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1、第第 2 2 章函数概念与基本初等函数章函数概念与基本初等函数2.12.1 函数的概念和图象函数的概念和图象1.已知 a，b 是常数，且 y+b 与 x+a 成正比例.求证：y 是 x 的一次函数.分析：应写出 y+b 与 x+a 成正比例的表达式，然后判断所得结果是否符合一次函数定义.证明：由已知，有 y+b=k(x+a)，其中 k0.整理，得 y=kx+(kab). 因为 k0 且 kab 是常数，故 y=kx+(kab)是 x 的一次函数式.2.填空：如果直线方程 ax+by+c=0 中，a0，b0 且 bc0，则此直线经过第（）象限.分析：先把 ax+by+c=0 化为bcxba.因为
2、 a0，b0，所以0, 0ba ba .又 bc0，即bc 0，故bc 0.相当于在一次函数 y=kx+l 中，k=ba 0，l=bc 0，此直线与 y 轴的交点(0，bc )在 x 轴上方.且此直线的向上方向与 x 轴正方向所成角是钝角，所以此直线过第一、二、四象限.3.一次函数图象与反比例函数 y=x1 的图象的交点坐标分别是 P(m，4)，Q(1，m)(A)y=4x+3 (B)y=4x+3 (C)y=41 x+3 (D)y=4x3分析：把 P，Q 两点坐标代入反比例函数式 y=x1 ，得即 P 点坐标是(14，4)，Q 点坐标是(1，1).设一次函数式的解析式是 y=kx+b.把 P，Q
3、 坐标代入，得.所求直线为 y=4x+3.先(A).4.把反比例函数 y=xk 与二次函数 y=kx2(k0)画在同一个坐标系里，正确的是( ).答：选(D).这两个函数式中的 k 的正、负号应相同.5.对于二次函数 y=x22ax+2a+3.分别满足下列条件，求系数 a 的值.(1)图象与 x 轴没有交点；(2)函数式为完全平方；(3)函数的最小值为零；(4)当 x5 时，y 随 x 增大而增大，且 x5 时，y 随 x 增大而减小；(5)图象的顶点位置最高，并求这个顶点的坐标；(6)图象在 x 轴上截得的线段长是 3.解：(1)令 y=0，则二次函数 y=x22ax+2a+3 变为二次方程
4、 x22ax+2a+3=0.函数图象与 x 轴没有交点，相当于二次方程没有实数解.由 =(2a)24(2a+3)=4(a22a3).令 0，即 a22a30.用图象法解此二次不等式.设 y=a22a3(这里把 a 看作自变量).此图象与横轴交点的横坐标是方程 a22a3=0 的解.即 a1=3，a2=1.使函数y=a22a3 的纵坐标为负值，即图象在横轴下方，这时的横坐标 a 应满足1a3.所以1a3 时，y=x22ax+2a+3 的图象与 x 轴没有交点；(2)对于二次三项式 ax2+bx+c(a0)，当且仅当 b24ac=0 时，ax2+bx+c=a(xx1)(xx2)=a(xx1)2，这
5、个二次三项式是完全平方.由=(2)24(2a+3)=0，得 a1=3，a2=1.故 a=3 或 a=1 时 y=x22ax+2a+3 是完全平方；(3)把函数 y=x22ax+2a+3 配方成 y=(x+h)2+k 的形式，y=x22ax+a2+(a2+2a+3)=(xa)2+(a2+2a+3).因为 y(xa)2+(a2+2a+3)a2+2a+3.所以 y 最小值是a2+2a+3.由已知最小值为 0，令a2+2a+3=0，得 a=3，a=1;(4)由已知可知，此图象的对称轴为 5，即122 a =5，得 a=5；(5)要使图象的顶点位置最高，应求顶点纵坐标的最大值.顶点纵坐标3214)2()
6、32(1422 aaaa .用配方法求最大值.a2+2a+3=(a22a+11)+3=(a1)2+44.所以当 a=1 时，顶点纵坐标最大值是 4，而顶点横从标为122 a =a.故最高的顶点坐标是(1，4)；(6)图象与 x 轴两个交点的横坐标就是方程 x22ax+(2a+3)=0 的两个根.设这两个根为 x1，x2.由x1x2=3，得(x1x2)2=9，即(x1+x2)24x1x2=9. 又 x1+x2=2a，x1x2=2a+3，代入，得(2a)24(2a+3)=9，即 4a28a21=0.所以 a1=72，a2=32.又 a1，a2都满足 0.答：当 a=27 或 a=23 时，图象在
7、x 轴上截得的线段长为 3.6.已知一次函数 y=ax+b (a，b 是整数) 二次函数 y=x2+3， 二次函数 y=x2+6x+7， 二次函数 y=x2+4x+5， 如果：与的图象有两个交点；与的图象只有一个交点；与的图象没有交点.求整数 a，b 的值.解：由32xybaxy的 x2ax+(3b)=0.因为图象有两个交点，所以此二次方程的根的差别式 =(a)24(3b)0. 由762xxybaxy.即 x2+(6a)x+(7b)=0.=(6a)24(7b)=0.答：所求整数为 a=2，b=3.7.k 取什么值时，二次函数 y=x22(k+4)x+2(k22)的图象与 x 轴的两个交点都在
8、y 轴的右侧.分析：交点的横坐标，就是方程 x22(k+4)x+2(k22)=0.的两个根 x1，x2.两个交点都在 y 轴右方，相当于方程两根都是正值.所以应满足以下三个条件；0，x1+x20，x1x20.答：时，函数 y=x22(k+4)x+2(k22)的图象与 x轴的两个交点都在 y 轴的右侧.8.画出 y=x22x3 的图象.分析：为了去掉绝对值符号，应分 x0，x0 讨论.解：x0 时，x=x，所以 y=x2x3;当 x0 时，x=x，所以y=x2+2x3，用分段函数表示为的顶点为(1，4)，与 y 轴交点为(0，3)，与 x 轴交点横坐标为方程 x22x3=0 的解 x1=3，x2
9、=1(舍去).y=x2+2x3 的顶点为(1，4)，与 y 轴交点为(0，3)与 x 轴交点横坐标为方程 x2+2x3=0 的解 x1=3，x2=1 舍去.函数图象是图中的实线部分.9.如图已知二次函数 y=ax2+bx+c 图象与 x 轴交于点 A，B 与 y 轴交于 C.顶点是M.(1)试确定 a，b，c 的正负号；(2)如果线段 OA 的长与 OC 的长相等，求证：ac=b1.解：(1)因为抛物线开口向下，所以 a0.又抛物线与 y 轴交点为(0，c)，而此点在 x 轴上方，故 c0.又顶点在 y 轴右侧，所以ab 20.而 a0，所以 b0.故 y=ax2+bx+c 中，a0，b0，c0;(2)设 A 点坐标为(x1，0)则 x1是方程 ax2+bx+c=0 的一个根. 由点 A 在 y 轴左侧，得 x10.又点 C 与 y 轴交点为(0，c)且 C 点在 x 轴上方，所以 c0.又由 OC 长与 OA 长相等，所以 c=x1.即 x1=c.又因为 x1是方程ax2+bx+c=0 的一个根，所以 x1=c 适合此方程.即 a(c)2+b(c)+c=0.ac2bc+c=0.由 c0，式可除以 c，得 acb+1=0.故 ac=b1.
