高考数学的解题研究

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1、1高考数学的解题研究高考数学的解题研究陕西师范大学数学系 罗增儒邮编 710062 电话 029-85308872 Emil :1 1 从数学高考到高考数学从数学高考到高考数学从 1977 年恢复高考（各省单独命题）到 2006 年陕西高考单独命题，历史走过了波澜壮阔的 30 个春秋，环绕着高考工作的文化积累正在考试学、数学等维度形成学术成果。1-11-1 数学高考数学高考（1）数学高考的性质毕业考是基础教育的终点，高考是高等教育的起点.水平考试与选拔考试（有竞争）平时教学按教学规律进行，高考复习按考试规律进行.（2）数学高考命题的风格高考命题一直在“稳中求进，稳中求变、稳中求新” ，探索 公

2、平选拔、为素质教育服务的道路，已形成了一些稳定性的风格和值得注意的导向.在明确考查“三基四能力”的基础上，更突出数学思想方法的考查，突出数学与现实生活的联系.在主体上考查中学数学的同时，体现进一步学习高等数学的需要.特别是一些有挑战性的压轴题，尤其各省独立命题之后， “注重理论数学，检测考生后继学习的潜能” （有人看到了高考与竞赛的相互渗透）.新课程理念的渗透.虽然新世纪课程改革刚刚起步（高中教材才开始试用），但其三维目标和十个基本理念已开始渗透（课程改革改到哪里，高考改革也改到哪里）.如，命题范围拓展了，出现人文关怀，体现“情感、态度、价值观”课程目标.在命题技术上，可以看到：以教材为依据，

3、又不拘泥于教材.在知识交汇处设计命题.能力立意.改变了过去的知识立意.2减少题量，降低难度，增加学生分析思考的时间.对三类题型设计了两个从易到难的三个小高潮.变小量难题把关为全卷把关.试题切入容易深入难（阶梯题）.避免死记硬背的内容和繁琐的运算（试卷提供难记易忘的公式）.文理分卷，难度有区别（姐妹题）.研究或了解高考命题的动向，能使我们的高考指导工作思想更明确，操作更有针对性.平稳过渡，降低难度；控制满分，提高总分；总体形似，少量创新；（3）数学高考复习的组织指导思想以考试规律为指导,以近年高考命题的稳定性风格为导向.依纲靠本.以解题训练为中心，以中档综合题为重点，以近年高考试题为基本素材.

4、高考复课的三阶段安排已经是一个常规，第一阶段全面复习第二阶段专题讲座，第三阶段模拟训练.其实质应是思维素质竖向提升的三个层次，是从知识到方法、到能力的拾级登高.（4）数学复习题的编拟（5）数学模拟考试的组织与讲评（6）数学高考临场的策略高考临场的基本建议保持内紧外松的临战状态. 使用适应高考的答题策略.运用应对选拔的考试技术.高考答题的技术提前进入角色.3迅速摸清“题情”.执行“三个循环”.做到“四先四后”.答题“一慢一快”.立足中下题目，力争高上水平.立足一次成功，重视复查环节.内紧外松.从解题策略到分段得分分解分步 缺步解答.引理思想 跳步解答.以退求进 退步解答.正难则反 倒步解答.扫清

5、外围 辅助解答.（7）高考填报志愿.升学优先.就业优先.专业优先.把个人兴趣、成本优先.把收费较低、地区优先.几项兼顾.家长决定.（8）如高考无效题的研究例 1 已知，求.（1978 年，多余，18log 92 ,a a185b36log452a 用表示，不唯一）, a b例 2 抛物线的方程是，有一个半径为 1 的圆，圆心在轴上运动，22yxx问这个圆运动到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂直？（1980 年）4例 3 设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲（A）充分条件 （B）必要条件（C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件（1986 年）例 4 一个

6、正三棱台的下底与上底周长分别为 30,12,侧面积等于两底面积之差，求斜高.（1987 年，高为零）例 5 如果函数的最小正周期是，那么常数为（ sin()cos()yxx4）.（1992 年,默认）0例 6 已知直线 和的夹角的平分线为如果 的方程是1l2l,yx1l，.那么的方程是0axbyc0ab 2l（A） （B） 0bxayc0axbyc（C） （D）0bxayc0bxayc（1992 年，不可能平分）例 7 设，则 .（1993 年 23 题） 142xxf x 10f例 8 设为全集，集合，若，则（ ）.I,M NIMNNI（A） （B） （C） （D）MNMNMNMN（1995

7、 年）例 9 设等比数列的前项和为，若，求数列的公比 nannS3692SSS（1996 年文史 21） （实数还是复数？）q例 10 如果函数的图象与轴有两个交点，则点（）abxaxy2xba,在平面上的区域（不包含边界）为（ ）aOb5（2003 年，标准答案（图 C） ） 例 11 下面是关于三棱锥的四个命题：底面是等边三角形，侧面与底面所组成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥；底面是三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥侧棱与底面所组成的角都相等，且侧面与底面所组成的二面角都相等的三棱锥市政三棱锥其中，真命题的编号是_（写出所有

8、真命题的编号）（2005 年全国文科（16）题，答案为、）例 12 是定义在 R R 上的以 3 为周期的奇函数，且则方程 f x 20,f在区间内解的个数的最小值是 0f x 0,6（A）2 （B）3 （C）4 （D）5（2005 年福建）例 13 已知向量2cos,tan() ,224xxar2sin(),tan() ,2424xxbr令是否存在实数使？若存在，则求 .f xa br u r0,1 ,x /0f xfx出的值；若不存在，则证明之.（2005 年江西）x例 14 1-21-2 高考数学高考数学（1）高考数学的特征6（2）数学高考试题的由来（3）数学高考解题的特点（4）数学高考

9、选择题的求解（5）数学高考填空题的求解（6）数学高考解答题的求解（7）数学高考解题的错误分析（解对了也会有策略性错误）（8）2 2 数学高考解题的案例分析数学高考解题的案例分析用教育叙事的方式进行解题经验的积累与提炼。2-12-1 案例案例 1 120062006 陕西理陕西理-2-2 的讨论的讨论知识基础例例 1 1 复数等于2(1) 1i i （A） （B） （C） （D）1 i1 i1 i 1 i 解法 1：先处理分母 22(1)1(1)1111iiiiiii L解法 2：先处理分子2(1)211111iiiiiii L解法 3：分子分母乘以i222(1)(1)(1)(1)1(1)1ii

10、 ii ii iii ii解法 4：分母提取i22(1)(1)1111iiiiii ii 解法 5：分子提取i722(1)(1)(1)11iiiiiii 解法 6：用恒等式 22110ii解法 7：用 的定义，i11 11iiiii解法 8：倒推，把四个选项代入验证（结论也是已知信息）（A） 2211?ii（B） 2111?iii（C） 2211ii （D）2111?iii 解法 9：辐角象限的直观选择（结论也是已知信息）解法 10 2-22-2 案例案例 2 220062006 陕西理陕西理-8-8 的讨论的讨论逻辑基础例例 1 1 已知不等式对任意正实数恒成立，则正19axyxy, x y

11、实数的最小值为a（A）2 （B）4 （C）6 （D）8这是一道不等式恒成立的参数确定问题，结论似乎不难得出，但解题依据却未必能说清楚2-2-12-2-1 多种解法的思考多种解法的思考解法 1 条件变形后，应用二元均值不等式. 1axyxy8112yaxaxyaa 21,a于是，只要，得的最小值为 4.选（B）.219a4a a解法 2. 条件变形后，应用三元均值不等式.11axyxyyaxaxy 31 3y axaxy 321 3,a 于是，只要得的最小值为选择32161 396,9aaa163,9支无一为所求. 解法 3 条件变形后，应用四元均值不等式.11axyxyyaxaxy 44 14

12、,y axaxya 9于是，只要得的最小值为选择支无一8149,16aaa8115.1616为所求. 解法 4 应用二元均值不等式消去，有, x y1224,aaxyxyaxyxy于是，只要得的最小值为选择8149,16aaa8115.1616支无一为所求.解法 5 由 19axyxy229xyyaxaxyxy228,axyaxyxy得等号成立的条件是222,28,axyaxyaa解方程得，得的最小值为 4. 选（B）.4a a解法 6 同上有228axyaxyxy222233axyaxyax y axy10得 32163869aa2-2-22-2-2 思考：错在那里？原因是什么？思考：错在那

13、里？原因是什么？（1）选择支设计的典型性：2，6，8 是本题的典型错误吗？（2）为什么用不同的均值不等式会得出不同的结果？哪些解法是对的？哪些解法是错的？（3）对能否说当等号成立时取最小值.？为什么由 f ag a f a ， 1axyxy21a能推出9？21a（4）不等式 ，1axyxy21a1axyxy31 3y axaxy 321 3,a 1axyxy44 1y axaxy 4,a能取等号码？对任意正实数恒成立吗？, x y（5）设，有ytytxx 1axyxy111()(1) 11,axtxxtxatt aatt 一般地，函数的最小值与定义域有关.请思考 1ag tatt 例例 2 2 （c 为非负常数） ， 221xcf x xc （c 为非负常数 2211xcf x x 的最小值？2-2-3.2-2-3. 解法解法解法 7 转化为.由条件变形后配方有1min9axyxy1axyxy2 211yaxaxyyaxaxy 21,a当时，函数=取到最小值yaxyaxxy,F x y1axyxy故有 21,a，219a得，故的最小值为 4.选（B）.4a a12说明 这个解法的实质步骤是用二维柯西不等式求的最小值.1axyxy解法 8 转化为 2244.xyamax