函数方程不等式专题

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1、2011 年中考复习二轮材料 函数、方程、不等式综合应用专题函数、方程、不等式综合应用专题 一、专题诠释一、专题诠释 函数思想就是用联系和变化的观点看待或提出数学对象之间的数量关系。函数是贯穿在中学数 学中的一条主线；函数思想方法主要包括建立函数模型解决问题的意识，函数概念、性质、图象的 灵活应用等。函数、方程、不等式的结合，是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式， 体现了一般到特殊的观念。也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系，在初中阶段，应该深刻 认识函数、方程、不等式三部分之间的内在联系，并把这种内在联系作为学生学习的基本指导思想， 这也是初中阶段数学最为重要的内容之一。而新

2、课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜明的程 度。因此，第二轮中考复习，对这部分内容应予以重视。 这一专题，往往以计算为主线，侧重决策问题，或综合各种几何知识命题，近年全国各地中考 试卷中占有相当的分量。这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵 活。考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力，要求 学生熟练掌握三角形、四边形、三角函数、圆等几何知识，较熟练地应用转化思想、方程思想、分 类讨论思想、数形结合思想等常见的数学思想。解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基 础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系，在复杂的“背景”下辨认

3、、分解基本图形，或通 过添加辅助线补全或构造基本图形，并善于联想所学知识，突破思维障碍，合理运用方程等各种数 学思想才能解决。二、解题策略和解法精讲二、解题策略和解法精讲 函数与方程、函数与不等式密不可分，紧密联系。 利用 kx+b=0 或 ax2+bx+c=0 可以求函数与 x 轴的交点坐标问题，利用 与 0 的关系可以判定 二次函数与 x 轴的交点个数等。等式与不等式是两种不同的数量关系，但在一定条件下又是可以转 化的，如一元二次方程有实数根，可得不等式 0 等。 一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数 y=ax+b（a0，a，b 为常数）中，函数的值等于 0

4、时自变量 x 的值就是一元一次方程 ax+b=0（a0） 的解，所对应的坐标（b/a，0）是直线 y=ax+b 与 x 轴的交点坐标，反过来也成立；直线 y=ax+b 在 x 轴的上方，也就是函数的值大于零，x 的值是不等式 ax+b0（a0）的解；在 x 轴的下方也就是 函数的值小于零，x 的值是不等式 ax+b即：当 n 为非负整数时，如果则n11,22nxn-+0，1，2，4， 试解决下列问题：（1）填空： （ 为圆周率） ；如果3，则实数 x 的取值范围为 ；（2）当；xmmxmx:, 0求证为非负整数时举例说明不恒成立；yxyx（3）求满足的所有非负实数 x 的值；4 3xx=求证：

5、ab2n. 【分析】(1)第一空：3，所以填 3；第二空：根据题中的定义得 3-2x13+，解这个不等式1 21 2 组，可求得 x 的取值范围；（2）根据定义进行证明和举反例；（3）用图象法解，可设y，y，在直角坐标系中画出这两函数的图象，交点的横坐标就是 x 的值 （4）根据在4 3xnxn1 范围内 y 随 x 的增大而增大，所以可得出 y 的取值范围，从而求出 y 的整数解的个数，同1 2样地由定义得，把此式两边平方可得k 与 y 的取值范围11 22nkn-n，则 nxn，n 为非负整数； 1 21 2又(nm)xm(nm)，且 mn 为非负整数，1 21 2nmm 法二设 xkb，

6、k 为 x 的整数部分，b 为其小数部分 1）当 0b0.5 时，k mx(mk)b，mk 为 mx 的整数部分，b 为其小数部分 mkm 2）当 b0.5 时，k1 则 mx(mk)b，mk 为 mx 的整数部分，b 为其小数部分 mk1m 综上所述：m 举反例：112，而1， 不一定成立（3）法一作的图象，如图 xyxy34,（注：只要求画出草图，如果没有把有关点画成空心点，不扣分）0.5 O 0.5 1 1.5 2 2.5 xy32.521.510.5y的图象与 y图象交于点(0，0)、4 3x3( ,1)43( ,2)2x0，3 3,4 2法二x0，为整数，设k，k 为整数4 3x4

7、3x则 x，k，3 4k3 4k131,0242kkkk0k2，k0，1，2x0，3 3,4 2（4）函数 yx2x(x)2，n 为整数，1 41 2 当 nxn1 时，y 随 x 的增大而增大，(n)2y(n1)2即(n)2y(n)2， 1 21 21 21 2n2nyn2 n，y 为整数1 41 4 y n2n1，n2n2，n2n3，n2n2n，共 2n 个 y. a 2n （8 分）则 ,)21()21(,21 2122nknnkn比较，得：ab2n 【评注】这是一道创新题，要求学生读懂定义，能用定义解决简单的实际问题，然后能更进一步地 结合已经学过的知识进行拓展，是一道不易的压轴题，学

8、生要在短时间解决此问题，要求平时的学习要 有一定的创新思维，特别是自学习能力的培养显得尤为重要就这题而言，对不等式组，及不等式组的 整数解的应用要掌握得非常熟练，还有二次函数式的变形能力也要求较高例 2 （2010 湖北荆州）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应 求若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于 50 万元， 每套产品的售价不低于 90 万元已知这种设备的月产量 x（套）与每套的售价 y1（万元）之间满足 关系式 y1=170-2x，月产量 x（套）与生产总成本 y2（万元）存在如图所示的函数关系.（1）直接写出

9、y2与 x 之间的函数关系式；（2）求月产量 x 的范围；（3）当月产量 x（套）为多少时，这种设备的利润 W（万元）最大？最大利润是多少？【分析】 （1）用待定系数法，根据图形容易求解；（2）根据题意列不等式组，可求得月产量 x 的范 围；（3）利用利润=总售价-总成本，根据二次函数的性质求解. 【解答】解：（1）y2=500+30x.（2）依题意得： .902170,5030500 xxx解得：25x40 （3）W=xy1-y2=x(170-2x)-(500+30x)=-2x2+140x-500,W=-2(x-35)2+1950.而 253540, 当 x=35 时，.1950最大W即月产

10、量为 35 件时，利润最大，最大利润是 1950 万元【评注】本题是一次函数、二次函数的综合运用的最优方案设计问题，是中考的热点题型，也是代数 知识部分的核心知识.考点三：方程（组）与不等式（组）综合应用考点三：方程（组）与不等式（组）综合应用 例 1 （2010 四川内江）已知非负数 a，b，c 满足条件 ab7，ca5，设 Sabc 的最大值为 m，最小值为 n，则 mn . 【分析】把 ab7 和 ca5 两式相加，即可得 bc12，所以 Sabca12，故确定 S 的最大 值和最小值的关键就是确实 a 的取值范围.由 ab7 得 b7a，根据 a0，b0,有 7a0，所以 0a7；由

11、ca5，得 c5a，因为 c0，所以 5a0，即 a5，由于 a0，所以一定有 a5，所以 0a7，所以 m71219，n01212，从而 mn707. 【解答】7 【评注】代数式的最值问题是中学数学中比较常见的问题，这类问题解法多样，灵活性较强，常用的方 法有：配方法、计算法、消元法、构造法、换元法、利用基本不等式法，等等.例 2 （2010 福建福州）郑老师想为希望小学四年（3）班的同学购买学习用品，了解到某商店每个书包 价格比每本词典多 8 元用 124 元恰好可以买到 3 个书包和 2 本词典（1）每个书包和每本词典的价格各是多少元?（2）郑老师计划用 l000 元为全班 40 位学生

12、每人购买一件学习用品(一个书包或一本词典)后余下不 少于 lOO 元且不超过 120 元的钱购买体育用品共有哪几种购买书包和词典的方案? 【分析】利用购买 3 个书包和 2 本词典的总价及二者单价间的关系可用一元一次方程求出书包和词 典的单价；而在（2）中，根据购买书包和词典的价格范围列一元一次不等式组求出书包的范围，再根据 书包的取值为正整数求出方案 【解答】 （1）解：设每个书包的价格为 x 元，则每本词典的价格为(x8)元根据题意得：3 x +2(x8)124解得：x28 x820答：每个书包的价格为 28 元，每本词典的价格为 20 元（2）解：设昀买书包 y 个，则购买词典(40y)

13、本根据题意得：1000 2320 40100 1000 2820 40120yy yy （）， （） 解得：10y12.5因为 y 取整数，所以 y 的值为 10 或 11 或 12 所以有三种购买方案，分别是： 书包 10 个，词典 30 本；书包 11 个，词典 29 本； 书包 12 个，词典 28 本 【评注】利用一元一次方程（或二元一次方程组）与一元一不等式组结合来设计方案问题是中考的 热点解答这类问题关键是根据题意列出不等关系，再根据实际问题求出不等式（或组）的整数解来确 定方案考点四：函数、方程（组）与不等式（组）综合应用考点四：函数、方程（组）与不等式（组）综合应用 例 1 （

14、2010 湖南衡阳）某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装 240 辆。由于抽调不 出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后上岗，也能独 立进行电动汽车的安装。生产开始后，调研部门发现：1 名熟练工和 2 名新工人每月可安装 8 辆电动汽车； 2 名熟练工和 3 名新工人每月可安装 14 辆电动汽车。（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ （2）如果工厂招聘 n（0n10）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任 务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ （3）在（2）的条件下，工厂给安装电动汽车的每名熟

15、练工每月发 2000 元的工资，给每名新工人每月发 1200 元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资 总额 W（元）尽可能的少？ 【分析】 （1）可列方程组解决问题；（2）是一个不等问题，可设需熟练工 m 名可列出二元一次方程和不 等式；（3）根据一次函数性质解答. 【解答】(1) 每名熟练工和新工人每月分别可以安装 x、y 辆电动汽车，根据题意可列方程 143282 yxyx，解得 24 yx答：每名熟练工和新工人每月分别可以安装 4、2 辆电动汽车. （2）设需熟练工 m 名，依题意有：2n12+4m12=240，n=10-2m 0n100m5 故有四种方案：（n 为新工人）（3）依题意有 W=1200n+（5-1 2n ）2000=200 n+10000，要使新工人的数量多于熟练工，满足 n=4、6、8，