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1、20092201461函数的奇偶性讲稿函数的奇偶性讲稿（一、导入新课）现在开始上课，今天我为大家讲解一下有关函数奇偶性的概念以及如何判断函数奇偶性。在此之前，先回忆一下之前讲的有关对称的概念，我们会发现生活中有很多对称的例子。例如：汽车车轮，人（一般只要是圆柱，圆锥，球，正方体，长方体几何体都是轴对称图形） ，篮球，羽毛球拍等.而数学中也存在对称的例子，例如今天所要讲的奇函数和偶函数。大家可以在纸上画出函数 y=x，y=1/x，y=cos x ,y=x的图象，看一下这些函数有什么特点。(y=x，y=1/x 图象关于原点对称,=cos x ,y=x的图象关于 y 轴对称)。（二、讲解新课）如何从
2、数值角度研究对称函数图象的自变量与函数值之间的规律。下面以函数 y=x为例（画出函数图象），首先我们知道,对于任意 x,-x 与 x关于 y 轴对称，即 x与(x)两点到坐标 y 轴的距离相等，而且 x=(-x)，也就是说函数 y=x的定义域上每一点都成立 x=(x)，而这样的函数我们通常称之为偶函数。所以可以给出偶函数的定义：一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个x,都有 f(x)=f(x),那么函数 f(x)就叫做偶函数.注意“任意”两字。（让大家举出一些偶函数的例子）既然关于 y 轴对称的函数我们称为偶函数，那么关于原点对称的函数呢？当然也有一个特定称谓叫做奇函数。而奇函数的自
3、20092201462变量与函数值之间具有怎样的数值规律呢?可以以函数 y=1/x 为例(同时画出出y=1/x 的图象)，我们可以类似的方法,得出函数 y=1/x 的定义域上每一点都成立 1/x=-1/(-x),所以奇函数的定义.一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(x)= f(x),那么函数 f(x)就叫做奇函数.下面如何判定函数奇偶性？(3、例题讲解写下：例 1 判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=x1/x; (2) f(x)= 1x ;(3) f(x)=2x ; (4) f(x)= |x|2;(5)f(x)=(1x2)1/2; (6)f(x)= x ,3x1;(
4、7) f(x)=2x1;）前三个题做完，可以发现判断奇偶性,只需验证 f(x)与 f(x)之间的关系.那如何判断一个函数不具有奇偶性呢？以第(1)为例,说说它为什么不是偶函数呢?（因为 f(x)f(x)），所以判断一个函数不具有奇偶性只需举一个反例就可说明.另一个需要注意的是，通过第(6)题我们可以得出：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件。在这几个函数中有是奇函数不是偶函数,有是偶函数不是奇函数也有既不是奇函数也不是偶函数,那么有没有这样的函数,它既是奇函数也是偶函数呢?20092201463（当然有，例如函数 f(x)=0）。那是不是具备这样性质的函数的解析式都只能写成这样呢?我们
5、可以用下面这个例题来证明。（例 2 已知函数 f(x)既是奇函数也是偶函数,求证: f(x)=0.证明: f(x)既是奇函数也是偶函数,f(x)= f(x),且 f(x)= f(x) f(x)= f(x)即 2f(x)= 0；f(x)=0）我们可以再想一想：这样的函数应有多少个呢?（学生开始可能认为只有一个,经提示可发现, f(x)=0 是解析式的特征,若改变函数的定义域,如 f(x)=0,x 1,1, f(x)=0，x2, 1,0,1,2,它们显然是不同的函数,但它们都是既是奇函数也是偶函数.）今天这一节我们主要介绍了函数奇偶性的定义及判定，而且知道利用函数的奇偶性还可将函数分为奇函数、偶函
6、数、非奇非偶函数、既奇又偶函数.同学们还有什么问题？那么这节课就先讲到这里，今天的作业是 P36 1、2 题； P37 6 题.（下课）函数的奇偶性教案函数的奇偶性教案课题类型课题类型新知课教学方法教学方法讲解法、数形结合法20092201464教学目标教学目标从形和数两个方面进行引导，使学生理解函数奇偶性的概念;会利用定义判断简单函数的奇偶性.教学重难点教学重难点教学重点: 函数奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断.教学难点: 对函数奇偶性的概念的理解教具教具板书教学过程教学过程(一一)导入新课导入新课先举现实生活中对称美的例子,然后告诉学生数学中也存在这种对称美,试让学生举例.(学生可能会举
7、出 y=x 和 y=1/x,y=x 等例子)其中哪些函数的图象关于 y 轴对称？以函数 y=x为例，画出图象,让学生说出判断其图象关于 y 轴对称的方法.在数学上将图象关于 y 轴对称的函数叫做偶函数.今天将从数值角度研究图象关于 y 轴对称函数的自变量与函数值之间的规律. (二二)讲解新课讲解新课引导学生先将规律具体化,再用数学符号表示.从而发现对定义域内任意一个 x,都有 f(x)=f(x)成立.最后让学生用完整的语言给出偶函数定义,不准确的地方予以提示或调整.20092201465一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(x)=f(x),那么函数 f(x)就叫做偶函
8、数.注:强调“任意”两字.给出定义后可让学生举例检验他们对概念的初步认识提出新问题:图象关于原点对称的函数的自变量与函数值之间具有怎样的数值规律呢?(同时画出 y=1/x 的图象让学生观察研究)引导学生用类比的方法,得出结论,让学生给出奇函数的定义.一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(x)= f(x),那么函数 f(x)就叫做奇函数.(三三) 例题讲解例题讲解例 1 判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=x1/x; (2) f(x)= 1x ;(3) f(x)=2x ; (4) f(x)= |x|2;(5)f(x)=(1x2)1/2; (6)f(x)= x ,3x1;
9、(7) f(x)=2x1;前三个题做完，进行一次小结,判断奇偶性,只需验证 f(x)与 f(x)之间的关系.此时提出问题如何判断一个函数不具有奇偶性呢？以第(1)为例,说明怎样解决它不是偶函数的问题呢?引导学生得出只需举一个反例就可说明.通过第(6)题引导学生得出定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件的结论.20092201466由学生小结判断奇偶性的步骤之后,提出新的问题:在刚才的几个函数中有是奇函数不是偶函数,有是偶函数不是奇函数,也有既不是奇函数也不是偶函数,那么有没有这样的函数,它既是奇函数也是偶函数呢?若有,举例说明.经学生思考,可找到函数 f(x)=0 .然后继续提问:是不是
10、具备这样性质的函数的解析式都只能写成这样呢?能证明吗?例 2 已知函数 f(x)既是奇函数也是偶函数,求证: f(x)=0. 证明: f(x)既是奇函数也是偶函数,f(x)= f(x),且 f(x)= f(x) f(x)= f(x)即 2f(x)= 0；f(x)=0进一步提问：这样的函数应有多少个呢?（学生开始可能认为只有一个,经提示可发现, f(x)=0 是解析式的特征,若改变函数的定义域,如 f(x)=0,x 1,1, f(x)=0，x2, 1,0,1,2,它们显然是不同的函数,但它们都是既是奇函数也是偶函数.）小结小结函数奇偶性的定义;函数奇偶性的判定;利用函数的奇偶性可将函数分为四类:
11、奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既奇又偶函数.作业作业P36 1、2 题； P37 6 题.20092201467函数的奇偶性y=x1、一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.y=1/x2、一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.3、函数奇偶性的判定f（x）=f（x） f（x）是偶函数；f（x）=f（x） f（x）是奇函数例 1 判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=x1/x; (2) f(x)= 1x ;(3)f(x)=2x ; (4) f(x)= |x|2;
12、(5)f(x)=(1x2)1/2; (6)f(x)= x ,3x1;(7) f(x)=2x1;解：(1)奇函数 (2)偶函数 (3) 奇函数 ; (4) 偶函数;(5) 偶函数; (6)既不是奇函数也不是偶函数;(7) 既不是奇函数也不是偶函数.注：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件。4、存在既不是奇函数也不是偶函数?f(x)=0例 2 已知函数 f(x)既是奇函数也是偶函数,求证: f(x)=0. 证明: f(x)既是奇函数也是偶函数,f(x)= f(x),且 f(x)= f(x) f(x)= f(x)即 2f(x)= 0；f(x)=0f(x)=0,x 1,1；f(x)=0，x2, 1,0,1,2P36 1、2 题； P37 6 题.
