参数 根据定律或规律建立数学模型 对该数学问题求解 解释和验证 投入使用 故其在区间1,3内的最大值在端点 1 处取得， ，11122 maxf 解 a2a31 得 (,1)(2,+) 点评：本题利用函数思想分析不等式以及求参数的取值范围。例例（1992 年高考理科题） 设等差数列an的前 n 项和为 Sn.已知 a3=12,S120,S130，121 S13a 78d13(122d)78d15652d0 在
8、 x(-124 3xxaxx,1)上恒成立。解：由题设可知，不等式 12 4 a0 在 x(-,1)上恒成立，xx 4 0 ， 不等式 12 4 a0 可以化为 ()() a0 ，xxx1 22x1 2x设 t() , 则不等式 ()() a0 可以化为 t ta0 ，1 2x1 22x1 2x2又设 g(t)t ta ， 则的图像开口向上，其对称轴为 t ，如下图，21 2由 t() 和 x(-,1) 可知 t， 1 2x1 2由 g(t)的单调性可知 g()() a0，得 a ，1 21 221 23 4所以 a 的取值范围是 a。3 4点评：本题构造含参二次函数，求参数取值范围； 本题也
9、可从 t 和 at t 1 22推出 。43 21)21(22tta例例. .（高二）求证 。311(1 1)(1)(1)31()432nnNnL略证：只要证。3111( )(1 1)(1)(1)143231f nnnL由知是递增的。323231(1) 31(1)(32)311( )(31) (34)34nf nnn f nnnn( )f n又，故有，从而命题得证。32(1)14f( )(1)1f nf点评：本题构建函数证明不等式。对数列型不等式，传统证法为数学归纳法，本题巧构单 调函数（数列） ，妙证不等式。这种证法的一般步骤如下： 要证，可构造来证是增函数，且。( )( )f ng n(
10、)( )( ),h nf ng n( )h n(1)0.h或构造来证是增函数，且（其中） 。( )( )( )f nh ng n( )h n(1)1h( )0g n 例例(2000 年高考理科题). .某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的 300 天内西红柿市场售价与上高时间的关系0.5yxo用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线表示。 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式 P f(t) ；写出图二表示的种植成本与 时间的函数关系式 Qg(t) ； 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售 价和种植成本的
11、单位：元102kg，时间单位：天）答案： ； 300, 0200,2300, 200300ttf ttt 21150100,0300200g ttt 从 2 月 1 日起的第 50 天时，上市的西红柿纯收益最大。 例例. . 某国从 1830 年至 1990 年人口数据资料如下表，试利用该资料预测该国 2020 年的人口 数。时间183018401850186018701880189019001910人口(百万)3.9295.3087.249.36812.86617.06923.18231.44338.558时间19201930194019501960197019801990人口(百万)50.
12、15662.94875.99591.972105.71 1122.775131.669150.697分析：假设该国政治、社会、经济环境稳定，而且人口数量是时间的连续函数。 首先建立数学模型，以 x 轴代表年度，y 轴代表人口数，建立直角坐标系，描出散点图， 观察散点图，可以发现，从 1930 年以后散点近似分布在一条直线上，而从散点图的整体趋势来 看，可以认为散点近似分布在一条抛物线上一部分或近似分布在一条指数曲线上，因此，可以 采用直线型拟合，抛物线型拟合和指数曲线型拟合。 （直线型拟合法）从散点图可以看出，1930 年以后散点近拟分布在一条直线上，过两点 （1940，75.995） ， （
13、1960，105.711）作直线(y-105.711)(x-1920)=(105.711-75.995)(1960-1940), 即 y=1.4858x-2747.025. 当 x=2020 时，y=194.859106即 2020 年该国人口预测为 194.859 百万人。 （抛物线型拟合法）从散点图的整体趋势看，散点近似分布在一条以直线 x=1830 为对称轴 的抛物线上，则以点(1830，3.929)为顶点，再任意选一点(1930,62.948)所确定抛物线方程为 y=0.0059(x-1830)2+3.929 当 x=2020 时 y=216.919106即该国人口预测为 216.91
14、9 百万。 （指数曲线法）从散点图的整体趋势来看，还可认为所有散点近似分布在一条指数线上， 设指数方程为 y=abx-c 。 1980、1990 这两年离 2020 年最近， 指数方程化为 y=abx-1940 ， 记 Y=lgy，X=x-1980，则 Y=Xlgb+lga ， 可用线性回归方法确定参数 a，b，若对精确度要求不是很高的情况下，只须用点(1980 ，131.669)， （1990 ，150.697）去确定 a，b，容易计算得出 a=131.669，b=1.0136。 指数曲线方程为 y=131.669(1.0136)x-1940 ， 当 x=2020 时，y=226.02106
15、 ，即 2020 年该国人口为 226.02 百万。 点评：预测问题常使用函数模型，一般求解步骤是：根据原始数据、表格，绘出散点图； 通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或曲线；根据所学函数知识， 求出拟合直线或拟合曲线的函数的关系式；利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测 和控制，以便为决策和管理提供依据。 例例. . 下表所示为 X，Y，Z 三种食物的维生素含量及成本XYZ维生素 A（单位400600400/kg）维生素 B（单位 /kg）800200400成本（元/kg）654欲将三种食物混合，制成 100kg 的混合物，设所用的食物 X，Y，Z 的份量依次为 x,y,z(kg) ，若混合物至少需要 44000 单位维生素 A 及 48000 单位维生素 B，定出 x、y、z 的值，使成本 最低。 （高二）解：、需要满足的约束条件为 ，即 xyz 4800040020080044000400600400100zyxzyxzyx 40220yxy， 设混合物成本为，则 ，即 mzyxm456，4002yxm 作出可行域如图阴影部分所示，向左平移直线 至点处取得最小值，04002
