函数概念是全部数学概念中最重要的概念之

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1、函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，纵观 300 年来函数概念的发展， 众多数学家从集合、代数、直至对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思 想，从而推动了整个数学的发展。本文拟通过对函数概念的发展与比较的研究， 对函数概念的教学进行一些探索。1、函数概念的纵向发展11 早期函数概念几何观念下的函数十七世纪伽俐略(GGalileo，意，15641642)在两门新科学一书中，几 乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达 函数的关系。1673 年前后笛卡尔(Descartes，法，15961650)在他的解析几 何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，

2、但由于当时尚未意 识到需要提炼一般的函数概念，因此直到 17 世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微 积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义，绝大部分函数是被当作曲线 来研究的。12 十八世纪函数概念代数观念下的函数1718 年约翰贝努利(BernoulliJohann，瑞，16671748)才在莱布尼兹函数概 念的基础上，对函数概念进行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构 成的量，贝努利把变量 x 和常量按任何方式构成的量叫“x 的函数”，表示为，其 在函数概念中所说的任一形式，包括代数式子和超越式子。18 世纪中叶欧拉(LEuler，瑞，17071783)就给出了非常形象的，一直沿用 至今

3、的函数符号。欧拉给出的定义是：一个变量的函数是由这个变量和一些数 即常数以任何方式组成的解析表达式。他把约翰贝努利给出的函数定义称为解 析函数，并进一步把它区分为代数函数（只有自变量间的代数运算）和超越函 数（三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数），还考虑了“随意 函数”（表示任意画出曲线的函数），不难看出，欧拉给出的函数定义比约 翰贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。13 十九世纪函数概念对应关系下的函数1822 年傅里叶(Fourier，法，17681830)发现某些函数可用曲线表示，也可 用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式 子表示的争论，把对

4、函数的认识又推进了一个新的层次。1823 年柯西 (Cauchy，法，17891857)从定义变量开始给出了函数的定义，同时指出，虽然无穷级数是规定函数的一种有效方法，但是对函数来说不一定要有解析表达 式，不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限， 突破这一局限的是杰出数学家狄利克雷。1837 年狄利克雷(Dirichlet，德，18051859)认为怎样去建立 x 与 y 之间的关 系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的 x 值， y 都有一个或多个确定的值，那么 y 叫做 x 的函数。”狄利克雷的函数定义，出 色地避免了以往函数定义中所有

5、的关于依赖关系的描述，简明精确，以完全清 晰的方式为所有数学家无条件地接受。至此，我们已可以说，函数概念、函数 的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义。等到康托尔(Cantor，德，18451918)创立的集合论在数学中占有重要地位之 后，维布伦(Veblen，美，18801960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数 定义，通过集合概念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且 打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象（点、线、面、 体、向量、矩阵等）。14 现代函数概念集合论下的函数1914 年豪斯道夫(FHausdorff)在集合论纲要中用“序偶”来

6、定义函数。其 优点是避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念，其不足之处是又引入了不明确 的概念“序偶”。库拉托夫斯基(Kuratowski)于 1921 年用集合概念来定义“序偶”， 即序偶(a，b)为集合a，b，这样，就使豪斯道夫的定义很严谨了。1930 年 新的现代函数定义为，若对集合 M 的任意元素 x，总有集合 N 确定的元素 y 与之对应，则称在集合 M 上定义一个函数，记为 y=f(x)。元素 x 称为自变元，元 素 y 称为因变元。函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革，形成了函数的现代定义形式，但 这并不意味着函数概念发展的历史终结，20 世纪 40 年代，物理学研究的需要

7、发现了一种叫做 Dirac 函数，它只在一点处不为零，而它在全直线上的积分 却等于 1，这在原来的函数和积分的定义下是不可思议的，但由于广义函数概 念的引入，把函数、测度及以上所述的 Dirac 函数等概念统一了起来。因此， 随着以数学为基础的其他学科的发展，函数的概念还会继续扩展。一、函数概念的三种定义函数一词是由莱布尼兹 1673 年最早引入的，用来表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量例如，曲线上点的坐标、点的斜率、曲率半径等等其后，伯努利把函数看作一个变量和一个常数组成的表达式，欧拉在伯努利之后把函数看做是含有变量和常数的任何方程和公式，不难看出，他们对函数的界定都没有跳出“表达式”

8、的范围，后来，人们又给出了这样的定义：“如果一个量依赖着另一个量，当后一个变化时前一个量也随着变化，那么第一个量称为第二个量的函数”这个定义虽然还没有道出函数的本质，但是，却把变化、运动注入到函数定义中去，是可喜的进步1834 年，俄国数学家罗巴切夫斯基提出函数的定义：“x 的函数是这样的一个数，它对于每个 x 都有确定的值，并且随着 x-起变化，函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的，”这个定义跳出了“表达式”的框框，建立了变量与函数之间的对应关系，是对函数概念的一个重大发展，因为“对应”是函数概念的一种

9、本质属性与核心部分1837 年，德国数学家狄里克莱认为，怎样去建立 x 与 y 之间的关系无关紧要，所以他的定义是“如果对于 x 的每一个值，），总有完全确定的值与之对应，则 y 是 x 的函数”根据这个定义，即使像如下表述的，它仍然被说成是函数（狄里克莱函数）：在这个函数中，如果戈由 0 逐渐增大地取值，则 f(x)忽 0 忽 1在无论怎样小的区间里，f(x)无限制地从 0 到 1因此，它很难用一个或几个式子来加以表示，甚至究竟能否找出表达式也是一个问题但是，不管其能否用表达式表示，在狄里克莱的定义下，这个以 x）仍是一个函数，狄里克莱的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系

10、的描述，以完全清晰的方式为所有数学家所接受至此，我们已经可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义，即函数的“变量说”到二十世纪初，取消了函数概念中变量只能为数的限制，突出了函数的本质特征对应关系，用集合论的语言叙述为：若对集合 M 的任意元素 x，总有集合 A 中确定的元素 y 与之对应，则称在集合 A 上定义一个函数，记为y=f(x)元素戈称为自变元，元素 y 称为因变元，这种定义方式叫做函数的“对应说“可是，这个定义中还存在着意义不明确的概念“对应”因此，数学家们给出了十分形式化的定义我们看到，“变量说”自然、形象、直观，易于理解，但也有其缺陷一面：(1)“变

11、量说”对函数的实质对应缺少充分的刻画，这是最致命的缺陷究竟函数是指 x 还是 f(x)，还是 y= f(x)呢？(2)“变量说”强调变量和变域自变量和因变量、定义域和值域，而对对应规律却轻描淡写一笔带过例如，容易误解 y= sin2x+cos2x（恒等于 1）不是函数，而“对应说”和“关系说”建立在集合论的基础上，更接近现代数学语言，普适性强，更重要的是，它们都抓住了函数的本质对应关系二、借助函数概念的发展历史引入函数概念函数概念的一次又一次的扩张，是前人思维的一次又一次的突破，从中可以看到，函数概念的内涵被不断地挖掘、丰富和精确刻画，研究表明：函数概念历史发展过程中的认识障碍也会成为今天课堂

12、上学生的认知障碍因此，在函数概念教学中，如果能恰当借鉴历史，选择学生容易接受的典型情境探究函数概念，使学生在情境的识别与辨析中逐步体会它的形成过程，并且亲身感悟一次又一次逐步抽象出函数概念的方法，将有助于学生打破思维定势，形成清晰的认识，并深刻理解函数的概念这是一个多层次逼近的过程，反映了认识由远及近、由模糊到清晰、由粗略到精细的过程，是教学中值得借鉴的所以，我们可以根据学生的情况，借鉴函数的历史发展，让学生在探究函数概念的过程中，经历3 次函数概念的扩张，并最终归纳、总结出现行初中数学教材中的函数概念1让学生结合实例，从两个变量联系的角度，试着给出函数的定义，即从表达式的角度理解两个变量的关

13、系，完成对函数概念内涵的第 1 次抽象认识例 1 指出下列变化过程中的变量和常量，并用适当的形式表达变量间的关系(1)-个水滴落到平静的湖面上，所形成的一系列圆的面积 s 与圆半径 r 的关系是_；(2)锐角卢与锐角 a 互余，则口与仅的关系是_；(3)气体的质量 m-定时，它的体积 y 与它的密度 p 之间的关系是_；(4)购买单价为 1 元支的铅笔 x 支和单价 5 元个的笔记本 y 个共花去80 元，则 x 和 y 的关系是_上述的每一个问题中，教师都提问：在变化的过程中，谁是变量？谁是常量？两个变量间的关系是通过什么来刻画的？学生分别回答相应问题进而教师提出问题：你能总结在不同的变化过

14、程中，变量间的关系有何共同特点呢？学生思考，总结上述例子变量间关系的共同特点：(1)在某一变化过程中存在着两个变量；(2)变化过程中两个变量之间存在一个关系式；(3)当一个变量的数值确定时，另一个变量的数值也随之确定说明关于结论(3)，学生可能不易得出该结论，如果学生没有总结出这一条，则先暂时放弃对这一条的总结，通过后续问题的研究，让学生慢慢地发现该结论，通过上述问题，感受到变量之间的相互联系特别是二元一次方程，进一步促进学生认识两个量之间是相互关联的，揭示变量间关系的一些共同特点2结合实例，让学生思考前面总结的函数定义是否完整，如果不完整，应该如何补充？对函数从表达式角度的理解过渡到函数是两

15、个变量间的相互依赖关系的认识，完成对函数概念内涵的第 2 次抽象例 2 北京近几年机动车保有量统计表：年份 n2001200220032004200520062007200820092010保有量 m（万辆）170190212230258288313350400476(1)表格中有变量吗？是什么？(2)从表格中你能得出哪些结论？(3)你能写出汽车保有量 m（万辆）与年份 n 之间的关系式吗？例 3(1)统计图中有变量吗？是什么？(2)你能写天数 m 与年份 n 之间的关系式吗？在学生回答上述问题的基础上，教师指出，显 然，例 2 中无法写出汽车保有量 m（万辆）与年份 n 的关系式，例 3 中

16、也无法写出天数 m 与年份 n 之间 的关系式，那么联系例 1、例 2、例 3，变量之间关系 的共同特点是什么呢？学生对从例 1 中得出的共同特点作出修改，形成新的认识：(1)在某一变化过程中存在着两个变量：(2)当一个变量的数值确定时，另一个变量的 数值随之确定通过以上问题的思考，学生对变量间的共同属性有了进一步的认识：即在一个变化过程中的两个变量，不一定存在一个确定的关系式；变量间的关系还可以通过表格、图象等形式来体现两个变量 存在“单值对应”的关系在上述例题中有所体现，但对这一关系的认识，需要通过辨析来加以明确3通过实例，让学生对函数概念的认识从变量间的相互依赖关系过渡到两个变量的对应关系，完成对函数概念内涵的第 3 次抽象认识例 4 为使首都的交通状况得到改善，北京推行“公交先行”的战略北京市某趟公交车的收费标准是：12 千米以内票价 1 元，每增加 5 千米