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1、不等式恒成立问题不等式恒成立问题教案教案林州市实验中学 李海兵1一、 教学目标：（1） 知识目标：利用二次函数、导数、均值不等式、三角函数和线性规划 求最值。 （2） 能力目标：掌握不等式恒成立问题的解法，熟练应用四大数学思想， 提升解决问题的能力。 （3） 情感目标：树立学好数学的信心，让学生体验到成功感，信心百倍地 参加高考。二、 教学重点：利用二次函数相关知识解决此类问题。三、 教学难点：如何把不等式恒成立问题转换为二次函数求最值，即函数与方程思想的应用。四、 教学方法：通过例题讲解，引导学生思考、归纳和总结此类问题的解法，然后再练习习题。五、 教具准备：多媒体课件六、 教学过程：高中数
2、学的恒成立问题一直以来都是一个重点、难点，这类问题没有 一个固定的思想方法去处理，在近些年的高考模拟题及数学高考题中屡见不 鲜。如何简单、准确、快速的解决这类问题并更好地认识把握，本节课通过 举例来说明这类问题的一些常规处理方法。211.125 2xaxxa0对于一切(0,例若不等式成立，则的最小值为 （ ） A. 0 B. -2 C . - D . -3x21axx 法一: 不等式可化为-，().11 2xxax(0, ，由()11 2xxQ在(0, 上是减函数,max()15 2xx max()15 2xx max()15 2xx 2( )1,.2af xxaxx 法二：令对称轴为02 (
3、0)0af 0axyo1 2 2ax y5a2-2小结：法一利用参变量分离法，化成 af(x)(afmax(x)(afmin(x)求出参数范围。法二化归为二次函数，结合二次函数对称轴与定义域的位置关系、单调性等相关知识，求出参数范围。法三特值验证法，此法抓住本题是选择题的特征，显得较为简便。1022()02aaf 10a 5 2a -15 2a综上，-x1 22ax oo1 22ax xy2( )1,.2af xxaxx 法三：验证法：令对称轴为21( )102af xx当=0时，在（0,恒成立。2212( )2112af xxxx 当时，（）在（0,恒成立。25551( )1( )2242
4、11( )0( )022af xxxxf xff x 当时，对称轴，（0,是的减区间，故在（0,恒成立。2313( )31( )22 111( )0,( )0242af xxxxf xff x 当时，对称轴，（0,是的减区间，故在（0,上不恒成立。222100,1xmxmx xm练习1：若不等式对满足 的所有实数都成立，求的取值范围。1 2m 答案：22.21(1)2xm xmmx 例若不等式对满足2的所有都成立，求 的取值范围。2( )2f mxmxm法一：令(-1)-(2 -1)0(2)1 22 1( )02af y3小结：本题利用参变量转换法，即参数转换为变量；变量转换为参数，把关于 x
5、 的二次不等式转换为关于 m 的一次不等式，化繁为简，然后再利用一次 函数的单调性，求出 x 的取值范围。通过以上两题，大家总结一下参变量转换法和参变量分离法的异同，各在什么情况下运用？232(2)0kxkxkk、如果恒成立，则实数的取值范围是（ ）( 2)0 (2)0f f 由题可知：222230 2210xx xx 1713.22x 2( )2f mxmxm法二：令(-1)-(2 -1)0(2)2xxx当-1=0时，即= 1，经验证，只有=1适合。2( 2)0x f-102(2)0x f-101713.22x 综上，可得：22|xxxxp2pRp12p练习：对于一切，不等式恒成立，则实数的
6、取值范围是（ ）xx 13答案：或 21.(*)|2*|2*xxxx1mm1301m2m课堂练习： 对于不等式（）当，式恒成立，求实数的取值范围；（）当，式恒成立，求实数的取值范围。 2,|2,xxxx1mm13（1）分析：令f ( )= 01 *(*)1mmm1当时，即，式成立，故适合 2101,*, 2(1)1:xx 1mm2 2m12m011m1当时，即对称轴= ，式在时恒成立的充要条件为：，解得 21,*, 2 3() ()()02xx 1m0m12 21m2m123mgg当时，即对称轴= ，式在时恒成立的充要条件为：f (-2)=，解得：1 3: 112mm综上可知适合条件的的范围是
7、。22 2,2xxxx （2）分析：令f (m )=（-+ ）m +(- +3), m22( 2)33300(2)30fxxfxx 则f (m )恒成立113113 22x。22.( )24 1,32f xxaxa已知函数在区间上都不小于，求的值。224.,(1)1x yxyxycc设实数满足，且0恒成立，的 取值范围是( )4参考答案：七、 课时小结与作业：1、通过参变量分离法，将问题转化为f(x)（或f(x)）恒成立，再运用不等式知识或求函数最值的方法，使问题获解。2、化归二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问题，分类讨论。3、通过参变量转换法化成一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。4、对于 f(x)g(x)型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理，或者化成 f(x) -g(x) 0 再处理。八、 板书设计：1、基本知识：2、例题讲解：3 练习与作业：5.1xxkxk如果对任意实数，不等式恒成立，则实数的 取值范围是( )26.(2)2(2)40mxmxm已知不等式的解集为R ，则的 取值范围( ) 117.000kabkabab设，且不等式恒成立，则实数的最小值等于（ ）3. 1k 04.21ck5. 016.26m 7.42R( )(43 )2mf xm xxm作业练习：已知，求函数在区间 0，1 上的最大值。
