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1、1 第四章练习题及参考解答4.1 假设在模型iiiiuXXY33221中，32XX 与之间的相关系数为零，于是有人建议你进行如下回归：iiiiiiuXYuXY23311221(1)是否存在3322?且？为什么？(2)111?会等于或或两者的某个线性组合吗？(3)是否有3322?var?var?var?var且？练习题 4.1 参考解答：(1) 存在3322?且。因为2322 32 23232 32 2?iiiiiiiiiiixxxxxxxyxxy当32XX 与之间的相关系数为零时，离差形式的032iixx有22 222 32 22 32 2?iiiiiiiixxyxxxxy同理有：33?(2)
2、 111?会等于或的某个线性组合因为12233?YXX，且122?YX，133?YX由于3322?且，则1 122222 2?YYXYXX1 133333 3?YYXYXX则11 122332311 23?YYYXXYXXYXX(3) 存在3322?var?var?var?var且。2 因为2 232 2221?varrxi当023r时，22 222 232 222?var 1?variixrx同理，有33?var?var4.2 在决定一个回归模型的“最优” 解释变量集时人们常用逐步回归的方法。在逐步回归中既可采取每次引进一个解释变量的程序(逐步向前回归)，也可以先把所有可能的解释变量都放在一
3、个多元回归中，然后逐一地将它们剔除(逐步向后回归 )。加进或剔除一个变量，通常是根据F 检验看其对ESS 的贡献而作出决定的。根据你现在对多重共线性的认识，你赞成任何一种逐步回归的程序吗？为什么？练习题 4.2 参考解答：根据对多重共线性的理解，逐步向前和逐步向后回归的程序都存在不足。逐步向前法不能反映引进新的解释变量后的变化情况，即一旦引入就保留在方程中；逐步向后法则一旦某个解释变量被剔出就再也没有机会重新进入方程。而解释变量之间及其与被解释变量的相关关系与引入的变量个数及同时引入哪些变量而呈现出不同，所以要寻找到“ 最优 ” 变量子集则采用逐步回归较好，它吸收了逐步向前和逐步向后的优点。4
4、.3 下表给出了中国商品进口额Y、国内生产总值GDP、居民消费价格指数CPI。表 4.11 中国商品进口额、国内生产总值、居民消费价格指数年份商品进口额(亿元 )国内生产总值(亿元 )居民消费价格指数(1985=100)1985 1257.8 9016.0 100.01986 1498.3 10275.2 106.5 1987 1614.2 12058.6 114.3 1988 2055.1 15042.8 135.8 1989 2199.9 16992.3 160.2 1990 2574.3 18667.8 165.2 1991 3398.7 21781.5 170.8 1992 4443.
5、3 26923.5 181.7 1993 5986.2 35333.9 208.4 3 1994 9960.1 48197.9 258.6 1995 11048.1 60793.7 302.8 1996 11557.4 71176.6 327.9 1997 11806.5 78973.0 337.1 1998 11626.1 84402.3 334.4 1999 13736.4 89677.1 329.7 2000 18638.8 99214.6 331.0 2001 20159.2 109655.2 333.3 2002 24430.3 120332.7 330.6 2003 34195.6
6、 135822.8 334.6 2004 46435.8 159878.3 347.7 2005 54273.7 183084.8 353.9 2006 63376.9 211923.5 359.2 2007 73284.6 249529.9 376.5 资料来源：中国统计年鉴，中国统计出版社2000 年、 2008 年。请考虑下列模型：itttuCPIGDPYlnlnln3211)利用表中数据估计此模型的参数。2)你认为数据中有多重共线性吗？3)进行以下回归：ittittittvCPICCGDPvCPIBBYvGDPAAY321221121lnlnlnlnlnln根据这些回归你能对数据中多重
7、共线性的性质说些什么？4)假设数据有多重共线性，但32?和在 5%水平上个别地显著，并且总的F 检验也是显著的。对这样的情形，我们是否应考虑共线性的问题？练习题 4.3 参考解答：(1) 参数估计结果如下4 22ln()3.0601.657 ln()1.057ln()(0.337) (0.092) (0.215)0.992 0.991 F1275.093GDPCPIRR进口(括号内为标准误) (2)居民消费价格指数的回归系数的符号不能进行合理的经济意义解释，且 CPI 与进口之间的简单相关系数呈现正向变动。可能数据中有多重共线性。计算相关系数 : (3)最大的 CI=108.812 ，表明 G
8、DP 与 CPI 之间存在较高的线性相关。(4)分别拟合的回归模型如下：22ln Y4.09071.2186ln ()t= (-10.6458) (34.6222)0.9828 0.9820 1198.698GDPRRF5 22ln Y5.44242.6637ln ( PI)t= (-4.3412) (11.6809)0.8666 0.8603 136.4437CRRF22ln()1.43802.2460ln ( PI)t=(-1.9582) (16.8140)0.9309 0.9276 282.7107GDPCRRF单方程拟合效果都很好，回归系数显著，可决系数较高，GDP 和 CPI 对进口
9、分别有显著的单一影响， 在这两个变量同时引入模型时影响方向发生了改变，这只有通过相关系数的分析才能发现。(5)如果仅仅是作预测，可以不在意这种多重共线性，但如果是进行结构分析，还是应该引起注意。4.4 自己找一个经济问题来建立多元线性回归模型，怎样选择变量和构造解释变量数据矩阵 X 才可能避免多重共线性的出现？练习题 4.4 参考解答：本题很灵活，主要应注意以下问题: 6 (1)选择变量时要有理论支持，即理论预期或假设；变量的数据要足够长，被解释变量与解释变量之间要有因果关系，并高度相关。（2）建模时尽量使解释变量之间不高度相关，或解释变量的线性组合不高度相关。4.5 克莱因与戈德伯格曾用19
10、21-1950 年 (1942-1944 年战争期间略去)美国国内消费Y 和工资收入 X1 、非工资非农业收入X2、农业收入X3 的时间序列资料，利用OLSE 估计得出了下列回归方程：37.10795.0(1.09)(0.66)(0.17)(8.92)3121.02452.01059.1133.8?2FRXXXY括号中的数据为相应参数估计量的标准误差。试对上述模型进行评析，指出其中存在的问题。练习题 4.5 参考解答：从模型拟合结果可知，样本观测个数为27，消费模型的判定系数95.02R，F 统计量为107.37，在 0.05 置信水平下查分子自由度为3，分母自由度为23 的 F 临界值为3.
11、028，计算的 F 值远大于临界值，表明回归方程是显著的。模型整体拟合程度较高。依据参数估计量及其标准误，可计算出各回归系数估计量的t 统计量值：01238.1331.0590.4520.1210.91,6.10,0.69,0.118.920.170.661.09tttt除1t外，其余的jt值都很小。工资收入X1 的系数的t 检验值虽然显著，但该系数的估计值过大，该值为工资收入对消费边际效应，因为它为1.059，意味着工资收入每增加一美元，消费支出的增长平均将超过一美元，这与经济理论和常识不符。另外，理论上非工资非农业收入与农业收入也是消费行为的重要解释变量，但两者的t检验都没有通过。这些迹象
12、表明， 模型中存在严重的多重共线性，不同收入部分之间的相互关系，掩盖了各个部分对解释消费行为的单独影响。4.6 理论上认为影响能源消费需求总量的因素主要有经济发展水平、收入水平、产业发展、人民生活水平提高、能源转换技术等因素。为此，收集了中国能源消费总量Y (万吨标准煤 )、国民总收入(亿元 )X1(代表收入水平)、国内生产总值(亿元 )X2( 代表经济发展水平)、工业增加值 (亿元 )X3 、 建筑业增加值(亿元 )X4 、交通运输邮电业增加值(亿元 )X5( 代表产业发7 展水平及产业结构)、人均生活电力消费(千瓦小时 )X6( 代表人民生活水平提高)、能源加工转换效率 (%)X7( 代表
13、能源转换技术)等在 1985-2007 年期间的统计数据，具体如表4.2 所示。表 4.12 19852007 年统计数据年份能源消费国民 总收入国内生 产总值工业 增加值建筑业 增加值交通运输邮电 增加值人均生活 电力消费能源加工 转换效率y X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 1985766829040.7 9016 3448.7 417.9 406.9 21.3 68.29 198680850 10274.4 10275.2 3967 525.7 475.6 23.2 68.32 198786632 12050.6 12058.6 4585.8 665.8 544.9 26.4 6
14、7.48 198892997 15036.8 15042.8 5777.2 810 661 31.2 66.54 198996934 17000.9 16992.3 6484 794 786 35.3 66.51 199098703 18718.3 18667.8 6858 859.4 1147.5 42.4 67.2 1991103783 21826.2 21781.5 8087.1 1015.1 1409.7 46.9 65.9 1992109170 26937.3 26923.5 10284.5 1415 1681.8 54.6 66.00 1993115993 35260 35333.
15、9 14188 2266.5 2205.6 61.2 67.32 1994122737 48108.5 48197.9 19480.7 2964.7 2898.3 72.7 65.2 1995131176 59810.5 60793.7 24950.6 3728.8 3424.1 83.5 71.05 1996138948 70142.5 71176.6 29447.6 4387.4 4068.5 93.1 71.5 1997137798 77653.1 78973 32921.4 4621.6 4593 101.8 69.23 1998132214 83024.3 84402.3 34018
16、.4 4985.8 5178.4 106.6 69.44 1999133831 88189 89677.1 35861.5 5172.1 5821.8 118.2 69.19 2000138553 98000.5 99214.6 4003.6 5522.3 7333.4 132.4 69.04 2001143199 108068.2 109655.2 43580.6 5931.7 8406.1 144.6 69.03 2002151797 119095.7 120332.7 47431.3 6465.5 9393.4 156.3 69.04 2003174990 135174 135822.8 54945.5 7490.8 10098.4 173.7 69.4 2004203227 159586.7 159878.3 65210 8694.3 12147.6 190.2 70.71 2005223319
